坐標(biāo)系與參數(shù)方程的考情分析與復(fù)習(xí)指導(dǎo)

一、考情分析

坐標(biāo)系與參數(shù)方程命題的重點是兩種形式方程的轉(zhuǎn)化以及直線和圓、直線與橢圓的位置關(guān)系，這主要包括特殊曲線的極坐標(biāo)方程的求解以及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化等，這也是高考命題的主要熱點.

二、知識整理

1.極坐標(biāo)

（1）極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點，從O點引出一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個長度單位、一個角度單位（通常取弧度）及正方向（通常取逆時針方向），這樣就確定了一極坐標(biāo)系.設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離OM叫做點M的極徑，記為ρ，以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角叫做點M的極角，記為θ，有序數(shù)對（ρ，θ）叫做點M的極坐標(biāo)，記作M（ρ，θ）.

（2）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化：把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是（x，y），極坐標(biāo)為（ρ，θ），則它們之間的關(guān)系為x=ρcosθ，y=ρsinθ，又可得到關(guān)系式：ρ2=x2+y2，tanθ=yx.

2.直線的極坐標(biāo)方程

（1）若直線過點M（ρ0，θ0），且極軸到此直線的角為α，則它的方程為：

ρsin（θ-α）=ρ0sin（θ0-α）.

（2）幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程

θ=α（ρ∈R）表示過極點且與極軸成α角的直線（如圖①）;ρcosθ=a表示過（a，0）且垂直于極軸的直線（如圖②）;ρsinθ=b表示過（b，π2）且平行于極軸的直線（如圖③）.

3.圓的極坐標(biāo)方程

（1）若圓心為M（ρ0，θ0），半徑為r的圓方程為ρ2-2ρ0ρcos（θ-θ0）+ρ20-r2=0.

（2）幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程

ρ=r表示圓心在極點，半徑為r的圓（如圖④）.

ρ=2rcosθ表示圓心在（r，0），半徑為r的圓（如圖⑤）.ρ=2rsinθ表示圓心在（r，π2），半徑為r的圓（如圖⑥）.

4.曲線的參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果曲線上任意一點坐標(biāo)x，y都是某個變量t的函數(shù)x=f（t）

y=g（t）并且對于t的每一個允許值，上式所確定的點M（x，y）都在這條曲線上，則稱上式為該曲線的參數(shù)方程，其中變量t稱為參數(shù).

5.一些常見曲線的參數(shù)方程

（1）過點P0（x0，y0），且傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t為參數(shù)），設(shè)P是直線上的任一點，則t表示有向線段P0P的數(shù)量.

（2）圓的方程（x-a）2+（y-b）2=r2的參數(shù)方程為x=a+rcosθ

y=b+rsinθ（θ為參數(shù)）.

（3）橢圓方程x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的參數(shù)方程為x=acosθ

y=bsinθ（θ為參數(shù)）.

（4）拋物線方程y2=2px（pgt;0）的參數(shù)方程為x=2pt2

y=2pt（t為參數(shù)）.

二、復(fù)習(xí)指導(dǎo)

（1）準(zhǔn)確把握一個區(qū)別：極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系是兩種不同的坐標(biāo)系，不能把直角坐標(biāo)系中的公式直接應(yīng)用到極坐標(biāo)中，如直角坐標(biāo)系中的兩點間距離公式就不能在極坐系中使用.

（2）熟練掌握兩個轉(zhuǎn)化：一是參數(shù)方程向普通方程轉(zhuǎn)化的基本方法就是消參數(shù)法，但要注意參數(shù)的取值范圍對普通方程中變量的限制;二是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，要準(zhǔn)確記憶相應(yīng)公式，這是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ).

（3）靈活應(yīng)用一個性質(zhì)，即在解決直線和圓的位置關(guān)系時，要注意靈活利用幾何性質(zhì)——即平面幾何中有關(guān)圓的結(jié)論來求解，減少運算量，提高解題的速度和準(zhǔn)確度.

三、典例全解

1.求解參數(shù)方程相關(guān)問題的簡便方法

例1 將參數(shù)方程x=3t-5

y=-2t+1（t為參數(shù)），化成普通方程，并判斷它是什么曲線？

分析：參數(shù)方程中的兩個方程都是關(guān)于t的一次方程，由其中任意一個都可以解出參數(shù)，然后把參數(shù)的表達(dá)式代入另一個方程即可，也可以將兩個方程分別乘上某個數(shù)，把t的系數(shù)化成相同，然后兩式相減即可.

解析：法一：由x=3t-5，得t=x+53，把t=x+53代入y=-2t+1，得y=-2·x+53+1，整理得2x+3y+7=0，即所求曲線的普通方程為2x+3y+7=0，它是一條直線.

