對一節(jié)同課異構(gòu)課的“CT”掃描

在一次幾何教學(xué)專題教研中，我們安排了四位教師同課異構(gòu)《線段、角的軸對稱性》第一課時。在聽課反饋中我們采用了類似于醫(yī)學(xué)檢驗中的“CT”掃描法，各位聽課、授課的教師暢所欲言，對這一課時的教學(xué)組織案例分了四個橫斷面進行掃描和研討。

橫斷面一：線段的軸對稱性結(jié)論的得到

為得到結(jié)論1：線段是軸對稱圖形，結(jié)論2：線段的垂直平分線是它的對稱軸，四位教師探究活動可分為以下兩類。

[Ⅰ類]1.猜想：線段是軸對稱圖形

2.活動：每位同學(xué)拿出一張薄紙，在紙上畫一條線段，對折

3.觀察：折痕有什么特殊的幾何特征

4.發(fā)現(xiàn)：折痕是線段的垂直平分線

5.驗證：設(shè)折痕PQ交線段AB于點O，因為對折重合，所以O(shè)A=OB，∠POA=∠POB=90°

6.結(jié)論：線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸

[Ⅱ類]1.活動：每位同學(xué)拿出一張薄紙，在紙上畫一條線段AB，作線段AB的垂直平分線l，交AB于點O，把OA沿直線l翻折

2.發(fā)現(xiàn)：OA與OB重合

3.驗證：因為直線l垂直線段AB，所以∠1=∠2=90°，所以把OA沿直線l翻折，與OB在同一條射線上，又因為OA=OB，所以O(shè)A與OB重合

對Ⅰ類活動設(shè)計的幾個疑問：

1.為什么對折線段AB？（實際上已經(jīng)默認了線段是軸對稱圖形，只要端點A、B重合就是對折，這是拿著第一個結(jié)論去導(dǎo)出第二個結(jié)論）

2.端點A、B怎么就能重合？如果不是薄紙，端點A、B怎樣確保重合？（教師可幫助學(xué)生回憶針孔法）

3.全班同學(xué)畫出的只是具體線段，能窮盡所有線段去折疊去驗證嗎？

對Ⅱ類活動設(shè)計的幾個疑問：

1.為什么作線段的垂直平分線而不是其他的直線？（活動的指向性太強，終究是知識的傳遞）

2.學(xué)生通過找中點畫垂線的方法精準(zhǔn)嗎？（本節(jié)教材中給出的兩個練習(xí)很好地規(guī)避了這個問題）

重新思考：Ⅱ類活動并不是真正意義上的活動，還僅僅是知識傳授（活動中指定作線段的垂直平分線），弱化了學(xué)生數(shù)學(xué)思考的培養(yǎng)。Ⅰ類活動設(shè)計是有效活動，但僅有活動Ⅰ就得到結(jié)論是不嚴密的，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認識到，“線段的垂直平分線是它的對稱軸”的活動經(jīng)驗是基于假設(shè)獲得的，我們不可能通過反復(fù)實驗驗證它的正確性，但可從全班同學(xué)的活動中抽象出線段的垂直平分線的概念，教師進而再引導(dǎo)學(xué)生反思：線段的垂直平分線為什么是線段的對稱軸（有學(xué)者稱之為“自反抽象”），以此為直接對象，進行推理，這樣由淺入深得到了知識，從而培養(yǎng)學(xué)生認識具體與抽象、特殊與一般的辯證關(guān)系。

掃描結(jié)論：經(jīng)驗不能代替知識，但經(jīng)驗可以轉(zhuǎn)化為知識。

橫斷面二：線段垂直平分線性質(zhì)定理的得到

給出問題：線段AB的垂直平分線l交AB于點O，點P在直線上，PA與PB相等嗎？為什么？四位教師在課堂上都設(shè)計了組內(nèi)交流環(huán)節(jié)，學(xué)生展示的成果有：度量法，圓規(guī)截取比較法，證明圖形全等，翻折重合。

重新思考：教學(xué)中還要引導(dǎo)學(xué)生認識，用度量法和圓規(guī)截取比較法得到的結(jié)論都只是活動中的經(jīng)驗和猜想，會有誤差，需要得到證明。對稱是一種全等變換，因此教學(xué)中可以不具體呈現(xiàn)直角三角形全等的證明，而是將教學(xué)重點放在利用線段的軸對稱性進行合情推理上，激發(fā)學(xué)生對“變換幾何”的價值認同——運用圖形的運動研究圖形的性質(zhì)。

掃描結(jié)論：發(fā)展學(xué)生的合情推理和演繹推理同樣重要。

橫斷面三：線段垂直平分線外的點到線段兩端距離不等的得到

教師首先引發(fā)學(xué)生思考：不在中垂線上的點P還具備“到線段兩端距離相等”這樣的性質(zhì)嗎？學(xué)生通過目測或度量，發(fā)現(xiàn)不相等。然后引導(dǎo)學(xué)生采用化歸的方法，將未知的、較為復(fù)雜困難的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或較容易解決的問題。

重新思考：“化歸法的核心思想是代表了相反方向上的思考和轉(zhuǎn)化”。這里具體的反方向轉(zhuǎn)化就是將點P“反轉(zhuǎn)到”中垂線上的點Q（見下圖），學(xué)生理解了這樣的轉(zhuǎn)化后，證明就水到渠成了。對于后續(xù)學(xué)習(xí)圓周角性質(zhì)定理，學(xué)生也就不難理解將圓外（內(nèi)）角反轉(zhuǎn)化為圓周角了。

掃描結(jié)論：從“廣度”與“深度”上研讀教材，深入淺出。

橫斷面四：教材中兩個練習(xí)題的處理

第1題是數(shù)學(xué)內(nèi)部的知識應(yīng)用：利用網(wǎng)格線畫線段PQ的垂直平分線;第2題是數(shù)學(xué)外部的知識應(yīng)用：在公路旁設(shè)一個公共汽車站，設(shè)在什么地方，才能使A，B兩村到車站的距離相等？有教師將第2題作為問題引入，最后解決這個問題實現(xiàn)首位呼應(yīng)。

研討中教師有兩個疑惑：練習(xí)1的價值是什么？練習(xí)2的解決似乎用了第二課時的定理“到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上”。

重新思考：尺規(guī)作線段的垂直平分線的理論依據(jù)是到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上，本節(jié)課上是無法完成的，但是利用網(wǎng)格線能準(zhǔn)確找到線段中點并作垂直（回顧舊知），練習(xí)1使學(xué)生明白網(wǎng)格是作線段垂直平分線的有效工具，對今后在平面直角坐標(biāo)系中研究幾何圖形有幫助。練習(xí)2是培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，它的正確性就在于命題“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”（純粹性）和它的逆命題（完備性）都是真命題，所以有了線段垂直平分線的“集合”定義：{P│點P到線段兩端距離相等}，這樣的設(shè)置起到承上啟下的作用。

掃描結(jié)論：理解習(xí)題的設(shè)計價值，觸類旁通。

以上掃描的四個橫斷面合成了一個完整的“關(guān)聯(lián)式”活動：發(fā)現(xiàn)并證明線段的軸對稱性，利用它推導(dǎo)出線段中垂線的性質(zhì)，運用和鞏固中垂線的性質(zhì)。教學(xué)中要充分發(fā)揮每一個活動的價值，實現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)中要求的“四基”的有效達成。

作者單位：江蘇鎮(zhèn)江市教研室