以問題驅(qū)動“先學” 以交流促進“后教”

一次在江蘇省泰州市洋思中學學習，聽了一節(jié)蘇科版九年級（上）“直線與圓的位置關(guān)系”的課堂教學。上世紀80年代，洋思中學率先進行課改，創(chuàng)造了“先學后教，當堂訓練”的課堂教學模式，課堂上通過學生先學、教師后教、當堂訓練達成“雙基”目標。經(jīng)過三十多年的實踐，洋思的品牌依舊響亮，教學模式不斷創(chuàng)新。在新課程標準的理念下，洋思人不斷改進課堂模式，立足“三維目標”，以“四基”為抓手，不斷把課堂改革推向深入。筆者近距離地觀摩了新課標下的“先學后教，當堂訓練”的教學全程。對這一模式也有了全新的認識，切實感受到“以問題驅(qū)動‘先學’，以交流完善‘后教’”的課堂魅力。現(xiàn)把其課堂教學的片斷分享如下，供大家參考。

1.課堂片段呈現(xiàn)

1.1.“先學”指導（PPT展示）

教師依據(jù)課程標準、教材要求和學生的認知水平，設(shè)計如下的學生“自學”提綱，供學生在課上自學：

（1）本節(jié)課目標：探索直線與圓的位置關(guān)系;了解直線與圓的3種位置關(guān)系;會判斷直線與圓的位置關(guān)系，體會數(shù)形結(jié)合的思想。（這是學生的學習目標，不是教學目標）

（2）第70頁中巴金先生描寫的海上日出的景觀，你覺得美嗎？其中蘊含著數(shù)學知識嗎？你能從這一情境中抽象出怎樣的數(shù)學模型？

（3）在操作與思考這一環(huán)節(jié)，請你動手操作一遍，并演示給你的同桌看看，說說和（1）中的描述有什么聯(lián)系和區(qū)別，同時相互說說直線與圓的位置發(fā)生了什么變化，直線與圓的公共點發(fā)生了什么變化。

（4）直線與圓的位置關(guān)系可以借鑒點與圓的位置關(guān)系的研究方法嗎？若可以，你認為應從哪幾個方面研究直線與圓的位置關(guān)系？

（5）直線與圓有哪3種位置關(guān)系？如何用公共點的特征描述3種關(guān)系？結(jié)合圖2-37思考如何用d與r的關(guān)系描述直線與圓的位置關(guān)系，說出“直線與圓相切?d=r”和“d=r?直線與圓相切”的理由。

（6）直線與圓的位置關(guān)系有幾種判定方法？判定直線與圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為判定點與圓的位置關(guān)系嗎？怎么轉(zhuǎn)化？

（7）看例1時思考，題中為什么作CD⊥AB？這一作法具有普遍意義嗎？相互說說具體作法。

（8）在例1中，把“r為半徑的圓與AB所在的直線有怎樣的位置關(guān)系”改為“r為半徑的圓與線段AB有怎樣的位置關(guān)系”，你又是如何思考的？

（9）10分鐘后我們一起交流你學到的知識、方法以及你自學中不理解的問題。

1.2學生自學

學生對照“先學指導”的8點要求，認真看書，并用鉛筆在書上做適當?shù)挠浱?，按照提綱要求逐一理解，其中在自學到（2）時，必須用直尺自己操作一遍，感受直線與圓的位置變化關(guān)系。整個自學過程有序而安靜，教師在教室的行間巡視，進行督學，時刻關(guān)注學生中存在的問題和有問題的學生。

1.3“自學”交流

在學生“自學”10分鐘后，教師把學生分成6個小組。采取“請教”“互教”逐一完成交流提綱中的問題。有的小組是一人問另一人答，也有采取一人問眾人答。對部分學生不理解的問題，由掌握得好的同學輔導、講解。對大家都難以理解的由組長匯總，教師把各組匯總的問題和自己在巡視中發(fā)現(xiàn)的問題板書在黑板上，共3個問題：（1）對直線與圓的位置關(guān)系借助于點與圓的位置關(guān)系來研究，學生沒有重視（教師在巡視中的發(fā)現(xiàn)）;（2）“直線與圓相切?d=r”和“d=r?直線與圓相切”的理由難以說得清楚;（3）學生只關(guān)注結(jié)論，不關(guān)注結(jié)論形成的過程，比如“自學”環(huán)節(jié)中的（1）、（2）學生關(guān)注得很少。教師根據(jù)學生自學的情況，確定“后教”的內(nèi)容和方式。

1.4.教師“后教”

