以“問”促“思”，問題引領(lǐng)，漸入佳境

摘 要：平面向量基本定理是《向量》一章的核心知識點，是后面向量的坐標表示的學(xué)習奠定了基礎(chǔ). 該定理蘊涵著嚴謹條理的數(shù)學(xué)思維方式，能有效地培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)理性的學(xué)科素質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 本文采取有效提問的方式，對平面向量基本定理的教學(xué)進行了設(shè)計.

關(guān)鍵詞：平面向量基本定理；教學(xué)設(shè)計；教學(xué)反思；提問；有效；引領(lǐng)

[?] 教材分析

從教材角度

平面向量基本定理是幾何問題向量化的理論基礎(chǔ)，是《向量》一章的核心知識點，為后面向量的坐標表示的學(xué)習奠定了基礎(chǔ). 該定理蘊涵著嚴謹條理的數(shù)學(xué)思維方式，能有效地培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)理性的學(xué)科素質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 平面向量基本定理是蘇教版普通高中課程實驗教科書必修四2.3節(jié)《向量的坐標表示》的第一課時，前面已學(xué)過的向量的概念及表示、向量的線性運算、向量的共線定理等為本節(jié)課的學(xué)習奠定了基礎(chǔ).

從學(xué)生角度

（1）學(xué)生已經(jīng)學(xué)習了向量的概念和線性運算，初步了解了向量的形式，具備主動探究平面向量之間關(guān)系的基礎(chǔ).

（2）根據(jù)學(xué)生物理中已學(xué)的力以及矢量的經(jīng)驗，對向量及向量的分解有一定的認識，但仍沒有上升到成為概念的水平，將感性認識轉(zhuǎn)化到理性認識需要一個過程，而本節(jié)教學(xué)內(nèi)容為此提供了契機.

（3）向量對學(xué)生來講是一個全新的概念，向量不僅考慮大小，還要考慮方向，不是簡單的代數(shù)運算，所以這節(jié)課對學(xué)生而言，要在不是很熟練運用向量的運算的基礎(chǔ)上探究平面向量基本定理，并能利用定理去解決問題，具有一定的挑戰(zhàn)性.

根據(jù)以上分析我們確定了以下的學(xué)習目標

（1）知識與技能：掌握平面向量基本定理，能用基底表示平面內(nèi)的向量.

（2）過程與方法：通過對平面向量基本定理的探究，進一步掌握向量的線性運算及向量共線定理，體驗數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生、形成過程，體驗定理所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法. 通過對例題的鉆研，使學(xué)生進一步理解定理，為后面的坐標表示及坐標運算打好基礎(chǔ).

（3）情感、態(tài)度與價值觀：通過平面向量基本定理的探求過程，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考及勇于探究的精神，培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、抽象概括能力，激發(fā)學(xué)習興趣.

[?] 教學(xué)流程

基本流程：（1）問題情境，提出問題；（2）自主探究，解決問題；（3）自主練習，應(yīng)用問題；（4）課堂小結(jié)，總結(jié)問題；（5）作業(yè)布置；（6）板書.

（一）問題情境，循序漸進

問題1：平面內(nèi)，有非零向量e，則該平面內(nèi)的任意向量是否都能用e表示？

學(xué)生1：不能，由向量共線定理可以知道只能表示與e共線的向量.

設(shè)計意圖：回顧前一節(jié)課的向量共線定理，讓學(xué)生有意識地從一維（共線）向二維（共面）思考，鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新想象能力！

問題2：如果能用已知向量表示平面內(nèi)的任意一個向量，那么至少要幾個已知向量？對已知向量有何要求？

學(xué)生2：至少要兩個，而且兩個不共線，還有一個不為零向量.

下面的學(xué)生竊竊私語，有不同意見！

學(xué)生3：兩個不為零向量，如果是零向量就共線，說不共線，就是非零向量.

教師：非常好，考慮得很到位！

教師追問：幾個關(guān)鍵詞？

學(xué)生4：兩個，不共線.

教師：大前提？

學(xué)生4：平面內(nèi).

