指數(shù)Gamma分布在無資料地區(qū)水文頻率分析中的應用研究

李 航，易瑞來，廖樸訥

(廣州市增城區(qū)中新鎮(zhèn)人民政府，廣州 511365)

1 概述

隨著我國水利事業(yè)的蓬勃發(fā)展，目前國內水利工程的建設重心已經(jīng)從大型水利工程向中小型水利工程轉移，而城市化進程的飛速推進、城市防洪排澇體系的不完善和城市布局的不合理，越發(fā)凸顯城市中小型水利工程配套建設的落后。水文頻率分析是根據(jù)區(qū)域內的某種水文現(xiàn)象的統(tǒng)計特征，利用現(xiàn)有水文數(shù)據(jù)資料，分析和計算水文變量設計值與重現(xiàn)期之間的定量關系，是水利工程規(guī)劃、設計與管理的基礎和科學依據(jù)，分析結果的精確與否將會直接關系到流域水利工程是否能夠發(fā)揮其應有的作用[1]。然而，中小流域作為近年來水利工程的建設重心，常常會因為自然條件和人為因素的限制，出現(xiàn)無法取得基礎性水文數(shù)據(jù)的狀況，為水資源的科學管理和水利工程的規(guī)劃建設造成很大困擾。根據(jù)世界氣象組織的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，最近20年間，世界上的水文站點數(shù)量正在迅速減少，尤其是前蘇聯(lián)和一些發(fā)展中國家，作為最大的發(fā)展中國家，中國現(xiàn)有的設站條件面臨著同樣的難題[2]。

為解決無資料地區(qū)的水文頻率分析和水文預報問題，促進水文科學理論研究和技術研究應用于解決實際性問題，2003年7月國際水文科學學會(IAHS)正式啟動無資料地區(qū)水文預測計劃，即PUB計劃(Prediction in Ungauged Basins)[3]。經(jīng)過十幾年的研究對比，目前常用的無資料地區(qū)水文頻率分析和水文預報的方法可以大致分為四類：隨機模擬法[4-6]、區(qū)域化方法[7-8]、徑流系數(shù)法[9-10]和參數(shù)等值線圖法[11]，分別適用于不同資料缺失程度的研究區(qū)域。在工程所在流域找不到參證流域且無降雨資料的情況下，參數(shù)等值線圖可以根據(jù)已繪制的各省市水文特征等值線圖經(jīng)過計算得到設計年徑流量[12]。因此，參數(shù)等值線圖法成為中小流域水利工程建設過程中實際應用最多的方法。

目前，參數(shù)等值線圖法中最為常用的水文頻率計算模型為皮爾遜Ⅲ型分布。然而，皮爾遜Ⅲ型分布并不能適用于各種自然條件，且近年來隨著水文極值的不斷出現(xiàn)[13]，在水文頻率分析過程中時常出現(xiàn)皮爾遜Ⅲ型分布與經(jīng)驗點據(jù)明顯脫離的不合理現(xiàn)象[14]。為了提高水文頻率分析模型的適用性和彈性，同時兼容現(xiàn)有皮爾遜Ⅲ型分布的設計標準，1985年，中國水利水電科學研究院孫濟良先生等[15]提出指數(shù)Gamma分布模型，該模型可以通過改變參數(shù)轉化為包括P-Ⅲ型分布、對數(shù)正態(tài)分布在內的10余種常見分布模型。

受限于當時的計算機技術及模型計算方法，具有4個參數(shù)的指數(shù)Gamma分布參數(shù)估計計算較為復雜，因此并沒有得到廣泛的應用。隨著計算機的廣泛應用和模型方法的研究，指數(shù)Gamma分布優(yōu)秀的擬合效果和適用性得到越來越多水文學者的關注。

