基于“演繹推理與合情推理并重”的教學設(shè)計與反思

摘 要：合情推理和演繹推理是兩種基本的邏輯推理，是進行數(shù)學發(fā)現(xiàn)、數(shù)學建構(gòu)的常用推理方式.在數(shù)學教學中，合理地使用這兩種推理方式，將有效地促進學生思維品質(zhì)的提升. 本文以《任意角》為例，談教學中如何堅持演繹推理與合情推理并重.

關(guān)鍵詞：任意角；演繹推理；合情推理；初高中銜接

新課程教材將合情推理和演繹推理列為必學內(nèi)容，它有利于在知識傳授的同時滲透方法論的教育，有利于幫助學生掌握科學的學習方法. 筆者在執(zhí)教《任意角》時，堅持演繹推理與合情推理并重，取得了較好的教學效果.

[?] 教學設(shè)計與意圖

教材分析： 三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的數(shù)學模型，也是一種基本初等函數(shù)，在數(shù)學和其他領(lǐng)域中具有重要作用.角的概念的推廣是學習三角函數(shù)的必備知識，是學生進一步學習任意角三角函數(shù)的知識生長點. 學生在初中階段已學習了角的靜態(tài)和動態(tài)兩種定義方式，“任意角”是在此基礎(chǔ)上對角的概念的進一步推廣和延伸. 本節(jié)課知識雖難度不大，但能否深刻領(lǐng)會概念，卻對順利進行三角函數(shù)整章的學習至關(guān)重要，同時也為今后學習向量、解析幾何、復(fù)數(shù)等相關(guān)知識奠定了基礎(chǔ). 另外，“任意角”學習過程中所蘊含的深刻的數(shù)學思想和方法，對培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、完善認知結(jié)構(gòu)也具有重要的作用.

教學目標：

1. 經(jīng)歷任意角的概念的知識形成過程，體驗角的概念推廣的必要性.

2. 初步學會在平面內(nèi)建立適當?shù)淖鴺讼祦碛懻撊我饨?，會用集合語言寫出與任一已知角終邊相同的角.

3. 在知識建構(gòu)、問題解決的過程中，滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸等數(shù)學思想.

教學重點：任意角的概念.

教學難點：把終邊相同的角用集合、符號語言正確地表示出來.

教學方法：問題引導(dǎo)、多媒體輔助教學.

教學過程：

/一、溫故知新，提出問題/

問題1：在初中我們是怎樣定義角的？（從如下的靜態(tài)和動態(tài)兩個角度定義）

問題2：平面內(nèi)一條射線繞其端點旋轉(zhuǎn)一周后回到原來的位置，所形成的角是什么角？如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)下去，所形成的圖形是不是還是角？為什么？

問題3：生活中存在上述問題中所出現(xiàn)的角嗎？你能試著舉出一些實例嗎？我們又如何去理解它們呢？（可結(jié)合如下生活實例說明）

設(shè)計意圖說明：通過問題1回顧舊知，并進一步以演繹推理的方式提出問題2，使角的概念更為一般化，并通過問題3聯(lián)系生活實際，引發(fā)認知沖突，角的推廣也就成了必然需求.

/二、引導(dǎo)交流，數(shù)學活動/

在學生舉出生活實例的基礎(chǔ)上，順勢提出以下時鐘校準問題.

問題4：（1）時鐘從12：00到12：15，分針轉(zhuǎn)過了多少度？從12：00到13：15，分針轉(zhuǎn)了多少度？

（2）時鐘快了15分鐘，你是怎樣將它校準的？假如時鐘慢了15分鐘，你應(yīng)當如何將它校準？當時間校準后，分針轉(zhuǎn)過了多少度？

問題5：如何用數(shù)學的方法將按順指針、逆時針兩種不同的方向旋轉(zhuǎn)的角加以區(qū)分？你以前有過類似的經(jīng)驗嗎？（適時提醒，正、負數(shù)可以表示相反意義的量）

問題6：我們知道，正、負數(shù)和0可借助數(shù)軸有效地進行區(qū)分. 那么，為了區(qū)分按順指針、逆時針兩種不同的方向旋轉(zhuǎn)的角，你認為可以利用什么載體進行區(qū)分呢？如何給它們下一個合理的定義呢？

設(shè)計意圖說明：通過以上問題，利用類比的方法，由正數(shù)、負數(shù)、零的概念自然引出正角、負角、零角的概念. 由數(shù)軸自然類比聯(lián)想到平面直角坐標系，引出象限角、軸線角的概念也就水到渠成了，這實際上是一種方法的遷移.

