小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)發(fā)展研究綜論

陶紅強(qiáng)

摘要：發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)，尤其是小學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，應(yīng)成為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一。圍繞數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)這一主題，很多學(xué)者從概念內(nèi)涵、培養(yǎng)策略等角度已經(jīng)進(jìn)行了探索，并取得了大量的研究成果。對(duì)符號(hào)意識(shí)研究所取得的成果進(jìn)行總結(jié)，并分析出其優(yōu)點(diǎn)與不足，以啟發(fā)從研究對(duì)象、內(nèi)容、方法三個(gè)方面做進(jìn)一步的研究。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí);概念內(nèi)涵;培養(yǎng)策略;發(fā)展規(guī)律

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2015）06A-0055-03

“數(shù)學(xué)的本質(zhì)是概念和符號(hào)，并通過概念和符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理”[1]，而符號(hào)性是數(shù)學(xué)學(xué)科的特質(zhì)。這種具有數(shù)學(xué)學(xué)科特質(zhì)的符號(hào)，即數(shù)學(xué)符號(hào)，是表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的工具。因此數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一就是要使學(xué)生懂得數(shù)學(xué)符號(hào)的意義，會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)解決實(shí)際問題和數(shù)學(xué)本身問題，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。為此，我國義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）把發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)作為重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并明確指出“符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式。”從以上對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的相關(guān)描述進(jìn)行分析，可以得知數(shù)學(xué)符號(hào)的背后暗含了數(shù)學(xué)抽象、推理、模型等思想，這些基本思想將在學(xué)生日后的生活和后續(xù)學(xué)習(xí)中發(fā)揮重要作用。這些都充分體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的重要性。為此，國內(nèi)外一大批學(xué)者和一線教師在數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的內(nèi)涵、具體表現(xiàn)以及培養(yǎng)策略等方面做出了探索。本文對(duì)關(guān)于符號(hào)意識(shí)研究所取得的成果進(jìn)行了分析和總結(jié)，指出了其優(yōu)點(diǎn)與不足，以啟發(fā)后繼的研究。

一、國外關(guān)于符號(hào)意識(shí)概念內(nèi)涵的研究

對(duì)于符號(hào)意識(shí)，目前并沒有一個(gè)統(tǒng)一的、精確的定義。匈菲爾德等人認(rèn)為：“符號(hào)意識(shí)包括能夠給符號(hào)、表達(dá)式和公式賦予意義，并感受到它們的結(jié)構(gòu)。”[2]阿凱菲進(jìn)一步把符號(hào)意識(shí)與數(shù)學(xué)意識(shí)進(jìn)行類比，由此給出了符號(hào)意識(shí)的一些基本特征，“其中包括：建立公式的技能，確認(rèn)等價(jià)表達(dá)式的能力，以及怎樣通過這些公式和表達(dá)式去表示數(shù)學(xué)的意義。同時(shí)，他還指出，符號(hào)意識(shí)是學(xué)習(xí)代數(shù)的必要條件”[3]。從兩位外國學(xué)者對(duì)符號(hào)意識(shí)的描述來看，他們都是從某個(gè)方面、某個(gè)局部來認(rèn)識(shí)的。例如：匈菲爾德主要是從能否理解符號(hào)意義這個(gè)角度來看的;而阿凱菲則是從用符號(hào)表示數(shù)學(xué)對(duì)象的角度來看的。這些觀點(diǎn)雖然有助于我們對(duì)符號(hào)意識(shí)的了解，但并不全面。1990年Fey提出符號(hào)意識(shí)應(yīng)包括這樣幾部分能力：“認(rèn)識(shí)與鑒別能力，估算能力，驗(yàn)算與預(yù)告能力，選擇能力”[4]。較以上兩位學(xué)者，F(xiàn)ey提出的見解比較全面，對(duì)我們進(jìn)一步理解符號(hào)意識(shí)具有很高的參考價(jià)值。佐恩則把符號(hào)意識(shí)看作“從符號(hào)中抽象出數(shù)學(xué)意義和結(jié)構(gòu)，用符號(hào)有效地表達(dá)數(shù)學(xué)意義和結(jié)構(gòu)，以及通過符號(hào)的操作發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)意義和結(jié)構(gòu)的一般化能力”[5]。從佐恩的描述來看，他對(duì)符號(hào)意識(shí)的解釋更為具體，有利于我們從實(shí)踐的角度來培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。但是以上學(xué)者所說的都不是符號(hào)意識(shí)的真正內(nèi)涵，而更傾向于對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)能力的體現(xiàn)，所以，什么是符號(hào)意識(shí)真正的內(nèi)涵，值得我們進(jìn)一步去思考。

