淺談?lì)惐人季S在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

摘 要：類比思維，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用，本文通過實(shí)際的教學(xué)案例分析，從類比思維在概念、性質(zhì)教學(xué)中的應(yīng)用，類比思維在公式教學(xué)中的應(yīng)用，類比思維在解題思路選擇中的應(yīng)用，類比思維在教學(xué)中應(yīng)用的注意點(diǎn)出發(fā)，探討了類比思維教學(xué).

關(guān)鍵詞：類比思維；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)

類比思維是指從兩個(gè)事物的相似點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行比較、分析、解釋的一種創(chuàng)造性思維，其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用. 一方面是以聯(lián)想為基本手段的類比思維法，以探尋已知事物和未知事物的聯(lián)系點(diǎn)為目標(biāo)，其不僅能夠充分發(fā)揮學(xué)生的想象能力和創(chuàng)造能力，還能夠提高學(xué)生觸類旁通的能力；另一方面是異中求同或同中求異的類比推理方法，它既能夠幫助學(xué)生突破常規(guī)，改變習(xí)慣看法，又能夠拓展、升華他們的思維.從這一意義上來說，類比思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有很大的可行性和應(yīng)用價(jià)值.

[?] 類比思維在概念、性質(zhì)教學(xué)中的應(yīng)用

“數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程就是不斷建立各種數(shù)學(xué)概念的過程”，概念與性質(zhì)是數(shù)學(xué)邏輯體系的重要組成部分，在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有舉足輕重的地位. 概念、性質(zhì)是對(duì)某一類問題、現(xiàn)象進(jìn)行抽象、概括而形成的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，具有簡(jiǎn)明、高度濃縮、深刻揭露事物本質(zhì)等特點(diǎn). 由于其復(fù)雜的思維活動(dòng)過程以及高層次的抽象特點(diǎn)，學(xué)生很難準(zhǔn)確理解和把握其具體內(nèi)涵與要義. 類比思維法重在引入學(xué)生已知的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)性質(zhì)，再現(xiàn)其抽象過程和實(shí)例訓(xùn)練，通過比較、分析新舊知識(shí)點(diǎn)的異同點(diǎn)，來依樣畫葫蘆地揭示新概念的內(nèi)涵和外延.

學(xué)習(xí)《等比數(shù)列》一課時(shí)，在教學(xué)中，鑒于等差數(shù)列與等比數(shù)列兩者存在著一定的相似點(diǎn)，教師可以由等差數(shù)列的定義、性質(zhì)入手，引導(dǎo)學(xué)生以類比思維方法來摸索等比數(shù)列的定義和性質(zhì). 在“等差數(shù)列”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已知“如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列”，教師可以給出一組等比數(shù)列，如2，4，8，16，32，…；10，100，1000， 10000，…，要求學(xué)生發(fā)揮主動(dòng)性，類比等差數(shù)列的定義，嘗試探索等比數(shù)列的定義. 通過類比，學(xué)生不難得出：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比（商）等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列. 以此為依托，教師可以趁熱打鐵，要求學(xué)生驗(yàn)證自己的結(jié)論是否正確. 為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)定義的理解，教師還可以趁機(jī)提問：那么1，1，1，1，…是否是等比數(shù)列呢？什么情況下，一個(gè)數(shù)列既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列呢？當(dāng)然，通過對(duì)比等差數(shù)列的性質(zhì)，學(xué)生只要稍動(dòng)一下腦筋，等比數(shù)列的性質(zhì)也能夠輕松搞定. 由“若m+n=p+q，則am+an=ap+aq，其中m，n，p，q都不等于0”，學(xué)生可以得到這樣的思路：“若m+n=p+q，則am·an=ap·aq，其中m，n，p，q都不等于0”. 即使假設(shè)的過程中可能存在著失誤，但只要將具體數(shù)字進(jìn)行帶入，學(xué)生馬上就能走上正軌. 由等差數(shù)列性質(zhì)類比等比數(shù)列性質(zhì)的例子還有若干，這里就不再一一贅述，但總的來看，兩者在性質(zhì)的表述的格式與內(nèi)容上都極其相近.

我們不難發(fā)現(xiàn)，從對(duì)一件事物理解，到另外一種事物的類比分析過程中，類比的思維方法不僅由淺入深地簡(jiǎn)化了學(xué)生理解問題的復(fù)雜過程，而且為我們解決問題提供了思路，這在一定程度上降低了教師在數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)方面的教學(xué)和學(xué)生理解抽象理論知識(shí)的難度.