在我國現(xiàn)有條件下，基層水文工作缺乏足夠技術力量支持，水文測站無法短時間內在全國范圍內普及。在缺少技術力量和水文資料的情況下，將指數(shù)Gamma分布應用于參數(shù)等值線圖法，并開發(fā)配套的水文設計值計算工具，能夠免去篩選合適擬合曲線的繁瑣過程，有效解決各種水文自然條件下無資料地區(qū)的水文頻率分析問題，并提高水文設計值計算精度。

本文選取江谷河流域作為研究區(qū)域，以指數(shù)Gamma分布作為頻率分布曲線，通過廣東省水文局頒布的《廣東省暴雨參數(shù)等值線圖》(2003年版)采用參數(shù)等值線圖法進行水文頻率分析，得出暴雨設計值與采用優(yōu)化適線法的指數(shù)Gamma分布計算結果和采用參數(shù)等值線圖法的P-Ⅲ型分布計算結果進行對比研究，分析指數(shù)Gamma分布在無資料地區(qū)的水文頻率分析結果的可靠性。文中分析結果以期為我國無資料地區(qū)水文頻率分析的研究和應用提供支撐。

2 指數(shù)Gamma分布的參數(shù)估計方法

設隨機變量X服從指數(shù)Gamma分布，其概率密度函數(shù)為：

(1)

α>0,β>0,δ

式中：

α，b，β，δ——分別為指數(shù)Gamma分布的形狀參數(shù)、變換參數(shù)、比例參數(shù)和位置參數(shù)。

變換參數(shù)b的取值范圍一般為0≤b≤10，其中位置參數(shù)δ為模型隨機變量X的下限，同時也為保證隨機變量X不會出現(xiàn)負值的情況，在某一研究區(qū)域的頻率分布模型中，δ表示為隨機變量X在該研究區(qū)域的最小值。將指數(shù)Gamma分布采用積分法進行積分，可以得到指數(shù)Gamma分布的超越概率分布函數(shù)F(x)。在水文頻率分析中，通常使用超越累計頻率P代表F(x)，即：

(2)

2.1 矩法

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：

v1——一階原點矩；

μ2——二階中心矩；

μ3——三階中心矩;

μ4——四階中心矩。

其中：

(7)

(8)

μ3=[Γ2(α)Γ(α+3b)-3Γ(α+b)Γ(α+2b)+2Γ3(α+b)]/β3bΓ3(α)

(9)

μ4=[Γ3(α)Γ(α+4b)-4Γ2(α)Γ(α+b)Γ(α+3b)+6Γ(α)Γ2(α+b)Γ(α+2b)-3Γ4(α+b)]/[β4bΓ4(α)]

(10)

2.2 優(yōu)化適線法

應用矩法，可以得到指數(shù)Gamma分布設計值的計算公式[1]：

(11)

式中：

(12)

離差絕對值和最小準則為：

(13)

式中：

xi——經(jīng)驗頻率Pi下的水文實測值；

xi*——相應頻率下估計值。

以α、b、β、δ作為未知參數(shù)，選用離差絕對值和最小準則作為目標函數(shù)求解各參數(shù)值。

2.3 參數(shù)等值線圖法

2.4 指數(shù)Gamma分布樣本矩的計算

設樣本序列長度為n，將樣本序列按降序排列為xi(i= 1, 2,…,n)，頻率計算公式為：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

3 應用實例

查閱《廣東省暴雨參數(shù)等值線圖》(2003年版)，獲取江谷水庫、大垌、潭布、塘下的水文頻率特征參數(shù)，分別以指數(shù)Gamma分布和P-Ⅲ型分布作為頻率分布曲線，采用參數(shù)等值線圖法進行水文頻率分析。選取江谷水庫、大垌、潭布、塘下4個水文測站的年最大3 d暴雨實測序列，以指數(shù)Gamma分布作為頻率分布曲線，采用優(yōu)化適線法進行水文頻率分析。對比基于指數(shù)Gamma分布的參數(shù)等值線圖法分析結果與其余兩種方法的擬合情況，分析指數(shù)Gamma分布在無資料地區(qū)水文頻率分析的適用性。本文所選暴雨資料通過了“三性審查”，符合水文頻率計算的要求，研究區(qū)域的水文資料系列長度見表1所示。

