高考中常見概率統(tǒng)計題型解析

在江蘇高考試卷中，概率統(tǒng)計題考試題型多為填空題，在前八題中出現(xiàn)，為中檔題，本文從古典概型、幾何概型和常見統(tǒng)計題三類題型中選取典型例題進(jìn)行題型的介紹和方法的總結(jié).

古典概型：

1.古典概型的判斷：

一個試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個特征——有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特點(diǎn)的概率模型才是古典概型.

2.對于復(fù)雜的古典概型問題要注意轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的概率問題去解決.

例1 （2012·安徽高考）袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球、2個白球和3個黑球.從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于 " ".

解析：設(shè)袋中紅球用a表示，2個白球分別用b1，b2表示，3個黑球分別用c1，c2，c3表示，則從袋中任取兩球所含基本事件為（a，b1），（a，b2），（a，c1），（a，c2），（a，c3），（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共15個.

兩球顏色為一白一黑的基本事件有（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3）共6個.

因此其概率為615=25.

方法小結(jié)：

計算古典概型事件的概率可分三步：（1）算出基本事件的總個數(shù)n;（2）求出事件A所包含的基本事件個數(shù)m;（3）代入公式求出概率P.

例2 （2012·江西高考）如圖所示，從A1（1，0，0），A2（2，0，0），B1（0，1，0），B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）這6個點(diǎn)中隨機(jī)選取3個點(diǎn).

（1）求這3點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個頂點(diǎn)的概率;

（2）求這3點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的概率.

解析：從這6個點(diǎn)中隨機(jī)選取3個點(diǎn)的所有可能結(jié)果是：

x軸上取2個點(diǎn)的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4種;

y軸上取2個點(diǎn)的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4種;

z軸上取2個點(diǎn)的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4種.

所選取的3個點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8種.因此，從這6個點(diǎn)中隨機(jī)選取3個點(diǎn)的所有可能結(jié)果共20種.

（1）選取的這3個點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個頂點(diǎn)的所有可能結(jié)果有：A1B1C1，A2B2C2，共2種，因此，這3個點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個頂點(diǎn)的概率為P1=220=110.

（2）法一：選取的這3個點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的所有可能結(jié)果有：A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12種，因此，這3個點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的概率為P2=1220=35.

法二：選取的這3個點(diǎn)與原點(diǎn)不共面的所有可能的結(jié)果有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8種，因此這3個點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的概率為P2=1-820=35.

例3 （2012·江蘇高考）現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以1為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，若從這10個數(shù)中隨機(jī)抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是 " ".

解析：由題意得an=（-3）n-1，易知前10項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以小于8的項(xiàng)為第一項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，共6項(xiàng)，即6個數(shù)，所以P=610=35.

答案：35

方法小結(jié)：

求較復(fù)雜事件的概率問題，解題關(guān)鍵是理解題目的實(shí)際含義，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為概率模型.必要時將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和，或者先求其對立事件的概率，進(jìn)而再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蠼?

幾何概型

1.幾何概型的特點(diǎn)：

幾何概型與古典概型的區(qū)別是幾何概型試驗(yàn)中的可能結(jié)果不是有限個，它的特點(diǎn)是試驗(yàn)結(jié)果在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布，所以隨機(jī)事件的概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀位置無關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān).

2.幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊界是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果.

（1）與長度、角度有關(guān)的幾何概型

例4 （2011·湖南高考）已知圓C：x2+y2=12，直線l：4x+3y=25.

（1）圓C的圓心到直線l的距離為 " ";

（2）圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率為 " ".

解析：（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得d=255=5;

（2）設(shè)直線4x+3y=c到圓心的距離為3，則|c|5=3，取c=15，則直線4x+3y=15把圓所截得的劣弧的長度和整個圓的周長的比值即是所求的概率，由于圓半徑是23，則可得直線4x+3y=15截得的圓弧所對的圓心角為60°，故所求的概率是16.

答案：5，16

方法小結(jié)：

求與長度（角度）有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度（角度），然后求解.確定點(diǎn)的邊界位置是解題的關(guān)鍵.

（2）與面積有關(guān)的幾何概型

例5 （1）（2012·湖北高考）如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓.在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是 " ".