師：點與圓有幾種位置關(guān)系？如何用符號“?”表示d、r的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系？

生1：3種位置關(guān)系，點在圓外?d>r;點在圓上?d=r;點在圓內(nèi)?d

師：直線與圓的位置和點與圓的位置關(guān)系有相似之處嗎？

生2：有，我就是根據(jù)點和圓的位置關(guān)系來學習直線和圓的位置關(guān)系的，點和圓的位置關(guān)系是點在圓內(nèi)、圓上、圓外，直線和圓的位置關(guān)系是直線和圓相交、相切、相離，體現(xiàn)在d和r的數(shù)量關(guān)系上就是dr。

師：很好！能根據(jù)已有的知識學習新知識是人類探究新問題的基本方法，你能告訴我直線與圓的位置關(guān)系中的d和點與圓的位置關(guān)系中的d一樣嗎？

生2：不一樣，前者是圓心到直線的距離，是垂線段的長，后者是圓心到點的距離。

師：教材怎么想到用d與r的關(guān)系來反映直線與圓的位置關(guān)系的？

生3：這是借鑒點與圓的位置關(guān)系來研究的。

師：你說得很對！方法有時候比知識更重要，八年級我們學習分式時，就是借鑒分數(shù)的研究方法來學習分式的，這里，雖然d的含義不同，但后者借助于前者的研究方法，這樣的思路很重要，再比如我們學習函數(shù)，一般都是從情境中抽象出解析式，然后畫出圖像，再根據(jù)圖像研究函數(shù)的性質(zhì)，這樣的方法是通法，掌握了通法我們就找到了解決同一類問題的抓手，所以，我們在學習知識的同時，要加強對數(shù)學方法和思想的歸納總結(jié)，不斷提高解決問題的能力。

師：誰來說說“直線與圓相切?d=r”的理由？

生4：根據(jù)定義，當直線與圓相切時，直線與圓有唯一的公共點，把這一點和圓心連接起來，如果該連線和切線不垂直，根據(jù)圓的軸對稱性可知，切線和圓如有兩個交點，這和條件是矛盾的，所以連線一定和切線垂直，也就是d=r。

師：你分析得很深刻，說明你認真思考了這個問題，這種鉆研精神值得大家學習，你運用的是反證法的思想。如何運用反證法，下節(jié)課我們會詳細介紹，有興趣的同學課后可以通過網(wǎng)絡先自學反證法。下面請誰說說“d=r?直線與圓相切”的理由？

生5：我是這樣理解的，直線與圓相交（有兩個公共點，0≤dr），在從相離到相交的過程中，必然會出現(xiàn)直線和圓只有唯一公共點的情況，也就是直線和圓相切。（注：生4和生5的回答是在教師的引導下，全班多次討論而得出的結(jié)論，這兩個問題有相當?shù)碾y度）

師：分析得真好！這是一個夾逼的過程。我們繼續(xù)思考能不能把判定直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為判定點與圓的位置關(guān)系呢？

生6：可以，我觀察到，在圖2-37中，我們只要看點D與圓的位置關(guān)系即可，若點D在圓內(nèi)，則直線與圓相交;點D在圓上，則直線與圓相切;點D在圓外，則直線與圓相離。

師：其實就是判斷垂足與圓的位置關(guān)系，這是數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，我們一般把未知的知識轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學習過的知識和經(jīng)驗來解決，從而產(chǎn)生化歸的思想?，F(xiàn)在，我們一起來總結(jié)，判斷直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種方法？

生7：可以用直線與圓公共點的個數(shù)來判斷。

生8：可以用d與r的數(shù)量關(guān)系來判斷。

生9：可以過圓心作直線的垂線段，根據(jù)垂足（點）與圓的位置關(guān)系來判斷。

（因篇幅限制，省略例題）

1.5當堂訓練

必做題第73頁題1;選做題第73頁題2;思考題（略）。

2.幾點感悟

2.1以問題驅(qū)動“先學”，以對話交流思考

學生如何“先學”？是簡單看書，記住結(jié)論就行嗎？能當堂完成所有的題目就是“先學”效果好嗎？顯然不是，“先學”是在教師的引導下，學生動手操作、獨立思考、自主探究、合作交流的過程。本節(jié)課教師依據(jù)課程標準、教材要求和學生的認知水平，設(shè)計了9條學生“自學”提綱，從方向、方法兩個方面進行引導。所謂方向，就是本節(jié)課的學習目標（不是課堂教學目標），主要指學生應該掌握的知識、形成的技能、培養(yǎng)的能力等，所謂方法，就是學生自學過程中應該看哪些內(nèi)容、思考哪些問題、參與哪些活動、完成哪些習題等，這樣設(shè)計的目的是讓學生的自學有方向、有方法，減少自學的盲目性，真正做到讓學生自主而不自由，放手而不放任。