表1 暴雨資料系列長度

3.1 參數(shù)估計及曲線擬合

表2 各站點指數(shù)Gamma分布參數(shù)估計結果

本文選取4個雨量站的年最大3 d暴雨實測序列作為研究對象，對比分析2種參數(shù)估計方法下指數(shù)Gamma分布和參數(shù)等值線圖法下P-Ⅲ型分布對經(jīng)驗點據(jù)的擬合情況，擬合情況如圖1所示。由圖1可知，優(yōu)化適線法、參數(shù)等值線圖法和P-Ⅲ型分布確定的頻率曲線均能夠很好的擬合經(jīng)驗點距的各個部分，且表現(xiàn)穩(wěn)定。其中，優(yōu)化適線法確定的頻率曲線對經(jīng)驗點距的上部和中部具有更好的擬合效果，2種分布曲線的參數(shù)等值線圖法擬合效果次之；而對于經(jīng)驗點距的下部，2種分布曲線的參數(shù)等值線圖法表現(xiàn)出更好的擬合效果。

a 江谷水庫

b 大垌

c 潭布

d 塘下

3.2 誤差分析

采用AIC準則和均方根誤差為評價標準，進一步對比分析指數(shù)Gamma分布2種參數(shù)估計方法與P-Ⅲ型分布的擬合效果，計算結果見表3所示。

綜合表3與圖1的對比分析結果可以得出，4個雨量站暴雨頻率分析中，指數(shù)Gamma分布2種參數(shù)估計方法計算結果的AIC指數(shù)和均方根誤差普遍較小。指數(shù)Gamma分布2種參數(shù)估計方法中，部分站點優(yōu)化適線法的結果明顯優(yōu)于參數(shù)等值線圖法，這與參數(shù)等值線圖精度不足，參數(shù)只能取大概數(shù)值有關。作為無資料地區(qū)的暴雨頻率分析方法，參數(shù)等值線圖法的結果雖然部分站點不如由暴雨實測序列計算出的結果，但其結果仍具有很大參考價值，甚至在取值準確的情況下，結果還要優(yōu)于優(yōu)化適線法。

表3 指數(shù)Gamma分布設計值誤差比較

4 結語

本文以江谷水庫、大垌、潭布和塘下4個雨量站的年最大3d暴雨資料為例，將基于指數(shù)Gamma分布的參數(shù)等值線圖法應用于無資料地區(qū)的暴雨頻率分析，并對優(yōu)化適線法、參數(shù)等值線圖法和基于P-Ⅲ型分布的參數(shù)等值線圖法進行了頻率曲線的擬合效果評價與誤差分析，評價分析結果如下：

1) 優(yōu)化適線法、參數(shù)等值線圖法和基于P-Ⅲ型分布的參數(shù)等值線圖法均能夠很好地擬合經(jīng)驗點據(jù)各個部分，且指數(shù)Gamma分布2種參數(shù)估計方法計算結果的AIC指數(shù)和均方根誤差普遍較小。表明在暴雨頻率分析中，基于指數(shù)Gamma分布的參數(shù)等值線圖法是一種可選的參數(shù)估計方法。

2) 對比優(yōu)化適線法，參數(shù)等值線圖法確定的頻率曲線能夠更好的擬合經(jīng)驗點距的下部，更適合做為小頻率水文設計值的計算方法，能夠很好的擬合經(jīng)驗點據(jù)的上部。

3) 文中研究了無資料地區(qū)基于參數(shù)等值線圖法指數(shù)Gamma分布的頻率計算。對于隨機模擬法、區(qū)域化方法和徑流系數(shù)法在指數(shù)Gamma分布上的應用有待進一步研究。