法二：參數(shù)方程可變形為2x=6t-10

-3y=6t-3，消去t，得2x+3y+7=0，即所求曲線的普通方程為2x+3y+7=0，它是一條直線.

點評：代入消參法與加減消參法是解決參數(shù)方程化為普通方程最常用的兩種方法，本例的解法一就是代入消參法，從參數(shù)方程中選出x=3t-5，解出參數(shù)t=x+53，然后把參數(shù)t的表達(dá)式代入y=-2t+1，消去參數(shù)t，即可把已知參數(shù)方程化為普通方程;解法二采用的是加減消參法，將參數(shù)方程中的兩個方程分別乘上某個常數(shù)，把t的系數(shù)化相同，然后兩式相減即可.注意：不是所有的參數(shù)方程都可以化成普通方程，化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，這種消參的過程不能增加或減少曲線上的點，即要求參數(shù)方程和普通方程是等價的，因此在消參時要注意以下兩個方面：（1）根據(jù)參數(shù)條件，明確x，y的取值范圍;（2）消去參數(shù)后，普通方程要與原參數(shù)方程的取值范圍保持一致，為了防止轉(zhuǎn)化過程中出現(xiàn)范圍的變化，也可以先由參數(shù)方程討論出x，y的變化范圍，再對方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

2.參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合問題

例2 已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2sinθ，設(shè)直線l的參數(shù)方程是x=-35t+2

y=45t（t為參數(shù)），（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;（2）設(shè)直線l與x軸的交點是M，N為曲線C上一動點，求|MN|的最大值.

分析：第（1）問利用極坐標(biāo)公式x2+y2=ρ2，y=ρsinθ把曲線C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程;第（2）問的方法比較多，可以利用數(shù)形結(jié)合法求解，可以通過圓的參數(shù)方程求解，也可以利用參數(shù)法、極坐標(biāo)法或整體代換法求解.

解析：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程可化為ρ2=2ρsinθ，又x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0.

（2）法一（幾何法）將直線l的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，得y=-43（x-2），令y=0，得x=2，即M點的坐標(biāo)為（2，0），又由（1），知曲線C為圓，圓心C的坐標(biāo)為（0，1），半徑r=1，所以|MC|=5，利用數(shù)形結(jié)合，可知|MN|≤|MC|+r=5+1，即|MN|的最大值為5+1.

法二（參數(shù)法）由（1）知曲線C即圓x2+y2-2y=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y-1）2=1，圓的參數(shù)方程為x=cosα

y=1+sinα（α為參數(shù)），N為曲線C上一動點，設(shè)N（cosα，1+sinα），由直線l的參數(shù)方程是

x=-35t+2

y=45t，知直線l過點M（2，0），所以

|MN|=（cosα-2）2+（1+sinα）2

=6+2（sinα-2cosα）=6+25sin（α-φ）

≤6+25=5+1，

即|MN|的最大值為5+1.

法三（極坐標(biāo)法）由直線l的參數(shù)方程是

x=-35t+2

y=45t，知直線l過點M（2，0），在極坐標(biāo)系中，M（2，0），N（ρ，θ）且ρ=2sinθ，由余弦定理可得

|MN|2=ρ2+4-2×2ρcosθ=（2sinθ）2+4-4×2sinθcosθ=4sin2θ+4-4sin2θ=2-2cos2θ-4sin2θ+4=6-2（2sin2θ+cos2θ）=6-25sin（2θ+φ）≤6+25=（5+1）2，（其中tanφ=12），所以|MN|的最大值為5+1.

點評：圓上的動點到定點距離的最值問題可用代數(shù)法或幾何法求解，代數(shù)法就是設(shè)圓上動點的坐標(biāo)，利用圓的方程以及距離公式建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解，如本例第（2）問中的解法二就是利用圓的參數(shù)方程，將其轉(zhuǎn)化為求解三角函數(shù)的最值問題;而解法三直接利用圓的極坐標(biāo)方程和余弦定理建立關(guān)于極角的目標(biāo)函數(shù)求解最值.幾何法就是利用圓的性質(zhì)直接判斷最值，如本例中第（2）問中的解法一直接利用圓心到定點的距離和圓的半徑表示最值，顯然利用幾何法求解更為簡捷直觀.

3.巧選“定點” 妙用參數(shù)方程的典例賞析

過定點P0（x0，y0），傾斜角為α的直線的參數(shù)方程x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t為參數(shù)）有著廣泛的應(yīng)用，深刻理解參數(shù)t的幾何意義，恰當(dāng)選擇方程中的“定點”，是靈活運用直線參數(shù)方程解題的關(guān)鍵，下面例說巧妙選擇定點的幾種常見路徑.

（1）選已知點為定點

如果直線或直線系經(jīng)過已知點，那么可嘗試以該已知點為方程中的“定點”.