設(shè)計意圖：問題設(shè)計有一定的梯度，由簡單到困難，但又是有共同之處的. 引導(dǎo)學(xué)生在觀察比較中進行聯(lián)想類推，從而猜測出平面中向量的關(guān)系，鍛煉學(xué)生的思維能力. 同時強調(diào)關(guān)鍵詞，利于學(xué)生后面清楚、準確、簡練地表達定理.

教師繼續(xù)引導(dǎo)：通過對問題1、問題2的理解與總結(jié)，請同學(xué)們繼續(xù)思考問題3.

問題3：用平面內(nèi)不共線的兩個向量，怎么表示平面內(nèi)的任意一個向量？

（二）自主探究，形成概念

學(xué)生們對問題3進行分組討論，再由小組推薦學(xué)生與其余學(xué)生交流，教師用幾何畫板進行演示.

已知向量e1，e2是兩個不共線的向量，a是平面內(nèi)任一向量（圖1）.

學(xué)生5：第一步：把三個向量移到共起點（圖2），在平面內(nèi)任取一點O，作=e1，=e2，=a，

第二步：過點C作直線OA，OB的平行線，分別交直線OA，OB于M，N（圖3），所以=+. 令=λ1e1，=λ2e2，則=λ1e1+λ2e2.

教師：很好！誰來總結(jié)一下作法？

學(xué)生6：第一步：共起點，目的是利于向量的線性運算；第二步：分解，利用向量的平行四邊形法則，對目標向量進行分解. 在物理里面其實是力的分解！

教師：不錯，學(xué)生6總結(jié)得很細致，也很到位，看來大家對前面幾節(jié)課的內(nèi)容掌握得比較好，能較為熟練地運用了.

教師繼續(xù)提要求：那剛才同學(xué)們把向量a用e1，e2表示出來了，能不能給出證明呢？

學(xué)生們思考幾分鐘后，學(xué)生7主動站起來回答.

學(xué)生7：由平行四邊形法則可知：=+，因為與共線，與共線，由向量共線定理可知，存在唯一的λ1與λ2，使得=λ1e1，=λ2e2，得：a=λ1e1+λ2e2.

教師：很好！下面我改變a的大小和方向，請大家觀察λ1與λ2的變化.

教師在幾何畫板上進行操作，引導(dǎo)學(xué)生觀察運動中量的變化，然后由學(xué)生自由發(fā)言.

學(xué)生8：λ1與λ2可以為正，可以為負.

學(xué)生9：還可以一個為零，這時候是共線的.

學(xué)生10：兩個都為零，就是零向量了.

教師：對，現(xiàn)在大家對λ1與λ2中的“唯一”有更明確的了解了吧？

有學(xué)生舉手提問，

學(xué)生11：老師，e1，e2也可以變化吧？

學(xué)生12直接站起來回答：對，就是說基底是不唯一的，只要不共線就會有很多對基底來表示a.

教師并不急于肯定他們的討論，而是反問學(xué)生：他們的觀念準確嗎？

學(xué)生們在仔細思考后，紛紛表示贊成.

教師：很好，大家要相互學(xué)習，多思考，多質(zhì)疑，多總結(jié)，這樣就能對概念理解得更為清楚！

設(shè)計意圖：先放手讓學(xué)生自己探索，充分調(diào)動學(xué)生的動手能力，訓(xùn)練作圖能力，利用已學(xué)的向量的加法，平行四邊形法則，向量共線定理，讓學(xué)生自己感受探究平面向量基本定理的過程，培養(yǎng)學(xué)生的概括總結(jié)能力，做到精簡、清晰地表達定理. 再結(jié)合幾何畫板的演示，讓學(xué)生更為清晰地看出作法，也能通過對a方向、大小的改變，突出a為任意向量，存在唯一一對實數(shù)λ1與λ2，從而對概念的認識更為直觀、清晰. 而學(xué)生通過知識遷移，發(fā)現(xiàn)e1，e2作為基底不唯一，這是意外的收獲，可見把課堂交給學(xué)生可以有更多的驚喜.

（三）建構(gòu)數(shù)學(xué)，完善概念

由前面大家的推導(dǎo)，我們給出平面向量的基本定理：

如果e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這一平面的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.

我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

教師：下面我們來比較一下兩個定理的區(qū)別與聯(lián)系，哪兩個定理？

學(xué)生眾：向量共線定理和平面向量基本定理.