二、國內(nèi)關(guān)于符號(hào)意識(shí)概念內(nèi)涵的研究

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）對(duì)符號(hào)意識(shí)的內(nèi)涵做出了具體界定：“符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式?！蔽覈芏鄬W(xué)者和一線教師的觀點(diǎn)都和上述觀點(diǎn)一致。例如，鮑建生和周超認(rèn)為符號(hào)意識(shí)應(yīng)包括以下幾個(gè)層面：“運(yùn)用符號(hào)去表示數(shù)學(xué)的意義和結(jié)構(gòu);能夠理解符號(hào)所表示的數(shù)學(xué)意義和結(jié)構(gòu);對(duì)符號(hào)進(jìn)行演算（包括等價(jià)變形）;運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行思維，從而發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)意義和結(jié)構(gòu)?！盵6]再如，我國學(xué)者王林認(rèn)為：“符號(hào)意識(shí)最重要的內(nèi)涵是運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和表達(dá)，進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)。這里包含兩層意思：第一，理解并會(huì)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;第二，用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算，可以進(jìn)行推理，其結(jié)果具有一般性?！盵7]這些關(guān)于符號(hào)意識(shí)的研究多是用描述的方法對(duì)符號(hào)意識(shí)給出界定，雖在實(shí)際操作中具有可操作性，但仍不能讓教師得到符號(hào)意識(shí)的定義。重慶師范大學(xué)教授黃翔對(duì)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）提出的符號(hào)意識(shí)做出了進(jìn)一步的解讀，認(rèn)為其對(duì)符號(hào)意識(shí)的要求具體體現(xiàn)于“符號(hào)理解、符號(hào)操作、符號(hào)表達(dá)、符號(hào)思考4個(gè)維度”[8]。通過以上分析，我們發(fā)現(xiàn)這些學(xué)者對(duì)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）的不同解讀，雖然最終都沒有給符號(hào)意識(shí)下一個(gè)明確定義，只是描述了符號(hào)意識(shí)的具體體現(xiàn)，但正是這些學(xué)者的研究，為我們把“數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)”的概念具體到可觀察、可操作的行為層面提供了思路，使后繼的進(jìn)一步研究具有可行性。

三、關(guān)于符號(hào)感、符號(hào)意識(shí)發(fā)展的研究

有關(guān)符號(hào)意識(shí)現(xiàn)狀的調(diào)查研究比較少，主要是在碩士論文和博士論文中。湯強(qiáng)的博士論文《7—9年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)語言的理解與表示》從數(shù)學(xué)語言的理解和表示兩個(gè)方面入手進(jìn)行研究，最后得出結(jié)論：“導(dǎo)致學(xué)生在符號(hào)理解和表示上出現(xiàn)不同表現(xiàn)的本質(zhì)原因是語言知識(shí)和符號(hào)意識(shí)?！盵9]這項(xiàng)研究說明了符號(hào)意識(shí)的重要性，但是該論文雖然說學(xué)生不同表現(xiàn)的本質(zhì)原因?yàn)檎Z言知識(shí)和符號(hào)意識(shí)，卻只是從語言角度來發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題。從符號(hào)意識(shí)角度來研究相關(guān)問題則沒有深入下去。孫萌的論文《初中數(shù)學(xué)符號(hào)語言學(xué)習(xí)與教學(xué)探究》主要是對(duì)初中生數(shù)學(xué)符號(hào)語言學(xué)習(xí)出現(xiàn)的問題進(jìn)行分類，剖析，找出對(duì)策。論文研究認(rèn)為“問題有這樣幾類：符號(hào)語言認(rèn)識(shí)方面的問題、符號(hào)語言表達(dá)的問題、符號(hào)語言學(xué)習(xí)情感問題”[10]。這項(xiàng)研究也為我們研究數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)指明了方向，即符號(hào)認(rèn)識(shí)、符號(hào)表達(dá)等，但該文沒有進(jìn)一步闡明哪個(gè)階段的突出問題是什么，如在哪個(gè)階段符號(hào)認(rèn)識(shí)問題比較突出等。

