開發(fā)數(shù)學(xué)“同源問題”的策略研究與思考

摘 " 要

開發(fā)數(shù)學(xué)“同源問題”可促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，更有利于學(xué)生自覺高效地“學(xué)數(shù)學(xué)，做數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)”。對(duì)數(shù)學(xué)“同源問題”的開發(fā)常常從敘述方式、表征形式、解決途徑、演化變式、呈現(xiàn)角度等途徑入手。教師抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，適當(dāng)?shù)貙?duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行開發(fā)與重組，使得數(shù)學(xué)“同源問題”的表征、解決呈現(xiàn)多元化的態(tài)勢(shì)，就能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)知理解。

關(guān)鍵詞

開發(fā) 同源問題 策略 引導(dǎo) 理解

一、問題的提出

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“理解”無疑是第一位的。章建躍教授提出并強(qiáng)調(diào)的“三個(gè)理解”之一便是理解數(shù)學(xué)，主要指理解所教內(nèi)容、思想方法、科學(xué)價(jià)值等。但同時(shí)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，我們經(jīng)常見到學(xué)生面對(duì)難度不大稍有變化的題目時(shí)不知如何入手，難以把握問題的主干結(jié)構(gòu)，解題如同進(jìn)入迷宮一樣不知出口在哪里。這種現(xiàn)象表明學(xué)生缺乏對(duì)問題中已知條件的把握與理解，缺乏正確分析問題的基本策略和方法，進(jìn)入一種“只在此山中，云深不知處”的處境。在平時(shí)的教學(xué)中，教師若能夠多角度、多渠道引導(dǎo)學(xué)生撥開迷霧，識(shí)別問題的本質(zhì)，將有助于學(xué)生較快找到解題的突破口，從而大大提高解題的效率。因此，從促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解這一角度出發(fā)，教師對(duì)數(shù)學(xué)“同源問題”進(jìn)行開發(fā)不僅應(yīng)該做，更可說是值得做的。有些問題系列可由同一個(gè)數(shù)學(xué)問題衍生、拓展、推廣得到，我們把問題系列中的這些問題稱為“同源問題”。

二、數(shù)學(xué)“同源問題”的開發(fā)策略

1.“同源問題”敘述方式的開發(fā)

數(shù)學(xué)問題的敘述方式主要是指對(duì)問題的條件及所需求解（或求證）問題的表述方式。對(duì)敘述的方式開發(fā)主要是指在不改變問題本質(zhì)屬性的情況下，改變問題的敘述方式。適切地開發(fā)敘述方式有利于學(xué)生提高對(duì)數(shù)學(xué)問題的識(shí)別能力，促其深化對(duì)問題的條件和待求（證）量的認(rèn)識(shí)。

案例1 "當(dāng)a為何值時(shí)，方程x2+x+a=0沒有實(shí)數(shù)根？

這是一道十分典型的例題，具有普遍的適用性，為了讓學(xué)生抓住問題的本質(zhì)屬性，可把問題的敘述方式開發(fā)如下：

（1）當(dāng)a為何值時(shí)，二次函數(shù)y=x2+x+a的圖象與x軸沒有交點(diǎn)？

（2）當(dāng)a為何值時(shí)，拋物線y=x2+x+a位于x軸的上方？

（3）當(dāng)a為何值時(shí)，二次函數(shù)y=x2+x+a的值恒為正？

（4）當(dāng)a為何值時(shí)，不等式x2+x+a≤0無解？

（5）當(dāng)a為何值時(shí)，不等式x2+x+a>0的解集是全體實(shí)數(shù)？

（6）當(dāng)a為何值時(shí)，二次三項(xiàng)式x2+x+a的值恒為正？

感悟：不同的敘述方式，其實(shí)都是同一指向。在這樣的敘述方式的轉(zhuǎn)換中，學(xué)生可從中體會(huì)到數(shù)學(xué)問題的多角度敘述，從不同的敘述方式中體悟問題的實(shí)質(zhì)所在。

2.“同源問題”表征形式的開發(fā)

