借力數(shù)學應(yīng)用，促進有效教學

摘 要：高中數(shù)學教學應(yīng)當強調(diào)學以致用，需要培養(yǎng)學生良好的直覺思維水平. 在高中數(shù)學新知結(jié)束之后，利用生活中的數(shù)學，利用跨學科知識運用中的數(shù)學，可以有效地激發(fā)學生的數(shù)學應(yīng)用意識，并培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用能力. 事實證明，良好的數(shù)學應(yīng)用水平最終體現(xiàn)在數(shù)學應(yīng)用的直覺上，因此數(shù)學應(yīng)用教學的有效性，最終體現(xiàn)為提高學生的數(shù)學直覺水平.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；數(shù)學應(yīng)用；有效教學

中國教學有著一貫的“學以致用”的傳統(tǒng)，盡管在不同的歷史時期，對于“用”的解釋各有不同，但從學習規(guī)律的角度來看，通過應(yīng)用來促進知識的掌握卻也是合理的. 高中數(shù)學教學在學生的心目當中常常是高度抽象、高度概括的，學生所能感知到的應(yīng)用常常是數(shù)學習題的解答，顯然完全局限于這樣的范圍不利于學生數(shù)學知識的掌握，更加不利于學生理解數(shù)學. 如果高中數(shù)學教學能夠突破數(shù)學習題的束縛，在跨學科、重現(xiàn)實的方向上多做努力，那對于促進高中數(shù)學的有效教學會有相當?shù)囊嫣? 筆者在近年的數(shù)學教學中，在數(shù)學的應(yīng)用性方面做了一些思考，形成了一些心得，列舉如下.

[?] 數(shù)學應(yīng)用于生活，激發(fā)學生數(shù)學應(yīng)用的意識

筆者的教學經(jīng)驗表明，當跟學生提及數(shù)學應(yīng)用的時候，學生的第一反應(yīng)就是數(shù)學知識在實際生活中的應(yīng)用，后來通過調(diào)查知道這與學生在義務(wù)教育階段形成的一些認識有關(guān). 既然學生有這樣的前經(jīng)驗，那高中數(shù)學教學中的數(shù)學應(yīng)用，就可以從將數(shù)學知識應(yīng)用于生活開始，以激發(fā)學生初步的數(shù)學應(yīng)用的意識. 事實上，今天的數(shù)學教學的理念之一就是“數(shù)學應(yīng)當是現(xiàn)實的數(shù)學”，這一理念應(yīng)當有兩個層面的理解：第一個層面，在數(shù)學知識生成的過程中，需要結(jié)合具體的現(xiàn)實例子. 關(guān)于這一點，實際教學中做得比較好，一個數(shù)學知識的生成，往往會借助于實際例子；第二個層面，在數(shù)學知識的應(yīng)用過程中，需要現(xiàn)實的生活模型，關(guān)于這一點則做得不太理想. 筆者在這一點重點闡述的就是這個層面的內(nèi)容.

比如說在三角函數(shù)知識的教學中，為了強化學生對正弦定理與余弦定理的掌握，可以引入一些實際生活中的問題. 筆者向?qū)W生呈現(xiàn)的是一則經(jīng)過改編的實際問題：在我市的城區(qū)有兩座高樓（此處略去名稱，實際呈現(xiàn)給學生的時候應(yīng)當說明樓盤的名稱，這樣更容易吸引學生），給你一個測角儀和一個皮尺，你能否測出兩座高樓之間的距離？能否測出樓的高度？（默認兩樓的底部在同一水平面上. ）