四、小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)培養(yǎng)策略的研究

數(shù)學(xué)符號(hào)語言的形成貫穿在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程中。在小學(xué)階段，盡管學(xué)生使用的數(shù)學(xué)符號(hào)比較有限，但是數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的萌芽已經(jīng)開始，小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的形成在一生學(xué)習(xí)過程中處于基礎(chǔ)階段，其重要性不言而喻。鑒于此，許多學(xué)者和一線教師從不同角度論述了小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)策略。例如，南京師范大學(xué)李星云教授認(rèn)為培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的具體策略是“利用生活經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的符號(hào)意識(shí);設(shè)計(jì)問題情境，幫助學(xué)生形成符號(hào)意識(shí);分階段，有重點(diǎn)地逐步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)”[11]。特別是最后一個(gè)策略，分階段有重點(diǎn)的培養(yǎng)，為我們繼續(xù)研究小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的發(fā)展階段提供了思路。史炳星、馬云鵬等老師提倡在解決問題的過程中發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)[12]。這主要是從符號(hào)運(yùn)用的角度來發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，對(duì)于系統(tǒng)地培養(yǎng)、研究學(xué)生的符號(hào)意識(shí)是不夠的?！稊?shù)學(xué)課堂中發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)淺探》的作者楊春認(rèn)為應(yīng)從三個(gè)方面來發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)：“在情境中感受需要;在操作中升華內(nèi)涵;在運(yùn)用中體驗(yàn)規(guī)律。”[13]可以看出，這些策略比較偏向符號(hào)的運(yùn)用方面。同樣偏向于符號(hào)運(yùn)用的相關(guān)研究還有西安交通大學(xué)第二附屬小學(xué)的蘇顯煒老師，他在論文《小學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)研究》中認(rèn)為：“通過嘗試運(yùn)用符號(hào)，建立學(xué)生的符號(hào)意識(shí);通過靈活運(yùn)用符號(hào)，強(qiáng)化學(xué)生的符號(hào)意識(shí);通過解決實(shí)際問題，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí);通過對(duì)比教學(xué)，提高學(xué)生的符號(hào)意識(shí)”[14]。而論文《數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)策略》作者雷笑艷、吳金鵬則從理解符號(hào)和應(yīng)用符號(hào)的角度來談培養(yǎng)小學(xué)生的符號(hào)意識(shí)[15]。和該觀點(diǎn)相似的還有許光新，他認(rèn)為：“應(yīng)創(chuàng)設(shè)情境，促進(jìn)學(xué)生理解符號(hào)意義;抓住聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)進(jìn)行多種表示;鼓勵(lì)學(xué)生用符號(hào)去解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。”[16]由此，我們可以看出，關(guān)于符號(hào)的理解和運(yùn)用應(yīng)是符號(hào)意識(shí)形成的關(guān)鍵。

五、進(jìn)一步研究的思考

國內(nèi)外數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的研究雖然取得了不少的成果，但許多研究仍待進(jìn)一步發(fā)展。

從研究對(duì)象來看，很多研究都比較注重對(duì)初中生和高中生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)，而很少關(guān)注和研究小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)。事實(shí)上，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)應(yīng)貫穿于整個(gè)教育階段，尤其要重視小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)。小學(xué)階段是學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的起點(diǎn)，也是進(jìn)行后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。對(duì)此，施里曼等人的觀察發(fā)現(xiàn)（小學(xué)生使用符號(hào)不只是記錄他們了解的事物，也是幫助進(jìn)一步建構(gòu)他們的想法，讓他們?cè)趧e的地方做不曾做過的推論）可以更好地說明。

從研究內(nèi)容來看，目前的研究主要集中在兩方面：一是關(guān)于符號(hào)意識(shí)的具體體現(xiàn)，而對(duì)于符號(hào)意識(shí)的內(nèi)涵似乎到目前為止還沒有一個(gè)明確的定義，這對(duì)教師們更好地理解數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的本質(zhì)是不利的。二是主要集中在符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)策略上，特別是有關(guān)小學(xué)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)。事實(shí)上，對(duì)于小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的研究應(yīng)該深入下去，特別是要進(jìn)一步探索和揭示小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的發(fā)展規(guī)律及其階段性，這是重中之重。因?yàn)槲覀儾荒茉诓磺宄W(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的發(fā)展規(guī)律以及階段性的前提下去妄談所謂的培養(yǎng)策略和途徑。而只有把小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的發(fā)展規(guī)律及其階段性弄清楚了，才能更有效地去探索小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)策略。

從研究方法上看，目前的研究大都是一線教師根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來總結(jié)如何培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。這些研究比較偏向于思辨，而實(shí)驗(yàn)研究，特別是高水平的實(shí)驗(yàn)研究比較少。

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責(zé)任編輯：石萍

Review of Research on Pupils Mathematics Symbol Awareness Development

TAO Hong-qiang

（Liyang Wenhua Primary School， Liyang 213300， China）

Abstract： One of the most important goals for primary school mathematics teaching is to develop pupil's symbol awareness. Many scholars have explored the theme from the angles of connotation and strategy training with a wealth of research fruits. A review of such research can provide revelation for further research from three aspects： object， content and method.

Keywords： primary school mathematics; symbol awareness; connotation; strategy; principle