正四面體的置換群

王慧蓉，董 炯

（長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011）

文章對正四多面體的置換群進行了計算,在正四面體自同構(gòu)群G 中，G=H∪x2H∪x3H∪x4H

其中H 是保持頂點1不變的對稱變換的集合，且正四面體置換群的階數(shù)為24.

1 預(yù)備知識

1.1 群論知識

定義1[1]設(shè)G 為群，H 是G 的一個非空子集，如果H 關(guān)于G 的運算也構(gòu)成群，則稱H 為G 的一個子群，記作H≤G.

定義2[1]設(shè)H 為群G 的一個子群，a∈G.其中叫做子群H 的一個左陪集.

定義3[2]設(shè)σ 為集合A 的一個一一變換，其中A 是一個含有n 個元素的集合，不妨記為A={1, 2, …，N }:

（1）則A 上的每個一一變換叫做一個n 元置換；

（2）A 上的全體n 元置換構(gòu)成的群叫做n 次對稱群，記為Sn；n 次對稱群Sn的階是n!；

（3）Sn的每個子群稱為置換群.

定義4[2]設(shè)M 是一個代數(shù)運算的集合（不必是群），則M 的全體自同構(gòu)關(guān)于變換的乘法做成一個群，稱為M 的自同構(gòu)群.

定理1[2]設(shè)H≤G，設(shè)a,b∈G，那么

（1）a∈Ha

（2）對于陪集Ha 和Hb 而言，只有二種關(guān)系：Ha=Hb 或Ha∩Hb=

1.2 正多面體的對稱性

1.2.1 正交變換

（1）正交變換的幾何意義：保持圖形形狀和大小不變的幾何變換，包含旋轉(zhuǎn)，平移，軸對稱及上述變換的復(fù)合.平面V3的正交變換或者是繞某一直線的旋轉(zhuǎn)，或者是關(guān)于某一平面的線的反射.或者是上述兩種變換的合成.

（2）如果平面上（或空間中）的正交變換將圖形變成與它自己重合的圖形，則把這個正交變換叫做圖形ι 的對稱變換.

（3）通過上述正交變換得定義我們可以定義圖形的對稱群：設(shè)ι 是n 維歐式空間的一個子集（即圖形），則將ι 映射成自身的正交變換的全體關(guān)于變換的乘法構(gòu)成一個群叫做圖形ι 的對稱群.

1.2.2 對稱軸和對稱面

（1）對稱軸是正多面體繞之旋轉(zhuǎn)θ（0＜θ＜2π）后與原來正多面體重合的旋轉(zhuǎn)軸.

（2）對稱面又稱鏡面，是物體或圖形中的一個假想平面，它可將物體或圖形等分為互成鏡像反映關(guān)系的兩個相同部分.對稱面是指正多面體對其做鏡面反射后能與原正多面體重合的鏡面.

1.2.3 正多面體的對偶性

對于一個正多面體來說，它的對偶體是連接正多面體所有面的中心構(gòu)成的新正多面體.由于對偶體之間共對稱軸和對稱面，故對偶多面體有相同的對稱群.

2 正四面體置換群的計算

由正多面體的對偶性可知，正四面體的對偶是正四面體.

正四面體圖形的結(jié)構(gòu)如圖1可知：正四面體有4個頂點，6條棱，4個面.其中1，2，3，4分別為正四面體的四個頂點；A，B，C分別為線段34、線段43、線段23的中點；O點為平面234的中心.

圖1 正四面體

為方便對正四面體對稱群的計算，我們需要先對保持頂點1不動的群H 進行討論，我們有如下引理：

引理1設(shè)G 是由正四面體中所有對稱變換構(gòu)成的群，H?G 是保持頂點1不變的對稱變換的集合，則H 是G 子群.

證明：由于正四面體中的每一個對稱變換都可用一個4元置換表示，其中（1）表示為保持正四面體不動的變換；（34）表示為關(guān)于平面12A 為對稱面的反射；（24）表示為關(guān)于平面12B 為對稱面的反射；（23）表示為關(guān)于平面14C 為對稱面的反射；（234）表示為以軸O1為旋轉(zhuǎn)軸，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°的一個旋轉(zhuǎn)；（243）表示為以軸O1為旋轉(zhuǎn)軸，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)240°的一個旋轉(zhuǎn).則.

下證H 為G 的子群：

（1）H 為G 的非空子集.

（3）對于?a∈H，由(2)可知ab-1∈H,因為a 與b-1均為保持頂點1不變的對稱變換，所以它們的乘積相當(dāng)于連續(xù)做兩次保持頂點1不變的對稱變換，則它們的乘積也屬于H.

由此可知H 為G 的子群,證畢.

利用這個引理我們可以對正四面體對稱群的元素及其階進行探討，我們有如下定理：

定理1 設(shè)G 是正四面體中所有對稱變換構(gòu)成的群，H 是保持頂點1不變的對稱變換的集合，則G 的階為24，且G=H∪x2H∪x3H∪x4H.

證明：由引理1得H 為G 的一個子群.固定x∈G 集xH= {xh|h∈H,x∈G }稱為H 在G 里的一個左陪集.由陪集的性質(zhì)可知H 在G 里的任意兩個左陪集或者不相交，或者相等；左陪集所含的元素個數(shù)都一樣，等于H 的階數(shù).這樣我們可以寫出G=H∪x2H∪x3H∪x4H.其中xi（i=1,2,3,4）表示G 中把頂點1變?yōu)轫旤ci 的對稱變換.

由此可知G=H∪x2H∪x3H∪x4H=S4

［1］唐高華.近世代數(shù)［M］.北京：清華大學(xué)出版社.2008.

［2］張遠(yuǎn)達(dá).有限群構(gòu)造［M］.北京：科學(xué)出版社.2008.

［3］長青.從“正四面體的對稱群”談起［J］.福清師專學(xué)報,1982，(01)：10-13.