[?] 類比思維在公式教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)是由數(shù)字、符號(hào)構(gòu)成的一門學(xué)科，公式教學(xué)也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重中之重. 相較于概念、性質(zhì)教學(xué)，公式教學(xué)難度更大，一方面是因?yàn)楣酵瑯泳哂懈叨鹊某橄笮院透爬ㄐ缘忍攸c(diǎn)，學(xué)生的認(rèn)知需要一個(gè)再次解構(gòu)的過程；另一方面是由于數(shù)字、符號(hào)直接代替了文字語言，學(xué)生在理解過程中必須放棄自己所熟悉的文字表述形式，進(jìn)入數(shù)字、符號(hào)的語境中. 類比思維法通過尋找新、舊知識(shí)點(diǎn)的連接點(diǎn)，類比公式推導(dǎo)過程中的思路、方法，以加深學(xué)生對(duì)公式的理解.

鑒于等差數(shù)列與等比數(shù)列的可比性價(jià)值，筆者仍以《等比數(shù)列》一課為例，教師可通過類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式來促使學(xué)生主動(dòng)探尋等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式. 在等差數(shù)列的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即an=a1+（n-1）d，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，大膽推測(cè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式. 在等差數(shù)列中，有常數(shù)d（每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差），在等比數(shù)列中，有常數(shù)q（每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比），由于項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)數(shù)之間是倍數(shù)的關(guān)系，因此可以類比得到通項(xiàng)公式：an=a1·qn-1.

當(dāng)然，在實(shí)際的教學(xué)過程中，由于學(xué)生能力水平具有層次性特點(diǎn)，有些學(xué)生類比所得到的公式不一定準(zhǔn)確，如在等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推測(cè)過程中，不少學(xué)生類比得到通項(xiàng)公式：an=an·q（n-1）.教師可以讓學(xué)生將具體的數(shù)字帶入進(jìn) 行驗(yàn)證，看類比結(jié)果是否正確，如果錯(cuò)誤，能否進(jìn)行改正. 同樣在等比數(shù)列求和公式的教學(xué)過程中，教師也可以采用類比思維，倡導(dǎo)學(xué)生由此及彼地推測(cè)等比數(shù)列的求和公式，并要求學(xué)生類比等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程來推導(dǎo)等比數(shù)列的求和公式，看所推導(dǎo)出來的公式是否與自己所猜測(cè)的結(jié)果相同.

當(dāng)然，除了由等差數(shù)列公式類比等比數(shù)列公式之外，橢圓公式也可類比圓的公式、空間兩點(diǎn)間的距離公式也可類比平面中的兩點(diǎn)間的距離公式. 在對(duì)比、推測(cè)的過程中，學(xué)生不僅可以捋清相似知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，還可以在類比構(gòu)建具體數(shù)學(xué)模型的過程中強(qiáng)化對(duì)公式的理解，進(jìn)而優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu).

[?] 類比思維在解題思路選擇中的應(yīng)用

類比法在解題中具有非常廣泛的應(yīng)用，我們可以簡(jiǎn)單地將其理解為知識(shí)的遷移、解題思路和技巧的遷移. 在短短的45分鐘課堂時(shí)間內(nèi)，教師傳授的知識(shí)、講解的例題是有限的，但有限中卻網(wǎng)羅了大部分的知識(shí)點(diǎn)與主要的解題思路. 所謂“萬變不離其宗”，這就需要學(xué)生發(fā)揮主觀能動(dòng)性和創(chuàng)造性，把握課堂精髓，在實(shí)際“演練”中能夠以一雙火眼金睛識(shí)破習(xí)題的外在“偽裝”，抓住習(xí)題與例題中的聯(lián)系，通過類比例題解題過程獲得啟發(fā)和思考，從而將習(xí)題“一舉拿下”.

