“橢圓”教學(xué)中的數(shù)學(xué)本質(zhì)呈現(xiàn)

摘 要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要重視數(shù)學(xué)形式的呈現(xiàn)，也要重視數(shù)學(xué)本質(zhì)的呈現(xiàn).不同視角下，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)有著不同的理解，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中最需要關(guān)注的是教育形態(tài)下的數(shù)學(xué)本質(zhì)理解. 基于這一理解，在橢圓知識(shí)的教學(xué)中，可以從定義建立、標(biāo)準(zhǔn)方程的探究、橢圓知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用等方面，幫學(xué)生建立顯性的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)邏輯、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)模型等認(rèn)識(shí).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)本質(zhì)；橢圓

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，任何一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)都不能簡(jiǎn)單地成為數(shù)學(xué)知識(shí)的傳遞，這是因?yàn)樽鳛槊嫦蛉w學(xué)生的最后一站的基礎(chǔ)學(xué)科的教學(xué)，高中數(shù)學(xué)擔(dān)當(dāng)著充實(shí)學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)、完善學(xué)生邏輯思維、培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)理性的重?fù)?dān). 任何忽視了這一點(diǎn)的教學(xué)，都將是不完整的數(shù)學(xué)教學(xué). 而事實(shí)上，囿于應(yīng)試的日常高中數(shù)學(xué)教學(xué)并不能很好地兼顧這一點(diǎn)，這使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為相當(dāng)一部分學(xué)生的夢(mèng)魘. 那么，這一現(xiàn)狀有沒(méi)有可能得到改變呢？筆者以為并不困難，而解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于教師轉(zhuǎn)換教學(xué)觀念，切實(shí)從數(shù)學(xué)本質(zhì)上把握好高中數(shù)學(xué)教學(xué)的節(jié)奏. 本文試以“橢圓”（蘇教版，選修2-1）為例，談?wù)剶?shù)學(xué)教學(xué)中如何呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).

[?] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解

從不同的角度看，數(shù)學(xué)本質(zhì)有著不同的理解. 作為一線數(shù)學(xué)教師，關(guān)注不同角度下數(shù)學(xué)本質(zhì)，其實(shí)就是關(guān)注自己的數(shù)學(xué)教學(xué)可能給學(xué)生帶來(lái)什么樣的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 筆者借鑒了林燎老師的觀點(diǎn)，并著重強(qiáng)調(diào)從這樣的幾個(gè)方面去生成對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解：

①?gòu)膶W(xué)科結(jié)構(gòu)的角度，數(shù)學(xué)本質(zhì)就是數(shù)學(xué)模型的建立. 數(shù)學(xué)模型的建立簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)學(xué)建模，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)之一. 關(guān)于數(shù)學(xué)建模，需要建立不同層面的理解，數(shù)學(xué)建模既可以是指建立具體的數(shù)學(xué)模型，也可以指運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想進(jìn)行教學(xué)，其中后者更應(yīng)當(dāng)引起教師的高度重視. 在“橢圓”內(nèi)容的教學(xué)中，橢圓的方程與數(shù)學(xué)模型相關(guān)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到可以用方程表示不同曲線，原本就是“圓錐曲線與方程”這一章的教學(xué)重點(diǎn)之一. ②從數(shù)學(xué)之于社會(huì)和人類(lèi)發(fā)展的意義來(lái)看，數(shù)學(xué)本質(zhì)就是數(shù)學(xué)方法的發(fā)現(xiàn)與使用. 數(shù)學(xué)方法的重要性是不言而喻的，但數(shù)學(xué)方法以什么樣的教學(xué)方式呈現(xiàn)卻需要研究，在“橢圓”內(nèi)容的教學(xué)中，數(shù)學(xué)方法主要體現(xiàn)在探究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程中，對(duì)數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，對(duì)數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系的運(yùn)用等；從數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)來(lái)看，數(shù)學(xué)本質(zhì)體現(xiàn)為抽象性、嚴(yán)密性、精確性以及廣泛應(yīng)用性.關(guān)于這四點(diǎn)性質(zhì)，筆者以為在實(shí)際教學(xué)中最好要顯性地教給學(xué)生，以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的這些特點(diǎn). 比如說(shuō)筆者曾經(jīng)向?qū)W生介紹經(jīng)濟(jì)學(xué)家利用數(shù)學(xué)模型，以發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展規(guī)律的例子，吸引了相當(dāng)一部分學(xué)生. 就拿“橢圓”這一節(jié)的教學(xué)來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)的抽象性顯然體現(xiàn)在簡(jiǎn)潔的橢圓圖形及橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等上面，而嚴(yán)密性與精確性自然也蘊(yùn)含其中，即使對(duì)于橢圓知識(shí)的應(yīng)用而言，除了解題之外，實(shí)際應(yīng)用其實(shí)也很廣泛，比如說(shuō)電影放映機(jī)的光源就是置于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)之上；又比如說(shuō)天體的運(yùn)動(dòng)軌道就是一個(gè)橢圓等. 帶著學(xué)生去涉獵或者分析這些現(xiàn)象，可以讓他們感受到橢圓知識(shí)的生活魅力，而這也是學(xué)生觸摸數(shù)學(xué)本質(zhì)的重要手段.