解析：（1）法一：設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個半圓交于點(diǎn)C，OA的中點(diǎn)為D，如圖，連接OC，DC.不妨令OA=OB=2，則OD=DA=DC=1.在以O(shè)A為直徑的半圓中，空白部分面積S1=π4+12×1×1-（π4-12×1×1）=1，所以整體圖形中空白部分面積S2=2.又因?yàn)镾扇形OAB=14×π×22=π，所以陰影部分面積為S3=π-2.

所以P=π-2π=1-2π.

法二：連接AB，設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個半圓交于點(diǎn)C，令OA=2.

由題意知C∈AB且S弓形AC=S弓形BC=S弓形OC，

所以S空白=S△OAB=12×2×2=2.

又因?yàn)镾扇形OAB=14×π×22=π，所以S陰影=π-2.

所以P=S陰影S扇形OAB=π-2π=1-2π.

方法小結(jié)：

求解與面積有關(guān)的幾何概型首先要確定試驗(yàn)的全部結(jié)果和構(gòu)成事件的全部結(jié)果形成的平面圖形，然后再利用面積的比值來計算事件發(fā)生的概率.這類問題常與線性規(guī)劃知識聯(lián)系在一起.

（3）與體積有關(guān)的幾何概型

例6 在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為 " ".

解析：（1）點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的點(diǎn)位于以O(shè)為球心，以1為半徑的半球的外部.記點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1為事件A，則P（A）=23-12×4π3×1323=1-π12.

方法小結(jié)：

與體積有關(guān)的幾何概型是與面積有關(guān)的幾何概型類似的，只是將題中的幾何概型轉(zhuǎn)化為立體模式，至此，我們可以總結(jié)如下：

對于一個具體問題能否應(yīng)用幾何概型概率公式，關(guān)鍵在于能否將問題幾何化;也可根據(jù)實(shí)際問題的具體情況，選取合適的參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此基礎(chǔ)上，將試驗(yàn)的每一個結(jié)果一一對應(yīng)于該坐標(biāo)系中的一個點(diǎn)，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個可度量區(qū)域.

統(tǒng)計中常見題型

（1）用樣本估計總體

例7 從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖由圖中數(shù)據(jù)可知身高在[120，130]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為 " .

解析：由題意知a×10+0.35+0.2+0.1+0.05=1，

則a=0.03，故學(xué)生人數(shù)為0.3×100=30.

1.在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數(shù)的值，而平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，眾數(shù)是最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

2.注意區(qū)分直方圖與條形圖，條形圖中的縱坐標(biāo)刻度為頻數(shù)或頻率，直方圖中的縱坐標(biāo)刻度為頻率/組距.

3.方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問題時，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.

（2）用樣本的頻率分布估計總體分布

例8 （2012·廣東高考）某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].

（1）求圖中a的值;

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生語文成績的平均分;

（3）若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（x）與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（y）之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績在[50，90）之外的人數(shù).

分?jǐn)?shù)段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）

x∶y1∶12∶13∶44∶5

解析：（1）由頻率分布直方圖知（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1，解得a=0.005.

（2）由頻率分布直方圖知這100名學(xué)生語文成績的平均分為55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73（分）.

（3）由頻率分布直方圖知語文成績在[50，60），[60，70），[70，80），[80，90）各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)依次為0.005×10×100=5，0.04×10×100=40，0.03×10×100=30，0.02×10×100=20.

由題中給出的比例關(guān)系知數(shù)學(xué)成績在上述各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)依次為5，40×12=20，30×43=40，20×54=25.

故數(shù)學(xué)成績在[50，90）之外的人數(shù)為100-（5+20+40+25）=10.

方法小結(jié)：

解決頻率分布直方圖問題時要抓?。?/p>

（1）直方圖中各小長方形的面積之和為1.

（2）直方圖中縱軸表示頻率組距，故每組樣本的頻率為組距×頻率組距，即矩形的面積.

（3）直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總體數(shù).

綜上，在概率統(tǒng)計題型中，題型方法比較多，和高中階段其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系比較多，注重對典型例題的分析和方法的總結(jié)有利于在高考中取得高的分?jǐn)?shù).

（作者：吳文輝，江蘇省長涇中學(xué)）