設(shè)計者以問題驅(qū)動“先學”，9個問題環(huán)環(huán)相扣，涵蓋了本節(jié)課知識、技能、思想方法、思維訓練等方面的要求，通過引導學生看書、操作、思考、計算、驗證，讓學生經(jīng)歷知識的形成過程，這一過程是生動活潑的、主動的且富有個性，學生不僅獲取了知識，還學會了數(shù)學思考，學會了解決問題，獲得數(shù)學學習的體驗。自學之后的“對話交流”環(huán)節(jié)設(shè)計非常科學，一方面通過生生交流，達到“請教”和“互教”的目的，提高了學習的效率，讓整個班級都沉浸在學習的氛圍中，另一方面通過生生交流、師生交流，教師能及時了解學情，準確捕捉“后教”的素材，學生會的就不講，真正做到“以學定教”，對于個別人、個別問題，可以請同學相互教，對于共性的問題，面向全班教。

2.2“后教”完善知識鏈，讓思維變得深刻

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）（以下簡稱“標準”）指出：有效的教學活動是學生學與教師教的統(tǒng)一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。怎么“后教”？存在兩種誤區(qū)，一種觀點認為，學生已經(jīng)先學了，再教就是浪費時間，所以，把“后教”直接就變成了習題訓練;另一種觀點認為，學生“先學”不到位，總是不放心，于是重新教一遍，這樣先學就變成了多余的環(huán)節(jié)，這兩種觀點其實都是把“先學”和“后教”置于同一層面，事實上，“先學”和“后教”應該各有分工，“先學”是基礎(chǔ)和過程，“后教”是提升與拓展，“后教”重在彌補“先學”中學生的知識缺陷、完善知識結(jié)構(gòu)和提升思維能力。后教著力解決以下問題：一是解決學生自學中存在的問題，補全知識缺陷，把學生零散的知識串聯(lián)成線，使知識系統(tǒng)化;二是引導學生關(guān)注在自學中容易忽視的細節(jié)和思想方法，比如本節(jié)課的說出“直線與圓相切d=r”和“d=r直線與圓相切”的理由;三是要引導學生不斷思考，思考教材不便表達的東西，思考教材背后的東西，教師通過“后教”要引導學生思維向深度和廣度拓展，通過挖掘教材背后深層次的東西，使學生養(yǎng)成用數(shù)學思考問題的習慣，培養(yǎng)思維能力。

教師根據(jù)學生自學中存在的問題、學生忽視的問題、教材中表達不到位的問題組織教學，就能使“后教”有選擇、有重點地進行。事實上師生梳理的問題也確實是本節(jié)課的重、難點以及學生學習中容易忽視的方法和思想，教師適時進行教學，恰是教在重點、難點處，教在方法提升處，教在思維延伸處。

3值得思考的地方

“先學后教，當堂訓練”先讓學生自學，教師在學生自學的基礎(chǔ)上有針對性地“后教”，當堂進行科學訓練，所有這一切都在課堂內(nèi)完成，確實減輕了學生過重的課業(yè)負擔，但一個不容忽視的問題呈現(xiàn)在我們面前。在教師的“自學提綱”指導下，學生按照教師提供的思路，依據(jù)教材的線索看書、思考，這里的“思考”只能視為“理解課本”，也就是對教材呈現(xiàn)的知識進行理解，是一個弄懂知識、解釋知識的過程，而這一過程缺失了“猜想、歸納”的思維活動，少了合情推理的身影，長此以往，對學生的創(chuàng)新能力的培養(yǎng)是不利的?！稑藴省分赋觯和评硪话惆ê锨橥评砗脱堇[推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果。在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論。一個完美的數(shù)學課堂，學生應該始終處于思考、探究、猜想和發(fā)現(xiàn)的狀態(tài)。教師通過創(chuàng)設(shè)合適的情境，讓學生經(jīng)歷從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構(gòu)建數(shù)學模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程，在這一過程中通過類比、歸納等合情推理（猜想）探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學教育的基本任務，應體現(xiàn)在數(shù)學教與學的過程之中。學生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ);獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心;歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應該從義務教育階段做起，貫穿數(shù)學教育的始終。從這個角度講，這確是本節(jié)課還存在不容忽視的不足！