需要特別提出的是，數(shù)學(xué)本質(zhì)的“教育形態(tài)”理解，筆者以為這是教師帶領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)魅力的關(guān)鍵所在. 教育形態(tài)泛指學(xué)生在學(xué)校或者說(shuō)課堂上呈現(xiàn)出的一種接受教育的狀態(tài)，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活基本上是在教室內(nèi)度過(guò)的，數(shù)學(xué)課堂上能夠帶著學(xué)生進(jìn)入什么樣的數(shù)學(xué)殿堂，直接關(guān)系著學(xué)生的數(shù)學(xué)理解——當(dāng)然并不是說(shuō)課堂之外的數(shù)學(xué)并不重要，事實(shí)上，如果學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能夠延伸到生活當(dāng)中，那也是數(shù)學(xué)教學(xué)成功的標(biāo)志之一. 筆者以為教師需要在數(shù)學(xué)課堂上激活學(xué)生的思維，以讓學(xué)生在“火熱的思考”和“生動(dòng)的過(guò)程中”感知數(shù)學(xué).

[?] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)本質(zhì)呈現(xiàn)

那么，在實(shí)際教學(xué)中如何向?qū)W生呈現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，并讓學(xué)生實(shí)際感受到數(shù)學(xué)本質(zhì)之于數(shù)學(xué)內(nèi)容與形式的意義呢？筆者仍然以“橢圓”的教學(xué)為例，談?wù)劰P者的思考與做法.

其一，給橢圓下定義，感受數(shù)學(xué)語(yǔ)言及表達(dá)式呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)本質(zhì). 實(shí)際教學(xué)中，不少學(xué)生認(rèn)為“將正圓壓扁了就是橢圓”，這是生活形成的樸素經(jīng)驗(yàn)的體現(xiàn)，可以稱(chēng)之為基于前概念的“樸素定義”. 這種樸素定義在課堂上常常只是引發(fā)其余學(xué)生的一笑，但事實(shí)上，如果仔細(xì)發(fā)掘，卻可以發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生都存在這樣的認(rèn)識(shí). 其事例對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒(méi)有直接的作用，但其背后所體現(xiàn)出來(lái)的學(xué)生的想法卻值得教師在課堂上作為橢圓概念形成的生活基礎(chǔ).在這一基礎(chǔ)上，當(dāng)教師利用固定在小黑板上的兩個(gè)釘子，將一根較長(zhǎng)的繩子兩端分別固定在兩個(gè)點(diǎn)上，然后畫(huà)出一個(gè)橢圓時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)如此構(gòu)建出來(lái)的橢圓與其原來(lái)構(gòu)建橢圓的方式并不相同，此時(shí)學(xué)生會(huì)下意識(shí)地用“集合”的概念來(lái)定義橢圓：到兩個(gè)固定點(diǎn)的距離為定值的點(diǎn)的集合. 顯然，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)到數(shù)學(xué)角度的過(guò)渡也就順利實(shí)現(xiàn)了. 最后當(dāng)教師呈現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡”的科學(xué)定義時(shí)，學(xué)生則自然會(huì)生成一種比較意識(shí)，并進(jìn)而發(fā)現(xiàn)這樣的數(shù)學(xué)表達(dá)更合理. 此時(shí)教師只要從數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度稍加提醒，學(xué)生就能認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念的定義關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)語(yǔ)言的準(zhǔn)確、精確，相應(yīng)的橢圓的定義式也就唾手可得.

其二，探究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，感受數(shù)學(xué)邏輯與數(shù)學(xué)推理的數(shù)學(xué)本質(zhì). 這是橢圓知識(shí)教學(xué)的核心內(nèi)容，得出過(guò)程雖不復(fù)雜，但教學(xué)方式的選擇卻很重要.讓學(xué)生基于橢圓的定義式去進(jìn)行推理，并引導(dǎo)學(xué)生基于坐標(biāo)（首先需要建立坐標(biāo)系）去進(jìn)行思考，是探究的核心所在，而此知識(shí)的啟發(fā)關(guān)鍵可以是借助于橢圓圖形的對(duì)稱(chēng)性，再基于定義式進(jìn)行邏輯上的演繹與推理，則可順利得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 此過(guò)程中，亦需要向?qū)W生顯性地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)邏輯與數(shù)學(xué)推理，以讓學(xué)生明確認(rèn)識(shí)到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從數(shù)學(xué)促進(jìn)知識(shí)生成與發(fā)展的角度來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì). 需要強(qiáng)調(diào)的是，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程從表面來(lái)看是描述橢圓圖形的一種很自然的方式，但是在教學(xué)中需要強(qiáng)調(diào)，橢圓是屬于“形”的，而方程是屬于“數(shù)”的，用方程來(lái)描述包括橢圓在內(nèi)的所有曲線，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，是數(shù)與形的又一次完美結(jié)合，也說(shuō)明數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)就是研究數(shù)與形的關(guān)系. 這樣的理論提升，往往可以讓學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)產(chǎn)生更為深刻的認(rèn)識(shí)，也有助于在學(xué)生的思維中種下真正的數(shù)學(xué)本質(zhì)的種子.

