一道中考題引發(fā)的探索

2014年江蘇省無(wú)錫市中考數(shù)學(xué)試卷中有這樣一道題：

已知A樣本的數(shù)據(jù)如下：72，73，76，76，77，78，78，78.若B樣本的數(shù)據(jù)恰好是A樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)都加2，則A，B兩個(gè)樣本的下列統(tǒng)計(jì)量中對(duì)應(yīng)相同的是（）.

A.平均數(shù) B.標(biāo)準(zhǔn)差 C.中位數(shù) D，眾數(shù)

分析：解決本題的思路是分別求出A樣本和B樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)、眾數(shù)，再找出值相同的統(tǒng)計(jì)量，

解：A樣本的平均數(shù)為76，標(biāo)準(zhǔn)差約為2.18.中位數(shù)為76.5，眾數(shù)為78；B樣本的平均數(shù)為78，標(biāo)準(zhǔn)差約為2.18，中位數(shù)為78.5，眾數(shù)為80.故選B.

本題研究對(duì)一組數(shù)據(jù)都加上一個(gè)常數(shù)后平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的變化情況，當(dāng)一組數(shù)據(jù)按照某種規(guī)律變化后，如果能夠找到它們的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等的變化規(guī)律，就可以簡(jiǎn)化汁算，提高解題的速度和正確率.

一般地，我們有如下規(guī)律：

有兩組數(shù)據(jù)，設(shè)其平均數(shù)分別為，眾數(shù)分別為，中位數(shù)分別為，極差分別為，方差分別為，則：

（1）當(dāng)?shù)诙M中每個(gè)數(shù)據(jù)比第一組中每個(gè)數(shù)據(jù)都增加m（m為任意實(shí)數(shù)）個(gè)單位時(shí)，則有

（2）當(dāng)?shù)诙M中每個(gè)數(shù)據(jù)是第一組中每個(gè)數(shù)據(jù)的，n（n為任意實(shí)數(shù)）倍時(shí)，則有

（3）當(dāng)?shù)诙M中每個(gè)數(shù)據(jù)是第一組中每個(gè)數(shù)據(jù)的n倍再曾加m個(gè)單位時(shí)（m，n均為任意實(shí)數(shù)），則

以上各規(guī)律，利用有關(guān)的定義和計(jì)算公式很容易證明，同學(xué)們小妨試著推導(dǎo)一下.

下面舉例說(shuō)明上述規(guī)律的應(yīng)用.

例l （2014年·安順）已知一組數(shù)據(jù)l，2，3，4，5的方差為2，則另一組數(shù)據(jù)11，12，13，14，15的方差為_(kāi)_____.

解析：觀察可知，將數(shù)據(jù)1，2，3，4，5分別加上10，即可得到另一組數(shù)據(jù)11，12，13，14，15.根據(jù)（l）可知，兩組數(shù)據(jù)的方差相同，所以數(shù)據(jù)11，12，13，14，15的方差也為2.

例2 已知一組數(shù)據(jù)如表1所示，那么另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（）.

解析：從表中可知，所以計(jì)算可得平均數(shù)為2，方差為.而新的一組數(shù)據(jù)是由已知數(shù)據(jù)的各個(gè)數(shù)據(jù)的2倍再減去l得到的，根據(jù)（3），所求的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)x=2x2-1=3，方差，所以應(yīng)選D.

例3 已知數(shù)據(jù)1，2，3，4，5的平均數(shù)，中位數(shù)b=3，極差c=4，方差，求：

（1）3，4，5，6，7的平均數(shù)、中位數(shù)、極差和方差；

（2）4，8，12，16，20的平均數(shù)、中位數(shù)、極差和方差；

（3）3，5，7，9，11的平均數(shù)、中位數(shù)、極差和方差，

簡(jiǎn)析：（1）將1，2，3，4，5分別加上2，就得到3，4，5，6，7.利用上述規(guī)律即可求出.

（2）將1，2，3，4，5分別乘以4，就得到4，8，12，16，20.利用上述規(guī)律即可求出.

（3）將1，2，3，4，5分別乘以2再加上l，就得到3，5，7，9，11.利用上述規(guī)律即可求出.

練習(xí)：

1.如果一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，眾數(shù)是1，中位數(shù)是3.5，極差是4，方差是，則一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_(kāi)_____，眾數(shù)為_(kāi)____，中位數(shù)為_(kāi)___，極差為_(kāi)_____，方差為_(kāi)_____.

2.如果一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為眾數(shù)為a，中位數(shù)為b，極差為c，方差為，求一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差和方差.

3.小芳通過(guò)計(jì)算甲、乙、丙、丁四組數(shù)據(jù)的方差后，發(fā)現(xiàn)有三組數(shù)據(jù)的方差相同.請(qǐng)你通過(guò)觀察或計(jì)算，找出方差不同的一組數(shù)據(jù)：（）.

甲：102，103，105，107，108；乙：2，3，5，7，8；

丙：4，9，25，49，64；

丁：2102，2103，2105，2107，2108.

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