數(shù)學(xué)問題的表征形式通常指的是對(duì)數(shù)學(xué)問題中的信息以文字、圖形、符號(hào)、模型等形式進(jìn)行表達(dá)和闡釋。數(shù)學(xué)問題的表征存在多種形式，學(xué)生若不能靈活轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)語言，則容易造成解題的不完整或不完善現(xiàn)象。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中教師對(duì)所設(shè)問題進(jìn)行多種表征，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對(duì)數(shù)學(xué)表征的諸形式進(jìn)行“自由切換”的過程，可促其深化對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解。

案例2 完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2的數(shù)學(xué)表征（蘇科版七年級(jí)下冊(cè)9.4乘法公式第一課時(shí)）

（1）符號(hào)表征：利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算（a+b）2。

（2）文字表征：完全平方公式的特征是：首平方，尾平方，首尾乘積兩倍加中央。

（3）操作表征：請(qǐng)使用計(jì)算器，分別取幾組值計(jì)算（a+b）2和a2+2ab+b2的值，探究這兩個(gè)式子之間的關(guān)系。

（4）情境表征：有一位老奶奶很喜歡孩子，每次孩子到她家，她都會(huì)給他們一些糖，她立了一個(gè)規(guī)定：每次有多少孩子去，就會(huì)給每個(gè)孩子同樣數(shù)目的糖（如有5個(gè)孩子就給每個(gè)孩子5顆糖）?，F(xiàn)在有a個(gè)男孩子和b個(gè)女孩子準(zhǔn)備去老奶奶家，這些孩子在商量是分開去還是一起去所得的糖會(huì)多一些？多多少？請(qǐng)你幫他們解決這個(gè)問題。

（5）圖形表征：利用圖1，用不同的方法表示大矩形的面積，你有什么發(fā)現(xiàn)？

感悟：上述五種表征方式分別從符號(hào)、文字、操作、情境、圖形等方面進(jìn)行解構(gòu)，幫助學(xué)生從多角度認(rèn)識(shí)完全平方公式，對(duì)提高其數(shù)學(xué)表征能力有很大的促進(jìn)作用，更能理解數(shù)學(xué)表征形式之間的內(nèi)在聯(lián)系。

3.“同源問題”解決途徑的開發(fā)

對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決途徑的開發(fā)，主要指的是全面考慮解決途徑，實(shí)施一題多解的方式對(duì)問題進(jìn)行加工和處理。這樣的處理方式有利于學(xué)生比較問題的解決方式，甄選總結(jié)出最佳解決途徑，積累問題解決經(jīng)驗(yàn)。

案例3 二次函數(shù)當(dāng)x = 2時(shí)，y 有最小值為-3，且該二次函數(shù)的圖像與x 軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積為3，求該二次函數(shù)的解析式。

思路1 通過審題可知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)，因此可設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為y=a（x-2）2-3，只需建構(gòu)出關(guān)于字母a的方程即可。

思路2 通過審題可知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)，因此只需知道二次函數(shù)圖像上另一點(diǎn)即可，由題意可嘗試求二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得二次函數(shù)的解析式。

思路3 由二次函數(shù)的圖像與x 軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積為3可設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為 再設(shè)法建構(gòu)出關(guān)于字母m的方程即可求解。

思路4 可利用二次函數(shù)與對(duì)應(yīng)的一元二次方程之間的關(guān)系，聯(lián)系韋達(dá)定理來獲得待定字母的值，進(jìn)而求得二次函數(shù)的解析式。

感悟：上述問題分別從四個(gè)方面進(jìn)行解決，體現(xiàn)了問題解決的多樣性。在數(shù)學(xué)問題解決途徑的開發(fā)中，幫助學(xué)生增強(qiáng)對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)度，深化對(duì)解題途徑的認(rèn)識(shí)，逐漸達(dá)到融會(huì)貫通的程度。

4.“同源問題”演化變式的開發(fā)