例3 如圖，已知焦點在x軸上的橢圓長軸|A1A2|=6，焦距|F1F2|=42，過橢圓焦點F1作一直線交橢圓于兩點M、N，設(shè)∠MF1F2=α（0≤αlt;π），當(dāng)α為何值時，|MN|等于橢圓短軸的長？

解析：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則橢圓方程為

x29+y2=1，F(xiàn)1（-22，0），設(shè)MN：x=-22+tcosα

y=tsinα

（t為參數(shù)），將其代入橢圓方程得：

（cos2α+9sin2α）t2-42tcosα-1=0，

由|MN|=（y2-y1）2+（x2-x1）2=|t1-t2|=（t1+t2）2-4t1·t2=61+8sin2α及|MN|=2，得sinα=±12，∵α∈[0，π），∴α=π6或α=5π6.

（2）選動弦的中點為“定點”

如果以動弦的中點為方程中的“定點”，那么由參數(shù)t的幾何意義可得t1+t2=0，用好這一關(guān)系式?？墒骨蠼獯鬄楹喕?

例4 已知橢圓C：x24+y23=1，試確定m的取值范圍，使得對于直線l：y=4x+m，C上有不同兩點關(guān)于l對稱.

解析：設(shè)兩對稱點為A、B，線段AB的中點為M（x0，4x0+m），則AB：x=x0+tcosα

y=4x0+m+tsinα（t為參數(shù)），將其代入x24+y23=1，得（3cos2α+4sin2α）t2+2[3x0cosα+4（4x0+m）sinα]t+3x20+4（4x0+m）2-12=0，∵tA+tB=0，∴3x0cosα+4（4x0+m）sinα=0，又∵AB⊥l，∴tanα=-14，代入上式得3x0+4（4x0+m）（-14）=0，即x0=-m ①，由tA·tBlt;03x20+4（4x0+m）2-12lt;0，將①代入上式，得3m2+4·9m2-12lt;0，解得m∈（-21313，21313）.

（3）選弦的定比分點為“定點”

如果以弦AB的定比分點P（λ=APPB）為方程中的“定點”，那么由t的幾何意義可將定比條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)參數(shù)間的關(guān)系式tAtB=λ.

例5 已知橢圓C：x24+y23=1，若過C的右焦點F的直線l與C交于A（x1，y1），B（x2，y2），（其中y1gt;y2），且|AF||BF|=2，求直線l的方程.

解析：F（1，0），設(shè)l的方程為x=1+tcosα

y=tsinα（t為參數(shù)，α為鈍角），將其代入C的方程，得（3cos2α+4sin2α）t2+6tcosα-9=0，設(shè)A、B對應(yīng)參數(shù)為t1，t2，則

t1+t2=-6cosα3cos2α+4sin2α ①，

t1·t2=-93cos2α+4sin2αlt;0 ②，

又|AF||BF|=|t1t2|=-t1t2=2，即t1=-2t2 ③，

將③分別代入①、②，得t2=6cosα3cos2α+4sin2α，2t22=93cos2α+4sin2α，∴8cos2α=3cos2α+4sin2αtanα=±52，由y1gt;y2，得tanαlt;0，

故l的方程為y=-52（x-1）.

（4）選所求點為“定點”

如果選取所求點為方程中的“定點”，那么可將該點所滿足的幾何性質(zhì)直接用相應(yīng)的參數(shù)t去刻劃.

例6 已知直線y=x+m與曲線x2+2y2+4y-1=0交于A、B兩點，P是這條直線上的點，且|PA|·|PB|=2，求當(dāng)m變化時，點P的軌跡方程.

解析：設(shè)P（x0，y0），直線y=x+m的參數(shù)方程為x=x0+22t

y=y0+22t（t為參數(shù)），代入曲線方程，得32t2+2（x0+2y0+2）t+x20+2y20+4y0-1=0（），

由|PA|·|PB|=|t1t2|=2，得

2（x20+2y20+4y0-1）3=2，

或2（x20+2y20+4y0-1）3=-2.

即x206+（y0+1）23=1，或x0=0，y0=-1.

又方程（）中Δ≥02（x0-y0）2+4（y0-x0）-7≤0，由y0=x0+m，代入上式得2m2+4m-7≤0，

即-322-1≤m≤322-1，

故P點的軌跡是橢圓x26+（y+1）23=1界于兩條直線y=x-1+322與y=x-1-322之間的部分及點（0，-1）.

從上述各例可以看出，直線參數(shù)方程中的“定點”蘊含著“動”與“靜”的辯證性，若能根據(jù)問題的特點及參數(shù)t的幾何意義，適當(dāng)選取方程中的“定點”，靈活運用直線參數(shù)方程，對簡化解題過程、開闊解題思路大有裨益.

（作者：徐曉華、崔小軍，江蘇省阜寧中學(xué)）