反映對(duì)象特征的幾個(gè)數(shù)值

許多問題具有不確定性，例如，擲一枚均勻的硬幣，事先并不能說準(zhǔn)硬幣落地后是哪一面向上的；射擊打靶之前，不能確定子彈落在靶上的確切位置；年初時(shí)，很難準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)某地區(qū)全年的降水量，這類問題被稱為不確定性問題或隨機(jī)性問題.

為了研究不確定性問題，更深入地研究已發(fā)生的現(xiàn)象和較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)未發(fā)生的現(xiàn)象，人們想到了利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的方法.具有不確定性的對(duì)象雖然不好把握，但是人們可以收集與其相關(guān)的數(shù)據(jù)，通過分析這些數(shù)據(jù)，來發(fā)現(xiàn)對(duì)象的變化規(guī)律，從而作出更接近于客觀的估計(jì).這就是統(tǒng)計(jì)的作用.

每一個(gè)統(tǒng)計(jì)過程都是從收集數(shù)據(jù)起步的，收集到的數(shù)據(jù)叫做原始數(shù)據(jù).雖然原始數(shù)據(jù)包含了研究對(duì)象的大量信息，但是它們往往是初級(jí)的、表層的，人們經(jīng)常要對(duì)其加工整理，從中挖掘出更有用的深層信息.在加工整理原始數(shù)據(jù)時(shí)，人們會(huì)得到一些能從某個(gè)角度反映研究對(duì)象的某些特征的數(shù)值.常用的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是反映研究對(duì)象的集中趨勢(shì)的數(shù)值，方差則是反映研究對(duì)象離散（波動(dòng)）程度的數(shù)值.

一、平均數(shù)

在一個(gè)具有不確定性的問題中，與研究對(duì)象相關(guān)的數(shù)據(jù)可能有大有小.數(shù)據(jù)的平均數(shù)是反映研究對(duì)象的平均水平的數(shù)值.數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)為.這是最簡(jiǎn)單的平均數(shù)，

例l 甲、乙兩名選手各射擊10次，所取得的成績(jī)?nèi)绫?所示.試比較每人的單槍平均成績(jī)，并說明其含義.

解析：甲的單槍平均成績(jī)?yōu)?/p>

從另一個(gè)角度看，甲10槍中命中6環(huán)2次.7環(huán)3次，8環(huán)2次，9環(huán)1次，10環(huán)2次，共5種成績(jī)，所以他的單槍平均成績(jī)也可以如下計(jì)算：

用同樣的算法可得乙的單槍平均成績(jī)?yōu)?/p>

由可知，雖然甲、乙兩人的成績(jī)不完全相同，但是從單槍平均水平的角度看兩人的成績(jī)相同.

一般地，如果一組數(shù)據(jù)中共有m種不同的值，記它們?yōu)椴⑶移渲蟹謩e叫做的權(quán).數(shù)值叫做這組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)，例如，上面的和都是加權(quán)平均數(shù).可以看出，這里的加權(quán)平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的一個(gè)簡(jiǎn)化形式，它在計(jì)算上會(huì)更加簡(jiǎn)便.

二、中位數(shù)

除了用平均數(shù)反映對(duì)象的平均水平外，還可以用中位數(shù)來反映對(duì)象的居中水平.

把n個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排成一列，相同的數(shù)重復(fù)進(jìn)行排列.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，排在正中間位置的一個(gè)數(shù)，叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，排在中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù).例如，1，l，2，3，5，6，7這7個(gè)數(shù)的中位數(shù)是3；l，l，2，3，4，5，6，7這8個(gè)數(shù)的中位數(shù)是.中位數(shù)體現(xiàn)了一組數(shù)據(jù)中間位置的數(shù)據(jù)水平，它反映了具有不確定性的研究對(duì)象在中等狀態(tài)下的水平.

例2 根據(jù)表1，比較甲、乙射擊成績(jī)的中位數(shù)，并說明其含義.

解析：把甲、乙的各次成績(jī)分別從小到大依次排列，得到如下兩組數(shù)據(jù)：

甲 6 6 7 7 7 8 8 9 10 10

乙 7 7 7 7 8 8 8 8

9

9

甲射擊成績(jī)的中位數(shù)為（7+8）÷2=7.5，乙射擊成績(jī)的中位數(shù)為（8+8）÷2=8.這說明，在一般情形下，甲發(fā)揮到中等水平時(shí)成績(jī)約介于7環(huán)和8環(huán)之間，乙發(fā)揮到中等水平時(shí)成績(jī)可能為8環(huán).乙的中位數(shù)較大，如果兩人都是中等水平發(fā)揮，乙的成績(jī)略好的可能性要大些.