如在以下習(xí)題中：若數(shù)列

n（n+4）

中最大的項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k=_____. 不少學(xué)生面對(duì)陌生的題目無從下手，只能干瞪眼. 而實(shí)際上，這道習(xí)題可以轉(zhuǎn)化為求數(shù)列單調(diào)性的題目，題干信息“最大的項(xiàng)”已經(jīng)明顯地暗示了該數(shù)列存在著最大值，問題也就直接轉(zhuǎn)化為當(dāng)n（k）=________時(shí)，數(shù)列

n（n+4）

取到最大值，這與平時(shí)所做的最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)題“當(dāng)x=________時(shí)，y=-x2+1取到最大值”有著異曲同工之妙. 通過類比二次函數(shù)求極值的解題思路，學(xué)生首先要確定數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)遞增數(shù)列、遞減數(shù)列的判別方法，得到函數(shù)f（n）=（n+1）（n+5）

-n（n+4）

，進(jìn)而得到：當(dāng)0（n∈N*）時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減. 由于n為正整數(shù)，所以得進(jìn)一步比較n=3和n=4時(shí)，數(shù)列取值的大小. 由于a4>a3，所以當(dāng)n=4時(shí)，數(shù)列取到最大值. 像這樣通過類比相似題目獲得解題思路的例子不在少數(shù)，縱然數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，但只要勇于剝?nèi)ネ庠诘摹鞍b”，就能夠識(shí)得其本質(zhì)，解題自然也不在話下.

所謂“授人以魚，不如授人以漁”，教師在例題的講解中，要注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注我們做過的題與題之間的內(nèi)在聯(lián)系，抓住題目的共同知識(shí)點(diǎn)，并以此為切入點(diǎn)，探尋不同題目之間可類比之處. 類比思維不僅能夠啟發(fā)學(xué)生的解題思路，還能夠使他們舉一反三地解決類似的數(shù)學(xué)問題，從而大大提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率.

[?] 類比思維在教學(xué)中應(yīng)用的注意點(diǎn)

正如康德所說：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn).” 類比思維作為數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維中一種重要的思維方法，其不僅為學(xué)生搭建了溝通新、舊知識(shí)點(diǎn)的橋梁，而且不時(shí)拋出問題線索，使學(xué)生在聯(lián)想和假設(shè)之中逐步靠近真理. 但不得不強(qiáng)調(diào)的是，與演繹推理、歸納推理不同，類比的思維方法是從特殊到特殊的一種思維過程，所得到結(jié)論的準(zhǔn)確性和可靠性相對(duì)較低.

如在等比數(shù)列求和公式類比等差數(shù)列求和公式中，學(xué)生由等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程可類比得到等比數(shù)列求和公式，即Sn=，但實(shí)際上結(jié)論并不完全正確. 這是因?yàn)榈缺葦?shù)列與等差數(shù)列在某些性質(zhì)上存在差異，等差數(shù)列當(dāng)d=0時(shí)，數(shù)列幾項(xiàng)之和滿足于求和公式，但等比數(shù)列當(dāng)q=1時(shí)，數(shù)列幾項(xiàng)之和卻不滿足于一般的求和公式，所以這一種特殊情況需要另外考慮.

除此之外，有一些數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)問題之間并沒有可類比的價(jià)值，類比的結(jié)果也沒有參考性. 因此，教師需要注意的是，類比思維并非證明方法，只能作為提出假設(shè)、猜想的一種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)方法. 另外，類比思維并不是萬能的，其往往建立在多種條件之上，如不同事物之間存有共同點(diǎn)或不同點(diǎn)、適當(dāng)聯(lián)想的空間等等，只有在滿足以上條件時(shí)，類比思維才能夠真正發(fā)生效用. 最后，類比思維常常與歸納、演繹等思維方法共同出現(xiàn)，只有綜合運(yùn)用分析、聯(lián)想、猜測(cè)等創(chuàng)造性思維才能夠提高推理的準(zhǔn)確性.

[?] 結(jié)束語

如何正確處理新、舊知識(shí)點(diǎn)的銜接問題，如何提高概念、性質(zhì)以及公式教學(xué)的效率歷來是數(shù)學(xué)教師最為頭疼的難題之一，類比思維法通過類比已有事物開啟創(chuàng)造未知事物的思維思路，不僅能使學(xué)生溫故知新，而且還能夠促使其舉一反三地從舊知識(shí)點(diǎn)中獲得啟發(fā)，理解、掌握新知. 總之，教師在新課的教學(xué)中，要充分發(fā)揮類比思維法在強(qiáng)化學(xué)生抽象概念理解能力、培養(yǎng)他們創(chuàng)造性思維的作用，經(jīng)常性地引導(dǎo)學(xué)生回憶舊知，于舊知中尋找“蛛絲馬跡”，進(jìn)而通過比較、假設(shè)等多種手段來達(dá)到深化知識(shí)點(diǎn)的目的；經(jīng)常性地總結(jié)例題中的解題思路與解題技巧，使學(xué)生在類比中提高知識(shí)的遷移能力和運(yùn)用能力.