在反例中求正解
——談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)反例的應(yīng)用

仲崇猛

（江蘇省連云港市贛榆區(qū)教師發(fā)展中心，江蘇 連云港222100）

在反例中求正解
——談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)反例的應(yīng)用

仲崇猛

（江蘇省連云港市贛榆區(qū)教師發(fā)展中心，江蘇 連云港222100）

初中數(shù)學(xué)是鍛煉學(xué)生的抽象邏輯思維的主要階段，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)在這一階段著重培養(yǎng)學(xué)生的抽象邏輯思維。課堂教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本途徑，為了有效的進(jìn)行教學(xué)，教師應(yīng)充分利用課堂盡可能的激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，從而提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用以及對(duì)數(shù)學(xué)的掌握程度。從反例中求解，不僅可以解決學(xué)生的疑惑，還能讓學(xué)生更好的在數(shù)學(xué)的長(zhǎng)河中盡情的游蕩。

初中數(shù)學(xué)；反例；應(yīng)用；抽象邏輯思維

反例教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中起著很重要的作用，反例可有效的鞏固所學(xué)的概念和定理，同時(shí)還能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，更能對(duì)學(xué)生的抽象邏輯思維的訓(xùn)練得到很大的幫助。對(duì)于教學(xué)而言，反例能有效的提升教學(xué)質(zhì)量，還能從例子中深刻的理解知識(shí)點(diǎn)。對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題而言，利用反例無(wú)疑是掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最有效，最能加深學(xué)生印象的一種教學(xué)方法。

在生活中，我們有時(shí)會(huì)能遇到一些問(wèn)題，使我們百思不得其解，這個(gè)時(shí)候就要發(fā)揮人大腦思維的作用了，如果我們從正面想不通，為何不試一試從反面去解決那，也許真的會(huì)有意外的收獲。反例能激發(fā)的學(xué)生思維，使學(xué)生愿意去嘗試、去思考。人的思維還具有靈活性，它能判斷或選擇一種最直接最簡(jiǎn)捷的方法去解決問(wèn)題，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要培養(yǎng)學(xué)生這種用反例去解決實(shí)際問(wèn)題的能力，還應(yīng)鍛煉學(xué)生對(duì)反例的充分運(yùn)用。反例還能培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。

一、中學(xué)數(shù)學(xué)中反例的作用及應(yīng)用

在學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)遇到許許多多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，有的答案較多，有的給出沒(méi)用的條件，還有的需要判斷命題的真假，這些題往往是學(xué)生頭疼的問(wèn)題，那么是否能舉出一個(gè)恰當(dāng)?shù)姆蠢齺?lái)證明是解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)。在一些數(shù)學(xué)考試中，我們能看出現(xiàn)在的題型大多是開(kāi)放性的，有些題型是需要學(xué)生用反例去證明它，或是只有舉出反例才更容易理解，那么當(dāng)學(xué)生再遇到相似的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，才懂得如何思考，找到解題的入口點(diǎn)。

運(yùn)用反例能提高課堂效率，正確而充分的反例可以對(duì)解決問(wèn)題起到事半功倍的效果，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，運(yùn)用反例增強(qiáng)課堂的互動(dòng)性，讓學(xué)生在快樂(lè)的課堂學(xué)習(xí)環(huán)境下，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性、積極性，使學(xué)生愿意思考，樂(lè)于挑戰(zhàn)，從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。運(yùn)動(dòng)反例優(yōu)化學(xué)生的解決問(wèn)題能力，數(shù)學(xué)解題的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一種技巧，這種技巧可以提升學(xué)生的解題效率，還能有效的發(fā)展學(xué)生的發(fā)散性思維。

針對(duì)一個(gè)問(wèn)題，學(xué)生在解決問(wèn)題之前，應(yīng)充分進(jìn)行假設(shè)，思考和嘗試，這樣才能有效的鍛煉學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，和增強(qiáng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。運(yùn)用反例培養(yǎng)學(xué)生的思維。一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方法也有多種，在解決問(wèn)題的這一階段中，是對(duì)學(xué)生思維創(chuàng)造性、思維靈活性及逆向思維的鍛煉。一節(jié)好數(shù)學(xué)課，不是教師教給你多少概念，而是教師會(huì)把焦點(diǎn)放到如何拓展學(xué)生的思維和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣上。