數(shù)學(xué)問題常具有的演化變式有橫向變式、縱向變式、正向變式、負(fù)向變式等。橫向變式就是指將問題的條件或結(jié)論作局部改變，使新問題與它呈并列關(guān)系;縱向變式是指將問題的條件或結(jié)論進(jìn)行發(fā)展延伸，使新問題與它呈遞進(jìn)關(guān)系;正向變式是指此問題對(duì)彼問題的解題思想（方法）產(chǎn)生正遷移的作用，能夠促進(jìn)解決彼問題;負(fù)向變式是指此問題對(duì)彼問題的解題思想（方法）產(chǎn)生負(fù)遷移的作用，往往阻礙解決彼問題。通過對(duì)這些問題的衍變問題的解決，學(xué)生可洞察本質(zhì)，厘清問題的真面目，從而深化對(duì)問題的認(rèn)知理解。

案例4 問題1為源問題，問題2、問題3、問題4和問題5分別是問題1的橫向變式、縱向變式、正向變式和負(fù)向變式。

問題1 如圖2，已知直線l及其同側(cè)的點(diǎn)A，點(diǎn)B，在直線上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最小。

問題3 （2013年·湖北鄂州中考題）如圖4，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點(diǎn)A到直線a的距離為2，點(diǎn)B到直線b的距離為3，AB= ，試在直線a上找一點(diǎn)M，在直線b上找一點(diǎn)N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，則此時(shí)AM+NB=（ " ）。

A. 6 " " "B. 8 " " "C. 10 " " "D. 12

問題4 （2013年·廣東茂名中考題）如圖5，拋物線y=ax2 x+2與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）。

（1）求a的值和拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);

（2）分別連接AC、BC，在x軸下方的拋物線上求一點(diǎn)M，使△AMC與△ABC的面積相等;

（3）設(shè)N是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，d=|AN-CM|，探究：是否存在一點(diǎn)N，使d的值最大？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)和d的最大值;若不存在，請(qǐng)簡單說明理由。

問題5 （2012年·湖北黃石中考題）如圖6所示 動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ）。

感悟：橫向變式、縱向變式與正向變式等變式都往往與“源問題”屬同質(zhì)問題，即問題的本質(zhì)常常沒有改變，而負(fù)向變式往往與“源問題”屬異質(zhì)問題，解題方法或思路常顯示出明顯的區(qū)別，“源問題”的解決并不能促進(jìn)負(fù)向變式問題的解決，識(shí)別和解決這些同源問題，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的透徹理解。

5.“同源問題”呈現(xiàn)角度的開發(fā)

有些數(shù)學(xué)問題以不同的問題背景、不同的表達(dá)方式或者不同的結(jié)構(gòu)形式來隱性呈現(xiàn)，但是其實(shí)質(zhì)卻是“形異質(zhì)同問題”。開發(fā)此類問題對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)辨析能力大有幫助，促其思維從單一角度的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)向多元化認(rèn)識(shí)。

案例5 "問題“已知 求a+16b的值”的呈現(xiàn)角度。

問題1 "設(shè)x1、x2、x3…xn取-1，0，2中的任一個(gè)數(shù)，且x12+x22+x32+…+xn2=28，x13+x23+x33+…+xn3=44，求x14+x24+x34+…+xn4的值。

問題2 "有a（a>0）張卡片，在它們的上面分別寫上-1，0，2中的任一個(gè)數(shù)。小明將卡片上的數(shù)字平方后，求和為28;小麗將卡片上的數(shù)字立方后，求和為44。你能求出卡片上的數(shù)字四次方后是多少嗎？若能，寫出解答過程;若不能，說明理由。

問題3 甲、乙、丙、丁四人到文具店購買同一種筆記本和鋼筆，購買的數(shù)量及總價(jià)如表1所示。若其中一人的總價(jià)算錯(cuò)了，則此人是（ " " " ）。

A.甲 " " " "B.乙 " " " " C.丙 " " " " " "D.丁

問題4 學(xué)校組織了一次游戲，每位選手朝特制的靶子上各投3支飛鏢，在同一圓環(huán)內(nèi)得分相同。如圖7所示，小寧、小君、小紅的成績分別是29分、43分和33分，則小華的成績是（ " " ）。

