2.55乘100，結(jié)果竟不是255！

彌塵

很久以前，程序員成心文同學(xué)遇到了他編程史上的第一個浮點(diǎn)數(shù)誤差Bug，這個Bug正如標(biāo)題所述，在他的程序下2.55*100的結(jié)果竟是254.99999999999997，而非255。因為是初次遇到，所以他也不知道是怎么回事，但在請教中外倆.NET大牛無果后，他果斷拍板決定“自己動手，豐衣足食”。

后來他終于找到了原因，簡單地說：

計算機(jī)將小數(shù)部分0.55轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制時會形成一個“0011”組合的無限循環(huán)，從而造成誤差。解決辦法是盡量用decimal類型替換double類型。

這位年輕的程序員將他的這次編程經(jīng)歷記錄在了微博上，一不小心被小編扒了出來，于是IT之家就有了這篇關(guān)于“世界上只有10種人，一種懂二進(jìn)制、另一種不懂”的文章（如圖1）。

當(dāng)然，除了上面的這位同學(xué)之外，小編還發(fā)現(xiàn)一位名叫周花卷的大牛也遇到了類似的問題，他在谷歌Chrome瀏覽器的開發(fā)者控制臺（Win環(huán)境下F12/Mac環(huán)境按Command+Option+I可以打開一個“開發(fā)者工具”窗口，然后點(diǎn)上面的“Console”標(biāo)簽，你會看到一個控制臺窗口）里輸入“0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1”（一共10個0.1），按下回車后結(jié)果竟是0.99999999999999，這個問題同樣也是二進(jìn)制造成的（如圖2）。

OK，下面進(jìn)入正題，小編接下來要用更專業(yè)的解釋來帶大家飛，不懂二進(jìn)制的也可以學(xué)習(xí)一下哈。

要搞清楚這個問題，我們先來理解一下進(jìn)制的概念。在十進(jìn)制中，一位數(shù)字我們可以使用0到9，比9多的時候就會變成10，這就是一個兩位數(shù)了，也就是進(jìn)位了，二進(jìn)制也是一樣，只不過一位數(shù)字只能使用0和1，再多就要進(jìn)位了。那么進(jìn)制的本質(zhì)又是什么呢？我們隨便拿一個十進(jìn)制的數(shù)字來看一看（如圖3）：

看懂了沒？一個十進(jìn)制數(shù)實際上就是其中每一位數(shù)依次乘以10的0、1、2…次冪（權(quán)重），然后再把結(jié)果加起來，那么以此類推，二進(jìn)制里面就是把上面的10換成2唄，我們來看一個（如圖4）：

于是二進(jìn)制數(shù)1001也就是十進(jìn)制數(shù)的9。到這里似乎還沒什么問題，因為我們只討論了整數(shù)呢，每一個十進(jìn)制整數(shù)都可以轉(zhuǎn)換成一個二進(jìn)制整數(shù)，反過來，每一個二進(jìn)制整數(shù)也都可以轉(zhuǎn)換成一個十進(jìn)制整數(shù)。不過，如果把小數(shù)也加進(jìn)來呢？先看一個十進(jìn)制的小數(shù)（如圖5）：

看懂了沒？其實就是把10上面的指數(shù)變成了負(fù)數(shù)而已，不難吧。那么以此類推，二進(jìn)制的小數(shù)也就是把10換成2唄，我們來看一個（如圖6）：

上面我們理解了進(jìn)制的一些本質(zhì)特性，算不過來也沒關(guān)系，我們暫且先不管它，不過，這跟我們遇到的問題到底有什么關(guān)系？別急，我們再看一下當(dāng)引入小數(shù)之后，進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換到底出了什么Bug。我們知道實數(shù)的數(shù)軸是連續(xù)的，每兩個數(shù)字之間的部分是可以被無限分割的，舉個例子，0和1之間的這部分，如果用十進(jìn)制一位小數(shù)來分割的話，可以分成10份，也就是0.1、0.2、0.3……0.9、1，如果用二進(jìn)制一位小數(shù)來分割的話，則只能分成兩份，也就是0.1（十進(jìn)制的0.5）、1。你發(fā)現(xiàn)了什么問題？無論小數(shù)點(diǎn)后面增加多少位數(shù)字，二進(jìn)制永遠(yuǎn)只能以2來分割數(shù)軸，而十進(jìn)制則是以10來分割數(shù)軸。