二、加強(qiáng)對(duì)學(xué)生反例學(xué)習(xí)的訓(xùn)練和培養(yǎng)

初中數(shù)學(xué)反例學(xué)習(xí)可以有效的培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的抽象邏輯思維能力和創(chuàng)新能力。反例需要學(xué)生的推理，假設(shè)，證明和驗(yàn)證，不斷地在嘗試錯(cuò)誤從而達(dá)到真正的理解。學(xué)生反例學(xué)習(xí)的訓(xùn)練和培養(yǎng)主要有一下幾種方法：

（一）反例學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維的嚴(yán)密性。我們經(jīng)常說(shuō)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人，思維很縝密。確實(shí)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)的確要求我們嚴(yán)謹(jǐn)。在考試中，我們也會(huì)發(fā)現(xiàn)有很多題我們都會(huì)做，但是卻沒(méi)有拿到分?jǐn)?shù)，歸根到底是我們馬虎不嚴(yán)謹(jǐn)。那么我們?cè)诳紤]問(wèn)題時(shí)也是一樣?？磫?wèn)題要全面而且嚴(yán)密。這是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。反例學(xué)習(xí)要求我們的思維嚴(yán)密，所以看待問(wèn)題要從多個(gè)角

度出發(fā)。

（二）反例學(xué)習(xí)辯證真假。當(dāng)我們遇到一個(gè)問(wèn)題從正面很難解時(shí)，不妨試一試反例，看有沒(méi)有收獲。有很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用反例解決反而更能讓我們的思維變得靈活。反例學(xué)習(xí)能快速的辨別真假命題，例如：要證明“兩個(gè)無(wú)理數(shù)的積仍是無(wú)理數(shù)”這一命題是否為真命題時(shí)，為無(wú)理數(shù)，則此命題為真。面對(duì)這樣的問(wèn)題，我們應(yīng)嘗試著舉出反例，若為有理數(shù)，此命題為假命題。像這樣我們只需舉一個(gè)反例就能驗(yàn)證真假就很容易解決問(wèn)題了。

（三）反例學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)概念的掌握。數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，大多數(shù)數(shù)學(xué)概念都很抽象，學(xué)生不容易記憶。但是通過(guò)舉反例的方式，就會(huì)印象深刻并能加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。例如：要“證明兩個(gè)三角形全等時(shí)”，我們可以利用給的條件來(lái)證明三角形是否全等。反之，我們可以運(yùn)用三角形全等的條件來(lái)反例證明，更有利于學(xué)生對(duì)全等三角形概念的掌握。

三、運(yùn)用反例增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是為了更好的去解決實(shí)際生活中的問(wèn)題，適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用反例能刺激學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用。教師可以根據(jù)學(xué)生對(duì)反例運(yùn)動(dòng)的程度來(lái)判斷他們數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，從而進(jìn)行因材施教。對(duì)于數(shù)學(xué)落后的學(xué)生給予專(zhuān)門(mén)的訓(xùn)練。判斷學(xué)生數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)和前提是學(xué)生對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)是否能有效的運(yùn)用，是否能舉一反三，而不受到思維的定勢(shì)。反例的運(yùn)用主要有否定命題，有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們做題的切入點(diǎn)是將命題否定，從否定的方向來(lái)進(jìn)行知識(shí)的遷移。例如：我們?cè)趯W(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)，判斷一個(gè)式子是不是一元一次方程，我們首先要考慮的是，這個(gè)式子是否滿(mǎn)足一元一次方程的條件。這個(gè)時(shí)候教師來(lái)舉幾個(gè)反例，讓學(xué)生來(lái)判斷。通過(guò)這種反例，可以很好的了解到學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的鞏固情況，同時(shí)也能讓教師發(fā)現(xiàn)教師在課堂中的存在的不足。這樣的練習(xí)不僅有效的促進(jìn)學(xué)生對(duì)一元一次方程的認(rèn)識(shí)，更是一個(gè)很好的理解對(duì)知識(shí)消化的過(guò)程，也將為以后學(xué)方程做了一個(gè)很好的鋪墊。