其三，尋找生活中的橢圓，感受數(shù)學(xué)知識(shí)描述生活實(shí)際的數(shù)學(xué)本質(zhì). 這里所說(shuō)的生活中不僅包括學(xué)生所能感知到的生活世界，也包括學(xué)生想象力所能及的未知世界. 事實(shí)上，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，生活往往更多的是指思維所構(gòu)建出來(lái)的生活. 在學(xué)生身邊的各種設(shè)計(jì)中，在遙遠(yuǎn)的行星軌跡中，橢圓的魅力永遠(yuǎn)需要去探究，正如筆者在教學(xué)中舉出行星軌道的例子時(shí)，有學(xué)生問(wèn)為什么行星的運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)是橢圓. 坦率地講，筆者給不了學(xué)生答復(fù)，但筆者幾乎可以肯定的是，一旦真實(shí)的原因被發(fā)現(xiàn)，那這個(gè)原因一定可以用數(shù)學(xué)形式來(lái)描述.追求現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)描述，原本就是科學(xué)家在努力的事情.

[?] 面向數(shù)學(xué)本質(zhì)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)

“火熱的思考”和“生動(dòng)的過(guò)程中”是高中數(shù)學(xué)同行的原話，在筆者看來(lái)有著豐富的意義.

“火熱的思考”意味著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程不應(yīng)當(dāng)是枯燥無(wú)味的，“生動(dòng)的過(guò)程”意味著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程不應(yīng)當(dāng)是空洞抽象的. 高中數(shù)學(xué)之所以給學(xué)生造成一種抽象復(fù)雜的印象，重要原因在于數(shù)學(xué)教學(xué)的對(duì)象過(guò)多地依靠符號(hào)與形式，而忽視了數(shù)學(xué)的本質(zhì). 因此，面向數(shù)學(xué)本質(zhì)應(yīng)當(dāng)成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的積極取向.

面向數(shù)學(xué)本質(zhì)，意味著數(shù)學(xué)教師在日常的教學(xué)過(guò)程中要把握好形式與實(shí)質(zhì)的關(guān)系，要把握好解題訓(xùn)練與數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的關(guān)系. 就筆者的理解而言，當(dāng)前考試導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)更多地側(cè)重于形式的訓(xùn)練，通過(guò)不同的題型去強(qiáng)化不同類(lèi)型習(xí)題的解答，某種程度上并不能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而只是將一類(lèi)解題思維通過(guò)重復(fù)的形式以讓學(xué)生在真正遇到時(shí)能夠有一種自動(dòng)化的效果而已，其基本上與學(xué)生的數(shù)學(xué)思維沒(méi)有太大的關(guān)系，其所導(dǎo)致的結(jié)果也就是常常為人所詬病的“高分低能”. 而如果專(zhuān)注于數(shù)學(xué)本質(zhì)，那課堂教學(xué)就會(huì)呈現(xiàn)出另一種狀態(tài)，這個(gè)時(shí)候?qū)W生更多的會(huì)將思維集中在數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系的梳理上，集中在數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究上，這個(gè)時(shí)候?qū)W生的數(shù)學(xué)知識(shí)及其運(yùn)用可能會(huì)沒(méi)有應(yīng)試形態(tài)下那么熟練，但卻能將思維的觸角伸到數(shù)學(xué)的各個(gè)角落. 兩者相比較，孰優(yōu)孰劣，一眼明了. 當(dāng)然，在客觀條件的限制之下，教師的智慧往往體現(xiàn)在應(yīng)試與數(shù)學(xué)本質(zhì)兩不誤上，這顯然需要高中一線的數(shù)學(xué)教師付出更多的努力.

總的來(lái)說(shuō)，不同的視角對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)有著不同的解讀，而要想讓學(xué)生真正樹(shù)立基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的學(xué)習(xí)觀念，教師帶著對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解并適當(dāng)程度上進(jìn)行顯性的教學(xué)是必然選擇，關(guān)于這一點(diǎn)如何進(jìn)行才更為有效，筆者也仍在探究的路上.