例談高中數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建過程

摘 要：概念是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本單位，學(xué)生對(duì)概念的理解直接關(guān)系到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果. 數(shù)學(xué)概念的形成過程不是教師講、學(xué)生接受的過程，而是學(xué)生根據(jù)自己的認(rèn)知去主動(dòng)建構(gòu)的過程. 數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建中，需要有豐富的事例，需要豐富的數(shù)學(xué)思維方法. 認(rèn)知方式的差異甚至是缺陷，會(huì)影響學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)概念；建構(gòu)過程

從學(xué)生角度看高中數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)研究概念在學(xué)生頭腦中的形成過程非常重要.因?yàn)閭鹘y(tǒng)認(rèn)識(shí)中，教師講授什么樣的概念，學(xué)生就接受什么樣的概念，只要這個(gè)過程不出錯(cuò)，學(xué)生就應(yīng)該能夠順利地掌握數(shù)學(xué)概念. 加上數(shù)學(xué)概念在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中起著最基本的作用，從難度上來說似乎并不大，因此學(xué)生就更應(yīng)當(dāng)順利地理解數(shù)學(xué)概念了. 事實(shí)顯然又不完全如此，因?yàn)椴簧賹W(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)較差的原因恰恰在于數(shù)學(xué)概念理解不透. 那么，為什么會(huì)出現(xiàn)事實(shí)與想象不一致的情形呢？這還得從學(xué)生在概念學(xué)習(xí)過程中的思維特點(diǎn)開始談起. 本文試以“數(shù)列”概念為例，談?wù)劰P者的觀點(diǎn).

[?] 數(shù)學(xué)概念是學(xué)生自主建構(gòu)的結(jié)果

從數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的角度來看，概念屬于數(shù)學(xué)知識(shí)的基石，而從學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的角度來看，概念卻是學(xué)生認(rèn)知作用的結(jié)果. 一個(gè)數(shù)學(xué)概念在學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)中要想有效形成，需要學(xué)生認(rèn)知的全面參與. 現(xiàn)以“數(shù)列”概念為例，來加以說明.

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的基本概念，在蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中安排在必修5的第二章.教材是這樣引入的：

考察下面的問題：某劇場(chǎng)有30排座位，第一排有20個(gè)座位，從第二排起，后一排都比前一排多2個(gè)座位，那么各排的座位數(shù)依次為20，22，24，26，28，…；人們?cè)?740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出這顆彗星每隔83年出現(xiàn)一次，那么從發(fā)現(xiàn)的那次算起，這顆彗星出現(xiàn)的年份依次為1740，1823，1906，1989，2072，….類似于此的事例一共有6個(gè)，然后提出問題：這些問題有什么共同的特點(diǎn)？在總結(jié)出特點(diǎn)之后，給出數(shù)列的概念并進(jìn)行這樣的定義：像這樣按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列. 接著給出“項(xiàng)”的定義以及有窮數(shù)列和無窮數(shù)列的定義.

在這樣的安排中，“考察問題”與尋找這些問題的“共同的特點(diǎn)”成為學(xué)生學(xué)習(xí)的兩個(gè)主要環(huán)節(jié). 那么，學(xué)生在這兩個(gè)環(huán)節(jié)中思維活動(dòng)是什么樣的呢？分析可以發(fā)現(xiàn)，“考察問題”需要學(xué)生對(duì)這6個(gè)問題進(jìn)行分析比較，只有當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)每個(gè)例子中所形成的數(shù)據(jù)存在著一定的規(guī)律時(shí)，學(xué)生才會(huì)感覺到這些數(shù)存在一定的意義，而也正是這些規(guī)律，學(xué)生才有可能發(fā)現(xiàn)它們共同的特點(diǎn). 因此，通過學(xué)生原先已經(jīng)形成的分析綜合能力，并通過比較去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是建構(gòu)數(shù)列概念的基礎(chǔ).而事實(shí)上在這個(gè)過程中，學(xué)生的分析綜合能力是不一致的，比較能力也是有差異的，再加上給出數(shù)列定義之后學(xué)生的理解水平也是不一樣的，因此不同學(xué)生對(duì)數(shù)列概念的理解就是不同的.

理解了學(xué)生的這一思維過程，那數(shù)列概念教學(xué)就要注意更多的細(xì)節(jié).