A.31分 "B.33分 "C.36分 "D.38分

簡析：對(duì)于問題1，因?yàn)?對(duì)求和沒有影響，故求和的結(jié)果只與-1、2的個(gè)數(shù)有關(guān)。因此，在x1、x2、x3…xn中，設(shè)有a個(gè)-1，b個(gè)2，則問題可轉(zhuǎn)化為“已知 求a+16b的值”的等價(jià)問題。將符號(hào)表征的問題1賦以情境，則就變成了文字表征形式的問題2，同樣將問題1以表格表征，就成了問題3，用圖形表征即成問題4。

感悟：辨析“形異質(zhì)同問題”和“形似質(zhì)異問題”不能僅僅靠直覺，而要靠理性的邏輯思考和縝密的邏輯推理。要想實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，就需要教師有目的和有選擇地對(duì)數(shù)學(xué)問題以不同的問題背景或者不同的結(jié)構(gòu)形式來呈現(xiàn)。教師進(jìn)行開發(fā)時(shí)，可選擇題組來進(jìn)行呈現(xiàn)，呈現(xiàn)的方式既可以是顯性的，也可以是隱性的。開發(fā)此類問題有利于學(xué)生的辨析能力、創(chuàng)新思維的發(fā)展和提高。

三、思考與感悟

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是具有高度抽象性的數(shù)量關(guān)系和空間形式，是一種形式化的思想材料。數(shù)學(xué)“同源問題”的開發(fā)使得數(shù)學(xué)問題的表征、解決呈現(xiàn)多元化的態(tài)勢(shì)，從而豐富了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)角度，降低了數(shù)學(xué)的抽象化與形式化程度，使他們加深了對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)知理解。

1.對(duì)“同源問題”的開發(fā)應(yīng)適切于課程標(biāo)準(zhǔn)

教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過程，有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者。數(shù)學(xué)“同源問題”的開發(fā)應(yīng)以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為基，以教材為本，真正做到“用教材”，而不是“教教材”。教師應(yīng)圍繞“具有思考梯度、廣度、深度的問題”的目標(biāo)來開發(fā)“同源問題”，使開發(fā)后的問題系列能夠密切關(guān)聯(lián)，有利于學(xué)生逐步走向數(shù)學(xué)本質(zhì)。

2.對(duì)“同源問題”的開發(fā)應(yīng)理解數(shù)學(xué)

理解數(shù)學(xué)是指清楚“同源問題”的產(chǎn)生背景、形成過程、形成方法，清楚它們的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)及相互間的關(guān)系。其關(guān)鍵是把握“同源問題”內(nèi)在的多元聯(lián)系，善于區(qū)分“同源問題”蘊(yùn)含的核心知識(shí)和非核心知識(shí)。只有這樣，教師才能整合數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)為知識(shí)模塊，選擇合適的“同源問題”進(jìn)行開發(fā)，確定恰當(dāng)?shù)拈_發(fā)策略。 數(shù)學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)不是孤立存在的，而是有機(jī)聯(lián)系的整體，只有把握好“同源問題”的開發(fā)策略，教師方能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的有效建構(gòu)。

3.對(duì)“同源問題”的開發(fā)應(yīng)關(guān)注學(xué)情

數(shù)學(xué)“同源問題”的開發(fā)應(yīng)立足于促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)?！皩W(xué)生能否理解”以及“學(xué)生理解到什么程度”決定了教師對(duì)“同源問題”的開發(fā)程度和深度。唯如此，教師才能開發(fā)出與學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和思維特點(diǎn)相匹配的問題系列。學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體。由于學(xué)生存在個(gè)體差異，因此教師要從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，使得開發(fā)后的“同源問題”立足于學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，使學(xué)生能夠內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)、深化數(shù)學(xué)內(nèi)涵，真正做到“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。

作者單位：江蘇常熟外國語初級(jí)中學(xué)