四、數(shù)學(xué)反例促進(jìn)教師的專(zhuān)業(yè)技能及反例應(yīng)注意的問(wèn)題

數(shù)學(xué)反例對(duì)教師的幫助也是顯而易見(jiàn)的，一名成功的教師，最基本的是充分掌握專(zhuān)業(yè)知識(shí)，對(duì)自身的業(yè)務(wù)能力嚴(yán)格要求，不斷的探索、發(fā)現(xiàn)和分析問(wèn)題。教師最重要的是傳道授業(yè)解惑，教會(huì)學(xué)生基本概念，讓學(xué)生去解決問(wèn)題。教師在教的過(guò)程中也是一個(gè)很好的學(xué)習(xí)過(guò)程，不僅能夠重新理解知識(shí)，還能從交的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)一些問(wèn)題，更有利于教師的成長(zhǎng)。課堂上，教師能針對(duì)一個(gè)正面難解問(wèn)題，給出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)反例，這無(wú)疑是給自己增添了許多個(gè)人魅力。同時(shí)這也是一名教師正確充分駕馭課堂的表現(xiàn)。一名成功的數(shù)學(xué)教師，她有著良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，他專(zhuān)注于數(shù)學(xué)問(wèn)題中的每個(gè)細(xì)節(jié)，不斷地學(xué)習(xí)，不斷地積累經(jīng)驗(yàn)。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用反例應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（一）對(duì)反例的舉例不能盲目和毫無(wú)目的。這樣反例就沒(méi)有意義可言。反例要有針對(duì)性，針對(duì)課本中的教學(xué)內(nèi)容做出合理的教學(xué)設(shè)計(jì)。針對(duì)問(wèn)題的難易程度，知識(shí)的重點(diǎn)難點(diǎn)有計(jì)劃的運(yùn)用。

（二）運(yùn)用反例的時(shí)間，什么時(shí)候運(yùn)用反例，運(yùn)用反例的基礎(chǔ)是什么，這一點(diǎn)是教師在運(yùn)用反例教學(xué)之前應(yīng)思考的問(wèn)題。教學(xué)中運(yùn)用反例目的是達(dá)到畫(huà)龍點(diǎn)睛的效果。所以，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要認(rèn)清，反例的運(yùn)用是一種輔助手段，而不是唯一手段。

（三）運(yùn)用反例時(shí)師生要互動(dòng)。現(xiàn)代教育提倡以學(xué)生為主，教師為輔。教師的輔助作用主要體現(xiàn)在引導(dǎo)方面，有效的引導(dǎo)幫助學(xué)生自主求知。關(guān)于反例的運(yùn)用，好處多多，可以以另一種視角審視證明數(shù)學(xué)知識(shí)的正誤與否。但是那種單單只由教師來(lái)舉，學(xué)生來(lái)聽(tīng)的反例教學(xué)已經(jīng)不符合現(xiàn)代教育對(duì)學(xué)生自主能力培養(yǎng)的初衷，所以教師應(yīng)該在做輔助之后，將課堂讓給學(xué)生，讓學(xué)生在討論中來(lái)提出自己所舉出的反例。

（四）運(yùn)用反例時(shí)避免喧賓奪主。反例是作為證明所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)而出現(xiàn)的例證，但是在反例和正例的共同比對(duì)中，如果稍加不注意，學(xué)生就會(huì)將反例作為知識(shí)重點(diǎn)，強(qiáng)加記憶，這不利于今后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，可能造成錯(cuò)誤知識(shí)對(duì)正確知識(shí)的擠兌，繼而使反例存留在大腦中，很難被矯正。所以，在運(yùn)用反例教學(xué)時(shí)，教師要避免喧賓奪主。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用反例所取得的效果不可小覷。從某種程度來(lái)說(shuō)，反例教學(xué)在課堂上起著引導(dǎo)、調(diào)節(jié)的作用，教師對(duì)反例的有效應(yīng)用，直接影響著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解和對(duì)知識(shí)的掌握，同時(shí)，反例教學(xué)能夠有效的培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性、靈活性。所以，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)充分利用反例，將其植入在教學(xué)中，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的求知欲望，發(fā)展學(xué)生，提高課堂質(zhì)量。

［1］張愛(ài)國(guó)，淺談反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用［J］．湖南工程學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1996，（01）．

［2］陳爾彬．反例與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)［J］．課程教材教學(xué)研究：中教研究，2010（Z1）．

［3］人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室．全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（必修）［M］．北京:人民教育出版社．2004．

編輯∕高偉

仲崇猛（1975-），男，江蘇贛榆人，一級(jí)教師，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究。