淺談數(shù)學(xué)解題教學(xué)中轉(zhuǎn)化與化歸思想的滲透

摘 要：高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)蘊(yùn)涵著多種數(shù)學(xué)思想方法，從高一新知教學(xué)中就一直向?qū)W生滲透著數(shù)學(xué)思想方法，可以這么說(shuō)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)讓數(shù)學(xué)解題教學(xué)站在了更高的視角看待問(wèn)題，本文從轉(zhuǎn)化與化歸的思想視角談?wù)剶?shù)學(xué)解題教學(xué)中思想方法滲透的重要性.

關(guān)鍵詞：解題教學(xué)；轉(zhuǎn)化；化歸；思想方法；新課程；圖形

數(shù)學(xué)訓(xùn)練是一種思維的訓(xùn)練，其要求受教者通過(guò)基本知識(shí)的運(yùn)用去解決不同背景下的問(wèn)題.中科院院士、數(shù)學(xué)家王元說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)要注重解題，但是解題不等價(jià)于數(shù)學(xué). 筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要依賴(lài)的是三個(gè)方面，其一是數(shù)學(xué)概念，越高端的數(shù)學(xué)都是更深的數(shù)學(xué)概念比拼；其二是數(shù)學(xué)運(yùn)算，任何技巧的東西在數(shù)學(xué)愈來(lái)愈往后的后續(xù)研究中都是站不住的；其三是數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)要注重思想方法教學(xué)的滲透，有時(shí)候做一個(gè)問(wèn)題半天解決不了，需要換個(gè)思考角度，這樣比較好.

新課程教學(xué)課時(shí)相比傳統(tǒng)教學(xué)有所減少，其要求數(shù)學(xué)教學(xué)立足于螺旋式上升的教學(xué)方式，因此對(duì)于某一知識(shí)難點(diǎn)不再是大量課時(shí)的投入，否則既造成了課時(shí)緊張又不必要地人為拔高了現(xiàn)階段所學(xué)知識(shí)的難度. 那么，既要達(dá)到一定的教學(xué)效果，又要讓學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)解題有所感悟，用何種手段實(shí)施較好呢？筆者認(rèn)為，自然是加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué). 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)提煉的結(jié)晶，但是我們又常常聽(tīng)到學(xué)生這么說(shuō)：我怎么想不到用這樣的方法去做？為什么可以這樣轉(zhuǎn)化？太神奇了！這就是思維訓(xùn)練的差異. 本文將從思想方法的認(rèn)識(shí)出發(fā)，結(jié)合案例談?wù)勣D(zhuǎn)化與化歸思想滲透的重要性.

[?] 數(shù)學(xué)思想方法轉(zhuǎn)化的根基

從高中新知教學(xué)開(kāi)始，數(shù)學(xué)思想方法一直貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想方法有：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、有限與無(wú)限思想、特殊與一般思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等等. 按照北師大劉紹學(xué)教授在思想方法一書(shū)中的介紹，其將思想方法分類(lèi)為兩種不同類(lèi)型，如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想等都是知識(shí)型思想方法，這些方法都可以解決某一類(lèi)的問(wèn)題；另一類(lèi)思想方法具備了意識(shí)形態(tài)，它站在高屋建瓴的角度闡述了數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的思想性，如轉(zhuǎn)化與化歸思想、特殊與一般思想等，相比而言前者猶如武俠中的具體兵器，后者猶如武俠中的“氣”，讓人高深莫測(cè).

從現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)看，知識(shí)型的思想方法在解決一般性問(wèn)題時(shí)往往得心應(yīng)手，但是對(duì)于更難的數(shù)學(xué)問(wèn)題若沒(méi)有意識(shí)形態(tài)類(lèi)的思想方法輔助，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決相對(duì)困難很多，舉一個(gè)案例：

案例1 如圖1，C，D兩點(diǎn)在△PAB的邊AB上，AC=BD，若∠CPD=90°，且PA2+PB2=10，則2AB+CD的最大值為_(kāi)____________.

分析：本題是一次大型統(tǒng)測(cè)的填空壓軸問(wèn)題. 從知識(shí)角度而言，很多學(xué)生甚至教師將其認(rèn)為是平面向量基本定理的處理.本題的轉(zhuǎn)化需要意識(shí)形態(tài)類(lèi)思想方法的輔助，來(lái)看看其如何一步步轉(zhuǎn)化陌生情境到熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

解析：我們發(fā)現(xiàn)，AB和CD中點(diǎn)均為點(diǎn)M，將其補(bǔ)全為如圖2的平行四邊形，且，所以CD=PQ，根據(jù)平行四邊形特性2（PA2+PB2）=AB2+PQ2=AB2+CD2=20，進(jìn)而可以通過(guò)柯西不等式或線性規(guī)劃等知識(shí)求得2AB+CD的最大值.

說(shuō)明：本題難在哪里？筆者認(rèn)為從意識(shí)形態(tài)上分析，學(xué)生無(wú)法將問(wèn)題做到一個(gè)重要的轉(zhuǎn)化：即平行四邊形所具備的邊長(zhǎng)和與對(duì)角線和之間的恒等式，這是問(wèn)題所反應(yīng)的本質(zhì)屬性. 這種轉(zhuǎn)化是如何想到的？筆者認(rèn)為，轉(zhuǎn)化化歸能力的培養(yǎng)根基在于需要扎實(shí)的基本知識(shí)和基本技能，并具備一定的數(shù)學(xué)視野和靈活思維的轉(zhuǎn)化意識(shí).