三、眾數(shù)

具有不確定性的研究對(duì)象，在相同的試驗(yàn)條件下，可能有不同的表現(xiàn)，哪種表現(xiàn)的可能性最大呢？這可以用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的眾數(shù)來反映，

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)最多的數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).例如，數(shù)據(jù)1，2，1，3，3，6，4，5，3的眾數(shù)是3；數(shù)據(jù)3，1，2，l，5，1，2，3，2的眾數(shù)是1和2.如果一組數(shù)據(jù)中各個(gè)不同的數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都相同，則這組數(shù)據(jù)中不存在眾數(shù).眾數(shù)表現(xiàn)了一組數(shù)據(jù)的聚集點(diǎn)（或稱為“熱點(diǎn)”），它反映了具有不確定性的研究對(duì)象通常最可能呈現(xiàn)的水平.

例3 根據(jù)表1，比較甲、乙射擊成績(jī)的眾數(shù)，并說明其含義.

解析：甲的成績(jī)有5種，其中6環(huán)出現(xiàn)2次，7環(huán)出現(xiàn)3次，8環(huán)出現(xiàn)2次，9環(huán)出現(xiàn)1次，10環(huán)出現(xiàn)2次.7環(huán)出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)是7.

乙的成績(jī)有3種，其中7環(huán)出現(xiàn)4次.8環(huán)出現(xiàn)4次，9環(huán)出現(xiàn)2次，出現(xiàn)次數(shù)最多的是7環(huán)和8環(huán)，所以眾數(shù)是7和8.

從比較兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的角度來看，在一般情形下，甲射中7環(huán)比取得其他成績(jī)的可能性要大些，乙射中7環(huán)或8環(huán)比取得其他成績(jī)的可能性要大些，

一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，包括數(shù)據(jù)的平均水平、居中水平和聚集水平，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)分別代表了這三個(gè)水平.所以說它們是描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的三個(gè)代表，

四、方差

考察具有不確定性的對(duì)象的特征時(shí)，除了從集中趨勢(shì)的角度研究以外，還可以研究與研究對(duì)象相關(guān)的數(shù)據(jù)的變化幅度，即數(shù)據(jù)的離散程度，從整體上看，如果一組數(shù)據(jù)的值比較接近，則說這組數(shù)據(jù)分布得比較緊密，它的離散程度較??；反之，如果一組數(shù)據(jù)的值差距較大，則說這組數(shù)據(jù)分布得比較松散，它的離散程度較大，離散程度較小的一組數(shù)據(jù)，從整體上看各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度較??；離散程度較大的一組數(shù)據(jù)，從整體上看各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度較大.

為了精確地反映一組數(shù)據(jù)的離散程度，可以把一組數(shù)據(jù)中的全部n個(gè)數(shù)據(jù)，的平均數(shù)x作為基準(zhǔn)，計(jì)算各數(shù)據(jù)與x的差的平方，這些平方的平均數(shù)就叫做這組數(shù)據(jù)的方差.因?yàn)榉讲羁梢詮恼w上反映數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度，所以它成為了反映研究對(duì)象離散程度的數(shù)值.

例4 根據(jù)表l，比較甲、乙射擊成績(jī)的方差，并說明其含義.

解析：從例1可知，甲、乙射擊成績(jī)的平均數(shù)都是7.8.把甲、乙的各次成績(jī)依次代人下式：得

比較兩個(gè)方差可以估計(jì)：就目前的情況來說，甲射擊成績(jī)的離散程度較大.這說明，兩人相比甲的表現(xiàn)波動(dòng)大些，乙相對(duì)更穩(wěn)定些.這可以為選拔選手和制定有針對(duì)性的訓(xùn)練計(jì)劃提供依據(jù).

以上圍繞一個(gè)射擊問題，簡(jiǎn)單地說明了反映對(duì)象特征的四種數(shù)值.同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)知識(shí)時(shí)應(yīng)注意結(jié)合一些具體事例去理解它們，要逐步體會(huì)統(tǒng)計(jì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，而不是僅僅關(guān)注一些具體的計(jì)算.