這樣的問題與一般的數(shù)學習題不同，其有具體的情境，但沒有具體的數(shù)據(jù)，因此學生在面對此問題時，最初的感覺往往是覺得無處下手，用學生的話說就是，以前的題目數(shù)據(jù)是現(xiàn)成的，只要想到公式，想到方法，往公式里代入數(shù)據(jù)就行了. 在學生有了這一認識的時候，筆者強調(diào)這就是“學以致用”的魅力所在，實際生活中的數(shù)學應(yīng)用往往都是沒有現(xiàn)成的數(shù)據(jù)的，數(shù)學方法的使用、數(shù)據(jù)的采集都需要問題解決者自己去進行. 當然，今天我們解決這個問題不需要到現(xiàn)場去采集真的數(shù)據(jù)，只需要在我們的草稿紙上建立數(shù)學模型，找好數(shù)學方法，所采集的數(shù)據(jù)可以用符號表示……這樣的解釋是筆者精心準備的：一是跟學生強調(diào)了數(shù)學應(yīng)用與數(shù)學解題的不同點；二是強調(diào)了數(shù)學應(yīng)用重點在于建立數(shù)學模型和尋找數(shù)學方法；三是用符號代替數(shù)據(jù).

經(jīng)過了這一番點撥，學生就帶著數(shù)學應(yīng)用的思維回到了問題上. 事實證明，高中階段的大部分學生在這一點上表現(xiàn)還是不錯的，他們的思維能夠迅速轉(zhuǎn)變：他們能夠用兩根豎直的線代表高樓，然后在兩樓之間另外尋找一點建立三角形，然后量角儀可以提供角度大小，皮尺可以提供邊的距離. 此時學生就容易想到正弦定理與余弦定理，于是問題就迎刃而解.

在這個過程中，教學的重心應(yīng)當放在學生的數(shù)學應(yīng)用意識激發(fā)上，跟他們強化日常生活中數(shù)學應(yīng)用的場合及一般的問題解決思路，必要的時候還必須激趣，以強化學生的數(shù)學應(yīng)用認識.

[?] 數(shù)學應(yīng)用跨學科，培養(yǎng)學生數(shù)學應(yīng)用的能力

高中數(shù)學教學中也應(yīng)當通過跨學科來培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用能力，這里有兩個得天獨厚的優(yōu)勢：一是高中數(shù)學的應(yīng)用性本身就比較強，其在高中物理與化學學科中的應(yīng)用其實非常廣泛. 根據(jù)筆者的了解，如果學生在其他學科的學習中能夠運用到數(shù)學的某個知識——不是基本的運算，而是數(shù)學方法的應(yīng)用，那學生的熱情就會非常高漲；二是高中學生的思維比較發(fā)散，他們實際上也期待不同學科之間能夠發(fā)揮相互促進的作用. 利用這兩個優(yōu)勢，到其他學科中選擇教學素材，是促進高中數(shù)學有效教學的智慧之舉.

比如說有教師在“數(shù)列”知識的教學中，給學生呈現(xiàn)了這樣的一個跨學科問題：用一臺抽氣機將1Mpa的氣體從容積為10L的容器中抽出，每次抽出的氣體均為0.1L. 如果保持溫度不變，那抽取了5次之后，容器內(nèi)剩余氣體的壓強是原來的幾分之幾？

這一問題具有明顯的物理情境，對于學生來說在數(shù)學課堂上出現(xiàn)了物理知識，可以吸引幾乎所有學生的注意（這是非常難得的）. 但這個物理情境經(jīng)過數(shù)學建模之后會變成一個數(shù)學問題，即數(shù)列問題. 學生會發(fā)現(xiàn)每次抽出相同體積的氣體，會讓5次的抽取形成一個等比數(shù)列. 而求壓強便可以借助于物理上的克拉伯龍方程去建立一個通項，于是問題就可以得到解決.

同樣，數(shù)學應(yīng)用還可以借助于化學情境，比如說筆者在某資料上發(fā)現(xiàn)這樣的一個跨學科問題：甲乙兩人用農(nóng)藥治蟲，由于計算錯誤，在A，B兩個噴霧器中分別配制成12%，6%的藥水各10千克，實際上兩個噴霧器中農(nóng)藥濃度本應(yīng)是一樣的，現(xiàn)在只有兩個容量為1千克的藥瓶，他們從A，B兩噴霧器中分別取1千克的藥水，將A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，這樣操作進行了n次后，A噴霧器藥水成了含有a%的藥水，B噴霧器藥水成了含有bn%的藥水. （1）證明：an+bn是一個常量；（2）按照這樣的方式進行下去，他們能否得到濃度大致相同的藥水？

這一問題毫無疑問也是跨學科的，學生初始感知到的是化學知識，但經(jīng)過建模之后可以成為一個與數(shù)列和極限相關(guān)的數(shù)學問題.