教師：很好，哪位同學(xué)講一講？

學(xué)生13：向量共線定理是一個基底，平面向量基本定理是兩個基底.

學(xué)生14：其實就是一維和二維的區(qū)別.

教師：學(xué)生14概括得更為準確，以后我們還會學(xué)到三維的.

課堂練習：書本76頁練習3.

設(shè)計意圖：系統(tǒng)規(guī)范地給出概念，通過對一維與二維進行比較，讓學(xué)生構(gòu)建完整的知識系統(tǒng)，讓他們對平面向量基本定理的理解更為深刻，也為今后空間向量的學(xué)習奠定一定的基礎(chǔ).

（四）初步運用，強化理解

變式1：若E為AC上靠近A的三等分點，G為DM的中點，試用基底a，b表示.

變式2：若=m，=n，用m，n表示，.

設(shè)計意圖：鞏固概念，利用向量的線性運算解決問題. 變式1通過對多位學(xué)生解題過程的展示，總結(jié)這類問題的解決方法：利用封閉圖形轉(zhuǎn)化為基底的形式. 變式2突出基底的不唯一，具體題目中要選擇合適的基底. 解答本題運用了化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

例2 設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，如果=3e1-2e2，=4e1+e2，=8e1-9e2，求證：A，B，D三點共線.

設(shè)計意圖：要證明三點共線，也就是要證明共起點的兩個向量是共線的. 回顧向量共線定理，提問三點共線的公共起點有沒有特殊要求. 總結(jié)這類題型一般解題規(guī)律，三點共線問題轉(zhuǎn)化為向量共線問題.

（五）自我評價，課堂小結(jié)

教師：這節(jié)課學(xué)習了什么內(nèi)容？有哪些關(guān)鍵詞？有哪些收獲？用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

學(xué)生：平面向量基本定理；關(guān)鍵詞：在平面內(nèi)，兩個，不共線的向量；這節(jié)課我們學(xué)會了用基底表示向量，還學(xué)會了怎么證明三點共線；數(shù)學(xué)思想方法主要是化歸轉(zhuǎn)化的思想方法.

設(shè)計意圖：臨近下課，學(xué)生思維開始渙散，注意力不能集中. 請學(xué)生自主小結(jié)，能提高學(xué)生的興奮度. 通過提問引導(dǎo)學(xué)生從知識內(nèi)容和思想方法兩個方面進行小結(jié)，體會化歸思想在研究數(shù)學(xué)問題中的作用.

[?] 教后反思

本節(jié)課通過創(chuàng)設(shè)問題情境，回顧前一節(jié)課內(nèi)容的同時自然流暢地層層引入本節(jié)內(nèi)容. 通過拋出問題，請學(xué)生討論交流，充分調(diào)動了學(xué)生的積極性和主動性，把課堂交給了學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生積極參與，讓學(xué)生成為課堂的主人，在有限的教學(xué)時間內(nèi)探究知識，主動獲取更多的知識. 在教學(xué)實踐中通過學(xué)生交流進行針對性辨析、討論，可提升學(xué)生自主學(xué)習的能力. 教師在學(xué)生討論后的基礎(chǔ)上通過幾何畫板展示作圖過程，請學(xué)生總結(jié)作法，完善概念，最后得出定理. 整個定理的引入過程中，學(xué)生參與度高，反應(yīng)積極，有拋磚引玉的功效，對概念的認識一個比一個精彩，使概念的理解更為完善，而且給后續(xù)的學(xué)習奠定了良好的基礎(chǔ). 在后面例題和變題的練習中，鞏固概念，體會化歸思想在平面向量問題中的應(yīng)用，同時在教學(xué)中時刻不忘提醒學(xué)生注意定理中的關(guān)鍵詞，引導(dǎo)學(xué)生在定理的形成和論證過程中經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展過程. 體會數(shù)學(xué)思想方法的形成，親歷定理論證的嚴謹與規(guī)范，讓學(xué)生在有效內(nèi)化數(shù)學(xué)知識的同時提高思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，養(yǎng)成嚴謹科學(xué)的行為習慣和治學(xué)態(tài)度.