[?] 基于學(xué)生思維過程進(jìn)行概念教學(xué)

在上述分析的基礎(chǔ)上，筆者對(duì)數(shù)列概念的教學(xué)提出如下需要注意的細(xì)節(jié)：

第一，給出的事例要豐富.教材給出了6個(gè)例子，給出如此之多的例子，目的在于為學(xué)生構(gòu)建數(shù)列概念奠定量的基礎(chǔ)，并通過量變?nèi)ヒ鹳|(zhì)變.事實(shí)上，學(xué)生對(duì)第一、二兩個(gè)例子的分析可以發(fā)現(xiàn)，相鄰兩個(gè)數(shù)據(jù)之差是一個(gè)定值，因此盡管此時(shí)等差數(shù)列的概念還沒有出現(xiàn)，但學(xué)生已經(jīng)具備了理解等差數(shù)列的基礎(chǔ)；而第三、四兩個(gè)例子則為等比數(shù)列的模型，學(xué)生理解起來也沒有困難. 問題在于，此時(shí)教師需要幫學(xué)生建立分類的意識(shí)，以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到類似于此的“一列數(shù)”，可能存在著多種多樣的關(guān)系.總之，只有分析對(duì)象的數(shù)量足夠，學(xué)生才有可能積累足夠的感性認(rèn)識(shí).

第二，分析的過程要詳細(xì). 對(duì)于分析的過程，要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維方法的運(yùn)用，上面提到的分析與綜合以及比較等，都是典型且基本的數(shù)學(xué)思維方法，第一、二兩個(gè)事例相似，第三、四兩個(gè)事例相似，都是分析、比較的結(jié)果，而第一、二與第三、四兩個(gè)事例的相異，同樣也是分析比較的結(jié)果. 判斷學(xué)生能不能成功地運(yùn)用比較及分析綜合的思路來解決問題，較好的方法是讓學(xué)生根據(jù)事例的特點(diǎn)去自己發(fā)現(xiàn)事例，如果能夠?qū)ふ业脚c這些事例相似的事例，就說明學(xué)生的方法運(yùn)用是成功的，也說明學(xué)生已經(jīng)理解了這些事例. 通過學(xué)生的舉例，既豐富了感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，也把握住了學(xué)情.

第三，數(shù)學(xué)的表達(dá)要清晰. 對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，教師不要急著用教材上數(shù)列的定義去概括，而應(yīng)當(dāng)先讓學(xué)生去總結(jié)自己的發(fā)現(xiàn). 如果不出意外，學(xué)生總會(huì)先直接描述事例的特點(diǎn)，如事例1中相鄰兩數(shù)之差為2，然后會(huì)結(jié)合例2將描述上升為相鄰兩個(gè)數(shù)據(jù)之差為定值，這樣不斷遞進(jìn)的描述，實(shí)際上是不斷地從事例的個(gè)性上升為數(shù)列的共性. 事實(shí)上對(duì)于數(shù)列定義中“一定次序”的理解正是建立在學(xué)生描述的基礎(chǔ)之上，如果忽視了學(xué)生的這一思維過程，那“一定次序”在學(xué)生的思維中只可能是抽象的，而在建立概念的過程中這一基本理解都是抽象的，怎么可能指望學(xué)生建構(gòu)出具體的數(shù)列概念呢？

一般來說，有了上面三步基本的步驟，那學(xué)生在理解數(shù)學(xué)概念時(shí)就既有豐富的素材支撐，又有豐富的方法參與，還有自己的個(gè)性理解基礎(chǔ). 最后，數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建就不會(huì)有太大的問題.

[?] 認(rèn)知差異使得概念建構(gòu)可能出錯(cuò)

但這并不能概括所有學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，事實(shí)上有部分學(xué)生無論教師怎樣教，其都會(huì)在一些數(shù)學(xué)概念的理解上出現(xiàn)問題，這又是什么原因呢？分析可知，這是學(xué)生的認(rèn)知方式有缺陷造成的結(jié)果.

就拿數(shù)列概念來說，就有少數(shù)學(xué)生無法舉一反三，即使在教師指出了例一和例二的共同特點(diǎn)之后，他們?nèi)匀徊徽J(rèn)為這是什么規(guī)律. 這樣的認(rèn)知缺陷實(shí)際上是學(xué)生歸納和演繹能力太弱造成的，這類學(xué)生就是我們常常所說的“學(xué)得較死”的學(xué)生，他們的思維老是鎖定在某個(gè)事例上，由此及彼思維方式的缺乏，使得這類學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中問題多多；還有一種情形就是學(xué)生不善于內(nèi)化理解，不善于自我構(gòu)建事例. 上面提到，通過自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律去發(fā)現(xiàn)新的事例，實(shí)際上是促進(jìn)學(xué)生概念理解的重要途徑，可是有少數(shù)學(xué)生就是無法有效完成這一過程，這類學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也常常捉襟見肘.

而要改變這一類學(xué)生，僅僅依靠數(shù)學(xué)教學(xué)努力是不夠的，聯(lián)合其他學(xué)科及生活中的一些具體事例，去培養(yǎng)他們的基本思維能力，是促進(jìn)他們概念理解的可能途徑.