讓我們回想一下小學(xué)的數(shù)學(xué)知識，在十進(jìn)制中，如果要用有限小數(shù)來表示一個分?jǐn)?shù)的值，那么這個分?jǐn)?shù)的分母（化簡之后）一定不能包含除了2和5以外的其他質(zhì)因數(shù)，因為十進(jìn)制以10來分割數(shù)軸，而10分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果為2×5。舉個例子：1/8、1/10、1/25都可以換算成有限小數(shù)（分別是0.125、0.1、0.04），因為這些分?jǐn)?shù)的分母分解質(zhì)因數(shù)之后只包含2或者5（8=2×2×2、10=2×5、25=5×5），而當(dāng)分母包含其他質(zhì)因數(shù)時，例如1/3、1/7、1/18這些則無法用有限小數(shù)來表示（也就是俗話說的“除不盡”）。如果我們把這個規(guī)律套用到二進(jìn)制上會怎么樣呢？2本身就是一個質(zhì)數(shù)，無法分解質(zhì)因數(shù)了，因此在二進(jìn)制中，如果要用有限小數(shù)來表示一個分?jǐn)?shù)的值，那么這個分?jǐn)?shù)的分母一定只能包含2這一個質(zhì)因數(shù)，換句話說，分母必須為2的冪（2、4、8、16、32……）。

好了，我們回頭看看開頭的題目，0.1換算成分?jǐn)?shù)就是1/10，而1/10的分母是10，10并不是2的冪，因此，在二進(jìn)制中并不能用有限小數(shù)來表示1/10這個值。事實上，如果將0.1轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，我們會得到一個無限循環(huán)小數(shù)：0.000110011001100……看到這里，很多人估計已經(jīng)想明白了，沒錯，計算機(jī)的精度是有限的，并不能直接處理無限小數(shù)，對于無限小數(shù)必須要截短到某個位置把它變成有限小數(shù)，但截短之后這個數(shù)就不準(zhǔn)了，必然就產(chǎn)生了一點(diǎn)誤差，而連續(xù)加10次會將這種誤差放大，當(dāng)誤差被放大到一定程度時，計算的結(jié)果就會出問題了，于是我們就看到了開頭的那一幕。如果用十進(jìn)制來類比的話，大家可以想象一下，1/3+1/3+1/3=1，但1/3只能用無限循環(huán)小數(shù)來表示，即0.333333……，如果我們將它截短到某一位，假設(shè)截到0.333，那么0.333+0.333+0.333=0.999，你看，同樣也會出問題。

問題的原因總算搞清楚了，不過感覺很坑爹啊，計算機(jī)居然算不準(zhǔn)小數(shù)，但為什么平時大家很少因此遇到問題呢？那是因為大多數(shù)用戶都不用編寫程序，但對于整天編寫程序的程序員來說，這樣的問題其實經(jīng)常遇到。比如說，如果你在一段程序中需要讓計算機(jī)判斷0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+ 0.1+0.1+0.1是否等于1，計算機(jī)會告訴你不等于1，坑爹吧？如果這段程序涉及算錢，有時候就會錯得很離譜，因此有經(jīng)驗的程序員在碰到小數(shù)計算的時候都會特別小心。當(dāng)然，作為一般用戶我們平時根本不需要關(guān)心這樣的問題，不過計算機(jī)居然會算錯數(shù)，怎么想都覺得挺奇妙的吧？