[?] 基本知識(shí)和基本技能的重要性

要想用好轉(zhuǎn)化與化歸思想，首先必須依賴(lài)于扎實(shí)的基本知識(shí)和基本技能.數(shù)學(xué)的雙基，現(xiàn)階段義務(wù)教學(xué)稱(chēng)之為四基（加上了基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)），沒(méi)有穩(wěn)定的基本功根本無(wú)法解決合理的轉(zhuǎn)化. 用一個(gè)淺顯的比喻來(lái)說(shuō)：利潤(rùn)最大化的應(yīng)用題通過(guò)分析、轉(zhuǎn)化，最終都是二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，但是學(xué)生若對(duì)二次函數(shù)最值求解的基本功不熟練或不理解，又如何解決這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？舉一個(gè)案例：

案例2 某城市有一塊不規(guī)則的綠地如圖3所示，城建部門(mén)欲在該地上建造一個(gè)底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計(jì)的底座形狀分別為△ABC、△ABD，經(jīng)測(cè)量AD=BD=14，BC=10，AC=16，∠C=∠D.

（1）求AB的長(zhǎng)度；

（2）若建造環(huán)境標(biāo)志的費(fèi)用與用地面積成正比，不考慮其他因素，小李、小王誰(shuí)的設(shè)計(jì)使建造費(fèi)用較低，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：首先借助余弦定理列式，通過(guò)等量關(guān)系求出角C的大小，進(jìn)而求AB的長(zhǎng)度；然后借助正弦定理比較三角形的面積大小，并做出判斷. 本題涉及余弦定理、三角形面積公式等基本知識(shí)，試問(wèn)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型后，沒(méi)有扎實(shí)的基本功做保障，如何往下做呢？限于篇幅，解析從略.

說(shuō)明：應(yīng)用型問(wèn)題的轉(zhuǎn)化往往需要下列四步：（1）分析題意，準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)，如利潤(rùn)、仰角、視角、方位角等；（2）根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）將所求問(wèn)題歸結(jié)到某一個(gè)或幾個(gè)函數(shù)模型，解決函數(shù)模型的基本是關(guān)鍵；（4）這種轉(zhuǎn)化需要得益于扎實(shí)的函數(shù)基本功，教學(xué)要加強(qiáng)底層基本知識(shí)和基本技能的培養(yǎng).

[?] 靈活的數(shù)學(xué)思維視野

對(duì)于轉(zhuǎn)化與化歸思想培養(yǎng)的另一個(gè)重要因素來(lái)自數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練和數(shù)學(xué)視野的開(kāi)拓，這種開(kāi)拓歷經(jīng)一段時(shí)間的積累，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知心理和數(shù)學(xué)思維產(chǎn)生了促進(jìn)和激發(fā)作用，使其在遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)往往可以較一般學(xué)生有更高的眼界尋找解決途徑.舉一例說(shuō)明：

案例3 已知A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），C（-1，0）是平面上三個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足關(guān)系式=λ，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是____________.

分析1：對(duì)于問(wèn)題的普通解決方式首先自然是想到向量的坐標(biāo)運(yùn)算，有興趣的讀者可以試一試，我們發(fā)現(xiàn)可以建立起關(guān)于sinα，cosα，sinβ，cosβ，λ相關(guān)的兩個(gè)方程，結(jié)合兩個(gè)隱含方程sin2α+cos2α=1以及sin2β+cos2β=1，站在理論的角度我們知道得到了4個(gè)方程和5個(gè)未知數(shù)，因此可以建立λ與某一未知量（如sinα）之間的函數(shù)關(guān)系式，最終轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問(wèn)題的求解. 但是，試一試我們馬上發(fā)現(xiàn)這種運(yùn)算在中學(xué)數(shù)學(xué)中是很難實(shí)現(xiàn)的，因此必須換角度去思考問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)化為一種更為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型求解.

分析2：通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)形式統(tǒng)一，且滿足一定的軌跡特征. 因此建議考慮數(shù)形結(jié)合，用此法事倍功半. 觀察易知，A，B均在橢圓+=1上，且C為其左焦點(diǎn)，如圖4所示，由=λ?λ==，由橢圓特點(diǎn)可知，橢圓上動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)的最大距離和最小距離分別為a+c與a-c，因此≤≤≤=3，所以≤λ≤3.

說(shuō)明：轉(zhuǎn)化思想在本題中顯露無(wú)遺，這種類(lèi)型的問(wèn)題旨在提高學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的眼界和認(rèn)知力，有了不斷提升的數(shù)學(xué)視野，才能在全新情境解決中產(chǎn)生具備創(chuàng)新思維的化歸能力，將陌生問(wèn)題一步一步轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)求解.

總之，轉(zhuǎn)化與化歸思想貫穿著高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終. 從高一新知教學(xué)開(kāi)始，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)開(kāi)始不斷的積累，對(duì)于問(wèn)題的解決能力不斷的提高，問(wèn)題的難度也隨之加大，筆者認(rèn)為：將上述轉(zhuǎn)化與化歸根基學(xué)好、學(xué)扎實(shí)，有助于學(xué)生在陌生的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境中尋求可以轉(zhuǎn)化的道路. 筆者建議：轉(zhuǎn)化與化歸思想是一種意識(shí)形態(tài)類(lèi)的思想方法，教學(xué)中要注重引導(dǎo)，但真正實(shí)施過(guò)程必然與其他具體的方法或知識(shí)型思想方法結(jié)合使用，如本文案例3，問(wèn)題其實(shí)轉(zhuǎn)化、結(jié)合了數(shù)形結(jié)合思想，因此教學(xué)中不斷滲透、引導(dǎo)數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.