/三、自主提煉，數(shù)學建構(gòu)/

（一）正角、負角與零角的概念

①正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；

②負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角；

③零角：如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它為零角.

用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍擴大到“任意角”.

（二）象限角、軸線角

象限角：以角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系.這樣，角的終邊（除端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.

軸線角：如果角的終邊在坐標軸上，稱這個角為軸線角. （軸線角不屬于任何象限）

練習：請分別畫出下列各組角，并總結(jié)作圖要點. （合作學習，分成四組作圖）

（1）30°， 120°， 200°， -30°， 0°；

（2）-330°，-240°，-160°， -390°，-360°；

（3）390°， 480°， 560°， 330°，360°；

（4）750°， 840°， 920°， 690°，720°.

其中第一組圖形如下（其余三組略）

[30°][x][O][y][120°][x][O][y][200°][x][O][y][-30°][x][O][y][0°][x][O][y]

圖1

設(shè)計意圖說明：

（1）鞏固正角、負角、零角的概念，并歸納出作角的基本要點.

（2）角的概念推廣后，角的大小可以任意取值，把角放在直角坐標系中進行研究，對于一個給定的角，都有唯一的一條終邊與之對應(yīng)，并使得角具有代數(shù)和幾何雙重意義.

（3）縱向觀察上面的各組角，由 -330°，30°，390°，750°之間的關(guān)系，歸納出終邊均相同角的表示法.歸納方式如下：

-330°=-1×360°+30°

30°=0×360°+30°

390°=1×360°+30°

750°=2×360°+30°→{β

β=k·360°+α，k∈Z}.

歸納法作為一種合情推理，在數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)過程中具有特別重要的地位.

（三）終邊相同的角的集合

一般地，與角α終邊相同的角的集合為{β

β=k·360°+α，k∈Z}.

注意：上述表示法具有如下幾何意義：①α可視作旋轉(zhuǎn)起始角；②360°可以看做是每次的旋轉(zhuǎn)量；③

k

表示旋轉(zhuǎn)的次數(shù)，k的正負決定旋轉(zhuǎn)的方向，k>0時，逆時針旋轉(zhuǎn)；k<0時，順時針旋轉(zhuǎn).

設(shè)計意圖說明：任意角的概念是建立在旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)上的，從“形”的角度認識，有利于學生從本質(zhì)上理解終邊相同的角的集合，同時也為后續(xù)的研究例題2做好鋪墊.

/四、實踐探究，數(shù)學運用/

例1：在0°到360°的范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并分別判斷它們是第幾象限角：

（1）650°；（2）-990°15′.

解法一：（1）因為650°=360°+290°，所以650°的角與290°的角終邊相同，是第四象限角.

（2）因為-990°15′=-3×360°+89°45′，所以-990°15′的角與89°45′的角終邊相同，是第一象限角.

解法二：（1）令0°≤650°+k·360°<360°，解得-≤k<-，又k∈Z，所以k=-1. 所以0°≤650°+（-1）×360°<360°，即0°≤290°<360°，故650°為第四象限角.

（2）令0°≤-990°15′+k·360°<360°，又k∈Z，所以k=3，所以0°≤-990°15′+3×360°<360°，即0°≤89°45′<360°，故-990°15′為第一象限角.

設(shè)計意圖說明：鞏固終邊相同的角的集合表示，學習用終邊相同的角解決有關(guān)問題，為以后學習誘導(dǎo)公式，實現(xiàn)大角化小角等奠定基礎(chǔ).

