高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“一題多變”的效用探析

摘 要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容抽象、難懂給不少學(xué)生帶來了麻煩，在現(xiàn)行的高考模式下，數(shù)學(xué)學(xué)科的重要性毋庸置疑，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解題能力是教師關(guān)注的焦點. 本文筆者從四個方面對高中數(shù)學(xué)教學(xué)中采取“一題多變”的具體措施與手段進行闡述，希望能給讀者帶來幫助.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；一題多變；學(xué)生

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多數(shù)學(xué)教師習(xí)慣于采用“題海戰(zhàn)術(shù)”幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力和解題能力，但是如果始終采用這種方法，會使很多學(xué)生產(chǎn)生單調(diào)枯燥的感覺，從而使其對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去興趣. “一題多變”可以讓學(xué)生通過不同的思路找到多種解題的方法，既可以幫助學(xué)生實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的靈活運用，又可以減輕學(xué)生解題的負擔(dān)，使學(xué)生樂于學(xué)習(xí)、善于學(xué)習(xí). 筆者在從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中一直注重“一題多變”教學(xué)手段的合理運用，在本文中對實施的具體細節(jié)進行闡述，以期對高中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的全面發(fā)展的提供一點積極的效應(yīng). 具體如下：

[?] 注重在公式推導(dǎo)中“一題多變”，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)公式

高中數(shù)學(xué)中的公式有很多，掌握公式及其應(yīng)用不但可以簡化學(xué)生的解題思路與過程，而且對學(xué)生理解教學(xué)內(nèi)容有很大幫助. 但是很多高中數(shù)學(xué)教師和學(xué)生只注重公式的應(yīng)用，而忽視了對公式的推導(dǎo)，認為推導(dǎo)只是幫助學(xué)生記憶公式，其重要性不能與應(yīng)用相提并論；認為在課堂教學(xué)中推導(dǎo)公式只是浪費時間，并沒有太大的作用，從而使得學(xué)生對公式的理解有限，在解題中靈活應(yīng)用公式更是無從談起. 所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重公式推導(dǎo)中的“一題多變”，為學(xué)生熟練應(yīng)用公式解題打下堅實的基礎(chǔ).

例如：高中數(shù)學(xué)教師在推導(dǎo)三角函數(shù)中二倍角公式時，可以從兩角和與差公式進行推導(dǎo)，也可以采用向量知識進行推導(dǎo)，尤其是在推導(dǎo)余弦函數(shù)二倍角公式時，可以將其與三角函數(shù)的基本關(guān)系式相互結(jié)合起來，從而推導(dǎo)出余弦函數(shù)二倍角公式的三種形式. 這樣變換不同的思路與推導(dǎo)方式，既可以幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)知識串聯(lián)起來形成有機整體， 又可以讓學(xué)生清楚了解公式的來龍去脈，在加深對公式推導(dǎo)過程理解的基礎(chǔ)上做到靈活應(yīng)用.

[?] 注重知識講解時“一題多變”，加深學(xué)生對知識的理解與掌握

高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中涉及很多的概念、定理與公理，而掌握和理解這些教學(xué)內(nèi)容對學(xué)好高中數(shù)學(xué)至關(guān)重要. 如果高中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中只是簡單地照本宣科，那么學(xué)生對抽象、深奧的數(shù)學(xué)知識的理解則會較為片面，無法在應(yīng)用時做到游刃有余，所以高中數(shù)學(xué)教師在知識講解時可以采用“一題多變”的方式，從而達到教學(xué)相長的目的. 高中數(shù)學(xué)教師在講解拋物線中焦點弦的問題時，就可以通過“一題多變”的方式讓學(xué)生理解與掌握此知識點.

例1 已知過拋物線y2=2px焦點的一條直線與其相交，設(shè)兩交點A，B的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，求證：y1·y2=-p2.

變式1：求證：過拋物線焦點弦兩端點的切線和拋物線的準(zhǔn)線三線共點.

變式2：求證：過拋物線焦點弦兩端點的切線相互垂直.

點評：例題的證明并不難，但是其結(jié)論對于學(xué)生理解和應(yīng)用焦點弦卻非常重要，在學(xué)生明白焦點弦的定義及其結(jié)論后，數(shù)學(xué)教師可以采用“一題多變”的方式，加深學(xué)生對焦點弦的理解；而學(xué)生在例題及變式的證明過程中可以掌握焦點弦的知識，并將其延伸到橢圓與雙曲線中，從而有助于構(gòu)建起完整的圓錐曲線知識體系.

[?] 注重例題講解中“一題多變”，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會融會貫通

雖然學(xué)生是教學(xué)活動的主體，但是教師的指導(dǎo)作用至關(guān)重要，尤其是在高中數(shù)學(xué)例題講解中，教師通過“一題多變”的講解方式，既可以讓學(xué)生擺脫繁重的課業(yè)之苦，又可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維與應(yīng)變能力，讓學(xué)生從例題講解中掌握解題的技巧與規(guī)律，對知識做到融會貫通.高中數(shù)學(xué)教師在講解函數(shù)最值時，可以通過“一題多變”的例題講解，以循序漸進的方式逐漸加大例題難度，從而使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用做到得心應(yīng)手.

例2 函數(shù)y=-x2+4x-2的最大值是_______.

變式1：已知函數(shù)y=-x2+4x-2，則其在區(qū)間[0，3]上的最大值為_______，最小值為_______.

