轉(zhuǎn)化與化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

摘 要：數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想是指將陌生問題向已知、熟悉的問題轉(zhuǎn)化，通過一般與特殊的轉(zhuǎn)化、等與不等的轉(zhuǎn)化、變量與常量的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、正與反的轉(zhuǎn)化、抽象與具體的轉(zhuǎn)化，使問題化難為易. 特殊化常表現(xiàn)為范圍的收縮或限制，即從較大范圍的問題向較小范圍的問題過渡，或從某類問題向其子類某問題的過渡，從而使問題迎刃而解.

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化；化歸；一般；特殊

數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，指的是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題上，最終求得問題的答案的一種手段和方法. 轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的特點(diǎn)是實現(xiàn)問題的規(guī)范化、模式化，以便達(dá)到應(yīng)用已知的理論、方法和技巧解決問題的目的.

數(shù)學(xué)教學(xué)中常遇到一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜，抽象概括的數(shù)學(xué)問題，這類題目直接求解較為困難，若把原題做適當(dāng)?shù)淖兏?，即把原題目變更成一個或幾個簡單易于解答的題目，通過對變更后題目的研究，即轉(zhuǎn)化與化歸之后可成功地完成對原題目的求解. 近年來，高考數(shù)學(xué)考題越來越注重以思想方法為主的考查方向，在各種數(shù)學(xué)思想方法中，轉(zhuǎn)化與化歸思想運(yùn)用篇幅的比重也越來越大.

轉(zhuǎn)化與化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用中主要涉及的基本類型有：一般與特殊的轉(zhuǎn)化、等與不等的轉(zhuǎn)化、變量與常量的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、正與反的轉(zhuǎn)化、抽象與具體的轉(zhuǎn)化.本文結(jié)合實例展示一般與特殊的轉(zhuǎn)化即特殊化策略的妙用.

[?] 一般與特殊的轉(zhuǎn)化的基本思想

視原問題為一般，構(gòu)造其特殊問題，通過對特殊問題的解決而獲得原問題的解決策略即為一般與特殊的轉(zhuǎn)化思想. 相對于”一般”而言，”特殊”問題往往顯得簡單、直觀和具體，容易解決，并且在特殊問題的解決過程中，常常孕育著一般問題的求解策略. 特殊化常表現(xiàn)為范圍的收縮或限制，即從較大范圍的問題向較小范圍的問題過渡，或從某類問題向其子類某問題的過渡.

特別在解答選擇、填空題時，當(dāng)題目已知條件含有某些不確定的量，但結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中不定量選取一些符合條件的恰當(dāng)特殊值（或特殊函數(shù)，或特殊角、特殊數(shù)列、圖形特殊位置、特殊點(diǎn)、特殊方程等）將字母具體化，把一般形式變?yōu)樘厥庑问?，從而得出探求的結(jié)論. 這樣可大大地簡化推理、論證的過程.

問題1 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果a，b，c成等差數(shù)列，則=__________.

分析：此題答案唯一，若將題設(shè)條件加強(qiáng)，即三邊成等差數(shù)列的直角三角形或等邊三角形，則較易得到結(jié)果.

解法一：取特殊值，a=3，b=4，c=5，則cosA=，cosC=0，=.

解法二：取特殊角，A=B=C=60°，則cosA=cosC=，=.

本題若不用特殊值法，而是運(yùn)用余弦定理將cosA，cosC轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，則會陷入煩瑣的計算而不易得到正確結(jié)果.

問題2 已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足=sinA-sinB，則C=__________ .

分析：題目中給出了△ABC的邊和角滿足的一個關(guān)系式，因此可考慮一些特殊的三角形是否滿足關(guān)系式. 如：等邊三角形、直角三角形等，若滿足，則可求出此時角C的大小.

解：當(dāng)△ABC是一個等邊三角形時，顯然滿足=sinA-sinB，而此時C=60°，故角C的大小為60°.

當(dāng)然，此題還可運(yùn)用正弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，結(jié)合余弦定理求得角C的大小，但求解過程相對曲折.

解：由=sinA-sinB可得=a-b，整理得a2-c2=ab-b2，即a2+b2-c2=ab，由余弦定理得cosC==，所以C=60°.

數(shù)學(xué)題目有的具有一般性，有的具有特殊性，解題時，有時需要把一般問題化歸為特殊問題，有時需要把特殊問題化歸為一般問題.

問題3 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q=__________.

分析：由于該題為填空題，我們不妨用特殊情況來求q的值. 如：S2，S1，S3成等差數(shù)列，求q的值.這樣就避免了一般性的復(fù)雜運(yùn)算.

略解：S2=a1+a1q，S1=a1，S3=a1+a1q+a1q2.

因為S2+S3=2S1，所以2a1+2a1q+a1q2=2a1（a1≠0）.

所以q=-2或q=0（舍去）.

點(diǎn)評：當(dāng)問題難以入手時，應(yīng)先對特殊情況或簡單情形進(jìn)行觀察、分析，發(fā)現(xiàn)問題中特殊的數(shù)量或關(guān)系結(jié)構(gòu)或部分元素，然后推廣到一般情形，以完成從特殊情形的研究到一般問題的解答的過渡，這就是特殊化的化歸策略.

問題4 在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*），其中λ>0，求數(shù)列{an}的通項公式.

解：a2=2λ+λ2+（2-λ）×2=λ2+22，

a3=λ（λ2+22）+λ3+（2-λ）×22=2λ3+23，

a4=λ（2λ3+23）+λ4+（2-λ）×23=3λ4+24，

由此猜想數(shù)列{an}的通項公式為an=（n-1）λn+2n，n∈N*.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（1）當(dāng)n=1時，a1=2，等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2且k∈N*）時等式成立，即ak=（k-1）λk+2k，那么ak+1=λak+λk+1+（2-λ）2k=λ（k-1）λk+λ·2k+λk+1+2k+1-λ·2k=[（k-1）+1]λk+1+2k+1.

這就是說，當(dāng)n=k+1時等式成立.

由（1）（2）可知，an=（n-1）λn+2n對任意n∈N*都成立.

本題求an時采用了特殊化的方法，這是歸納——猜想——證明的歸納推理，當(dāng)問題難以入手時，應(yīng)先對特殊情況進(jìn)行研究.

問題5 ，，（其中e為自然常數(shù)）的大小關(guān)系是__________.

解：由于=，=，=，故可構(gòu)造函數(shù)f（x）=，于是f（4）=，f（5）=，f（6）=，而f ′（x）=

′==，令f ′（x）>0得x<0或x>2，即函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，因此有f（4）

通過以上分析和討論可知，特殊化的解題策略沒有完整的章法可循，但可得到一些有益的借鑒. （1）當(dāng)問題較難入手時，可以先找出一種使結(jié)論顯然成立的情形或簡單情形，由此獲得啟示或為一般情形提供某種對比，從而進(jìn)一步求得問題的解答；（2）特殊化策略要求注意抓住問題中的特殊因素，這樣，往往可以直接切中問題的要害；（3）在特殊化時，不應(yīng)對任意的特例進(jìn)行考察，應(yīng)注意那些我們較為熟悉的，較有把握的對象，即特殊化應(yīng)具有目的性.