例2：已知α與120°角的終邊相同，判斷是第幾象限角.

解法一：從“數(shù)”的角度理解

因為α=k·360°+120°（k∈Z），所以=·360°+60°（k∈Z）.

①若k為偶數(shù)，設(shè)k=2n，n∈Z，則與60°角的終邊相同，在第一象限；

②若k為奇數(shù)，設(shè)k=2n+1，n∈Z，則與240°角的終邊相同，在第三象限.

所以是第一或第三象限角.

解法二：從“形”的角度理解

因為α=k·360°+120°（k∈Z），

所以=k·180°+60°（k∈Z），

將的終邊在平面直角坐標系中表示出來（如圖2所示）.

設(shè)計意圖說明：從幾何角度理解，上式表示從60°角的終邊開始旋轉(zhuǎn)，每次轉(zhuǎn)動180°. 這樣解決問題的同時，又回扣解法1，并進一步體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一.

/五、回顧反思 總結(jié)提升/

（1）知識結(jié)構(gòu)：

（2）探究途徑：歸納、猜想、演繹、化歸.

（3）探究拓展：設(shè)α是第一象限角，試探究：

①2α一定不是第幾象限角？

②，分別是第幾象限角？你能總結(jié)有關(guān)規(guī)律嗎？

設(shè)計意圖說明：從知識和方法兩個角度進行總結(jié)，幫助學生進一步建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)，提煉探究方法.并提出新的探究問題，將探究活動延伸到課外.

/六、課后作業(yè)/

必做題：課本P7 第2、3、4、5題.

選做題：（1）分別表示出終邊在第一、第二、第三、第四象限的角的集合.

（2）已知集合A={α

α=60°+k·360°，k∈Z}，B={α

α=60°+k·90°，k∈Z}，C={α

α=60°+k·180°，k∈Z}，那么集合A，B，C的關(guān)系如何？

拓展探究：請利用互聯(lián)網(wǎng)搜集與角的概念有關(guān)的數(shù)學故事，并相互交流.

設(shè)計意圖說明：適當訓練，幫助學生及時鞏固所學知識. 同時讓學生利用網(wǎng)絡(luò)等資源了解數(shù)學史上的與角的概念有關(guān)的數(shù)學故事，開闊學生的視野，提高學生的數(shù)學學習興趣.

[?] 教學反思

1. 演繹推理與合情推理并重是有效方式

合情推理和演繹推理是兩種基本的邏輯推理，是進行數(shù)學發(fā)現(xiàn)、數(shù)學建構(gòu)的常用推理方式. 合情推理有利于學生觀察、實驗和猜想. 但合情推理不是進行數(shù)學發(fā)現(xiàn)的唯一方式，演繹推理同樣在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中發(fā)揮著重要作用. 教學時，應(yīng)堅持演繹推理與合情推理并重. 本節(jié)課，在概念建構(gòu)的過程中，從初中角的動態(tài)定義出發(fā)，用演繹推理的方式得到任意角的概念；而在得出與角α終邊相同的角的集合{β

β=k·360°+α，k∈Z}時，則利用了歸納法這種合情推理的方式；在例題講解時，從數(shù)與形兩個角度去解決，注重了演繹推理與合情推理的有效結(jié)合.

2. 概念教學要重視初高中知識的銜接

本節(jié)課是在初中旋轉(zhuǎn)定義角的基礎(chǔ)上，進一步將角的概念進行推廣. 教學時若忽視初中學習的基礎(chǔ)，讓學生從生活中去找角的模型，從而創(chuàng)設(shè)問題情境，這樣的做法則顯得過于稚化. 本節(jié)課結(jié)合學生已有的認知基礎(chǔ)，從初中定義出發(fā)，深層次發(fā)問，再結(jié)合時鐘校準問題等現(xiàn)實模型，幫助學生建構(gòu)并深入理解任意角的概念. 重視初高中數(shù)學知識的銜接，堅持根據(jù)學情確定教學起點和教學方法，這是教學應(yīng)遵循的基本原則.