變式2：已知函數(shù)f（x）=-x2+4x-2，其定義域為[t，t+1]，求函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的最值.

變式3：已知x2≤1，且a-2≥0，求函數(shù)f（x）=x2+ax+3的最值.

變式4：已知函數(shù)f（x）=-x（x-a），求x∈[-1，a]上的最大值.

分析：（1）例題非常簡單，沒有定義區(qū)間的要求，只需要將其化為頂點式，即可以求出其最大值；（2）變式1在例題的基礎(chǔ)上，增加了定義區(qū)間這一條件，分析定義區(qū)間與對稱軸的關(guān)系既可以求出其最值；（3）變式2將變式1中明確的定義區(qū)間以參數(shù)代替，這樣在例題講解時，數(shù)學(xué)教師需要分析對稱軸與參數(shù)之間的位置關(guān)系，并依據(jù)位置關(guān)系確定其在定義區(qū)間的最值，在此過程中引入了分類討論的思想，幫助學(xué)生在分析問題時更為條理化；（4）變式3給出了定義區(qū)間，但是對稱軸中含有參數(shù)，仍然需要討論定義區(qū)間與對稱軸之間的關(guān)系，與變式2稍有區(qū)別的是變式2是圍繞定義區(qū)間進行分類討論，而變式3是圍繞對稱軸進行分類討論，兩者雖然形式上有所區(qū)別，但是其思路本質(zhì)卻相同；（5）變式4中對稱軸與定義區(qū)間均含有參數(shù)，所以分類討論相對更為復(fù)雜，但是解題的思路卻與變式2和變式3相同.

在例題和變式中，從開始的實數(shù)范圍內(nèi)的最值求解，到指定區(qū)間最值求解，再到對稱軸或者定義區(qū)間存在參數(shù)的最值求解，最后到對稱軸和定義區(qū)間都存在參數(shù)的最值求解，其難度逐漸加大，但是其最值求解的思路基本相同，教師通過逐層遞進的方式進行講解，既可以幫助學(xué)生掌握解題方法和技巧，又可以培養(yǎng)學(xué)生的分析思考能力.

[?] 注重習(xí)題練習(xí)時“一題多變”，提高學(xué)生學(xué)以致用的能力

雖然“一題多變”可以減少學(xué)生的作業(yè)量，但是對典型例題的練習(xí)仍然必不可少.這樣既有利于學(xué)生通過練習(xí)鞏固數(shù)學(xué)知識和解題技巧，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，又不會讓學(xué)生產(chǎn)生枯燥之感，從而提高學(xué)生學(xué)以致用的能力，使學(xué)生即使在遇到新題時也不會輕言放棄，而敢于大膽進行嘗試.高中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列時，很多學(xué)生雖然記住了很多與數(shù)列有關(guān)的公式，但是在實際解題的時候仍然不知道應(yīng)該怎么應(yīng)用，其原因即為練習(xí)較少，片面地認為記住公式就可以順利解題，結(jié)果卻不盡如人意. 因此，高中數(shù)學(xué)教師需要以“一題多變”的方式布置練習(xí)題，提高學(xué)生學(xué)以致用的能力.

例3 在數(shù)列{an}中，已知a1=1且an+1=2an+1，求數(shù)列{an}的通項公式.

變式1：在數(shù)列{an}中，已知a1=1且an+1=2an+n，求數(shù)列{an}的通項公式.

變式2：在數(shù)列{an}中，已知a1=1且an+1=2an+2n+1，求數(shù)列{an}的通項公式.

變式3：在數(shù)列{an}中，已知a1=1且an+1=2an+3n+1，求數(shù)列{an}的通項公式.

分析：（1）例題中沒有說明數(shù)列的形式，因此無法套用等差數(shù)列或者等比數(shù)列的公式進行解題，只能從數(shù)列的定義出發(fā)，構(gòu)造新數(shù)列{an+1}，證明其為等比數(shù)列后，再利用等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列{an}的通項公式；（2）變式1、變式2和變式3和冪的形式只是將例題中的常數(shù)項改為變量，其與例題解題思路與原理仍然相同，也是通過構(gòu)造新數(shù)列來進行求解，學(xué)生在經(jīng)過例題與變式的練習(xí)后，對構(gòu)造新數(shù)列求通項公式的應(yīng)用能力顯著提高；（3）學(xué)生在練習(xí)過后，需要對解題思路與方法進行總結(jié)歸納，找出其中存在的規(guī)律，才能在以后解答同類習(xí)題時迅速找到解題思路，提高解題的效率.

總而言之，高中數(shù)學(xué)知識抽象深奧，涉及很多的概念、公式、定理與公理，如果教師仍然采用傳統(tǒng)灌輸式的教學(xué)方式，不但增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的負擔(dān)，讓學(xué)生無法對數(shù)學(xué)知識進行深入的分析思考，而且容易使學(xué)生產(chǎn)生厭煩心理，課堂教學(xué)效果難以盡如人意. 只有在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中靈活應(yīng)用“一題多變”的教學(xué)方式，注重公式推導(dǎo)、知識點講解、例題講解和習(xí)題練習(xí)等方面的“一題多變”，才能真正幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)時的負擔(dān)，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動性，進而在提高學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的基礎(chǔ)上，達到教學(xué)相長的目的.