一般來說，跨學科的數(shù)學問題可以有效地培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用能力，一個原因就是上面提到的可以吸引學生的注意力；另一個原因就是數(shù)學建模. 需要強調(diào)的是，在這一過程中需要強化學生的成就動機，尤其是在學生成功地解決問題之后，需要不著痕跡地表揚學生——高中學生不喜歡虛假的表揚.

[?] 數(shù)學應(yīng)用強意識，深化學生數(shù)學應(yīng)用的直覺

通過強化數(shù)學應(yīng)用來促進高中數(shù)學的有效教學，一個重要的維度是培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用直覺. 直覺思維是優(yōu)于形象思維和抽象思維的，其最大優(yōu)點就是思維的速度快，有時不需要經(jīng)過太多的推理即可以獲得正確的思路與答案. 在高中數(shù)學教學中，直覺思維起著很大的作用，但客觀地來說，不少學生的直覺思維水平往往都是大量數(shù)學習題的重復訓練形成的，從效果上來說還可以，但從效率上來說則不盡如人意. 在有效教學的視角下，如果能夠通過數(shù)學應(yīng)用來培養(yǎng)學生的直覺思維，尤其是提高學生的直覺思維水平，那是非常有必要的.

記得有一次在數(shù)學觀摩課堂上，上課教師向?qū)W生呈現(xiàn)了這樣的一個問題：在伴性遺傳中，比較典型的紅綠色盲產(chǎn)生情況如表1.

問：為什么紅綠色盲的患者是男性多于女性？

學生起初遇到這個問題時，感覺這是個生物問題（跨學科特點），但既然呈現(xiàn)在數(shù)學課堂上，應(yīng)當可以通過數(shù)學知識來解答. 沒有教師的任何點撥學生一會兒便發(fā)現(xiàn)了，這是一個概率問題. 筆者以為學生反應(yīng)如此迅速，恰恰是良好的直覺水平的體現(xiàn).

有研究者指出，通過從特殊到一般，或者通過對比條件進行引申，或者用等價變換進行引申，可以讓學生在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的過程中獲得良好的數(shù)學應(yīng)用直覺的培養(yǎng). 更有研究者指出，在一個數(shù)學問題中，把條件進行相似變換，如數(shù)學元素的數(shù)量的變化，幾何問題中線段數(shù)、線的長度、角的大小的變化，函數(shù)問題中變量的變化等，可以讓學生在變化的情境中重復（但學生往往感覺不到重復）運用數(shù)學知識，從而形成良好的數(shù)學直覺. 在筆者看來，這里其實有著豐富的數(shù)學變式的思想，且需要強調(diào)的是，這樣的變式過程中，不能只注重數(shù)的變化，更要注重形的變化，將數(shù)學知識罩上實際問題的外衣，可以讓數(shù)學知識獲得應(yīng)用中的生命力，自然也可以培養(yǎng)學生在生活描述中發(fā)現(xiàn)數(shù)學實質(zhì)的能力.

總的來說，數(shù)學應(yīng)用更多的體現(xiàn)在數(shù)學直覺上，我們期待的是學生能夠面對實際問題時立即發(fā)現(xiàn)其數(shù)學本質(zhì). 這顯然是一個較高的教學目標，不過從有效教學的角度來看，這一目標也并非高不可攀. 結(jié)合當下高考也有聯(lián)系實際問題的趨勢，筆者以為在日常的數(shù)學教學中通過實際問題、跨學科問題培養(yǎng)學生數(shù)學應(yīng)用的意識，還是非常必要的.