分類討論，輕松搞定漏解

分類討論思想在數(shù)學(xué)中幾乎無(wú)處不在.掌握了分類討淪思想，解題時(shí)就可以避免考慮不周造成的增解或漏解.下面就數(shù)據(jù)分析的題目舉例說(shuō)明，供參考.

例1 一組數(shù)據(jù)為-1，0，2，3，x.若這組數(shù)據(jù)的極差是5，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是______.

分析：岡為這組數(shù)據(jù)的極差是5，且x是未知數(shù)，所以可按x取最大值或最小值進(jìn)行分類討淪.

解：（1）當(dāng)x為最大值時(shí)，x-（-1）=5，所以x=4.所以平均數(shù)是（-1+0+2+3+4）÷5=1.6.

（2）當(dāng)x為最小值時(shí)，3-x=5，所以x=-2.所以平均數(shù)是（-1+0+2+3-2）÷5=0.4.

綜上，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.6或0.4.

例2 已知一組數(shù)據(jù)2，3，6，8，x的眾數(shù)是x，其中x是不等式組的一個(gè)整數(shù)解，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______.

分析：首先要求出不等式組的整數(shù)解，冉根據(jù)眾數(shù)進(jìn)行討論，

解：易知不等式組的解集為2

∴不等式組的整數(shù)解為3，4，5，6.

因數(shù)據(jù)2，3，6，8，x的眾數(shù)是x，故x=3或x=6.

（1）當(dāng)x=3時(shí)，按從小到大排序后該組數(shù)據(jù)為2，3，3，6，8，則中位數(shù)為3：

（2）當(dāng)x=6時(shí)，按從小到大排序后該組數(shù)據(jù)為2，3，6，6，8，則中位數(shù)為6.

綜上，中位數(shù)為3或6.

例3 已知一組數(shù)據(jù)10，10，x，8的中位數(shù)與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為______.

分析：這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是數(shù)據(jù)按大小排序后最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，但因x的大小不確定，所以進(jìn)行分類討論方能萬(wàn)無(wú)一失.

解：（1）當(dāng)x≤8時(shí)，原數(shù)據(jù)從小到大排列為x，8，10，10，則中位數(shù)是

根據(jù)題意，得

解得x=8.此時(shí)中位數(shù)是9.

（2）當(dāng)8

根據(jù)題意，得

解得x=8.不符合題設(shè)，舍去.

（3）當(dāng)x≥10時(shí)，原數(shù)據(jù)從小到大排列為8，10，10，x，則中位數(shù)是

根據(jù)題意，得

解得x=12.此時(shí)中位數(shù)是10.

綜上，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9或10.

例4 張老師對(duì)同學(xué)們的打字能力進(jìn)行測(cè)試.他將全班同學(xué)分成了五組，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這五個(gè)小組平均每分鐘打字的個(gè)數(shù)如下：100，80，x，90，90.若這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______.

解：顯然，眾數(shù)只能是80，90，100中的一個(gè).

（l）當(dāng)眾數(shù)是90時(shí)，

解得x=90.

∴這組數(shù)據(jù)為80，90，90，90，100.

∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為90.

（2）當(dāng)眾數(shù)是80時(shí)，

解得x=40.

但這時(shí)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)并不是80，故此種情況不存在.

（3）當(dāng)眾數(shù)是100時(shí)，

解得x=140.

這時(shí)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)也不是100，故此種情況不存在，

綜上，應(yīng)填90.

例5 一組數(shù)據(jù)為1，2，3，x.若x為整數(shù)，且求這組數(shù)據(jù)的方差.

分析：因?yàn)閤是未知數(shù)，所以要進(jìn)行分類討論.

解：因?yàn)檎麛?shù)，故x=2或x=3.

（1）當(dāng)x=2時(shí)，數(shù)據(jù)為1，2，2，3.計(jì)算可得

（2）當(dāng)x=3時(shí)，數(shù)據(jù)為1，2，3，3.計(jì)算可得

綜上，這組數(shù)據(jù)的方差是

牛刀小試：

1.在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，10名學(xué)生的成績(jī)（單位：分）為75，80，80，70，85，95，70，65，70，80.則這次競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)是______.

2.某中學(xué)舉行歌詠比賽，以班為單位參賽，評(píng)委組的各位評(píng)委給九（3）班的演唱的打分情況如下表所示.從中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，則余下的分?jǐn)?shù)的平均分是（）.

A.92分 B.93分 C.94分 D.95分

3.如果一組數(shù)據(jù)1，-3，0，x，2的極差是5，那么x=________.

參考答案：

1. 70分和80分 2.c 3.-3≤x≤2