接地導(dǎo)體圓筒內(nèi)帶電正六棱柱的電場(chǎng)及系統(tǒng)的電容

王福謙

（長(zhǎng)治學(xué)院 電子信息與物理系，山西 長(zhǎng)治 046011）

接地導(dǎo)體圓筒內(nèi)帶電正六棱柱的電場(chǎng)及系統(tǒng)的電容

王福謙

（長(zhǎng)治學(xué)院 電子信息與物理系，山西 長(zhǎng)治 046011）

利用數(shù)值保角變換，給出接地導(dǎo)體圓筒內(nèi)帶電正六棱柱體電場(chǎng)的分布規(guī)律，繪制出其橫截面上的電場(chǎng)線與等勢(shì)線圖，并計(jì)算該導(dǎo)體系統(tǒng)單位長(zhǎng)度的電容。

接地導(dǎo)體圓筒；帶電正六棱柱；數(shù)值保角變換；電場(chǎng)分布；電容

接地導(dǎo)體圓筒內(nèi)帶電圓柱的電場(chǎng)分布及系統(tǒng)電容的分析，常見于有關(guān)“電磁場(chǎng)與電磁波”教材中，但對(duì)于接地圓筒內(nèi)帶電正六棱柱的情形，其電場(chǎng)分布及單位長(zhǎng)度電容量的討論，相關(guān)文獻(xiàn)還未見涉及。由于該系統(tǒng)橫截面上的正六邊形和圓不屬于同一族正交坐標(biāo)系，因此嚴(yán)格地求解拉普拉斯方程十分困難，故其內(nèi)部的電場(chǎng)分布和電容量，一般不能用常規(guī)解析法直接求解。為此，文章擬利用數(shù)值保角變換，研究接地導(dǎo)體圓筒內(nèi)正六棱柱體電場(chǎng)的分布規(guī)律，繪制出其橫截面上的電場(chǎng)線與等勢(shì)線圖，并給出精度較高的該導(dǎo)體系統(tǒng)單位長(zhǎng)度電容的計(jì)算公式。

1 內(nèi)六棱柱-外圓筒橫截面的變換

將z平面上邊長(zhǎng)為a正六邊形的外部變換為w平面上單位圓的外部的變換函數(shù)為：[1]

圖1為接地圓筒內(nèi)帶電正六棱柱系統(tǒng)的橫截面，其內(nèi)、外均為金屬導(dǎo)體。邊長(zhǎng)和半徑分別為a和b，則由式（1）可實(shí)現(xiàn)該導(dǎo)體系統(tǒng)橫截面的變換。內(nèi)正六邊形變換為單位圓，外圓變換為位于之間的具有與正六邊形相同對(duì)稱性的閉合曲線[見圖2中的閉合曲線，該曲線由式（1）通過MATLAB軟件繪制]，而r1、r2及其幾何平均半徑的數(shù)值如下：[1]

經(jīng)上述數(shù)值保角變換后，z平面上的邊長(zhǎng)a為的正六邊形和半徑為b的圓，就映射為w平面上的單位圓和位于半徑分別r1、r2之間的具有與正六邊形相同對(duì)稱性的閉合曲線。由于在w平面上該系統(tǒng)的內(nèi)導(dǎo)體的橫截面的形狀為圓，外導(dǎo)體可近似看作半徑為的圓（見圖2），其內(nèi)部電場(chǎng)在該截面上的分布近似呈軸對(duì)稱性，故在w平面上可近似地按同軸帶電圓柱體的情形來討論電場(chǎng)的分布規(guī)律。再根據(jù)變換關(guān)系變換到z平面，最終得到接地圓筒內(nèi)帶電正六棱柱的電場(chǎng)分布，并根據(jù)變換結(jié)論計(jì)算出該導(dǎo)體系統(tǒng)單位長(zhǎng)度的電容量。

2 內(nèi)帶電正六棱柱-外接地圓筒系統(tǒng)的電場(chǎng)分布

設(shè)內(nèi)正六棱柱-外接地圓筒系統(tǒng)內(nèi)、外導(dǎo)體之間的電壓為V0，由于保角變換并不能改變內(nèi)、外兩導(dǎo)體之間的電壓，故變換后的近似同軸圓柱系統(tǒng)（內(nèi)半徑為1，外半徑近似為）內(nèi)、外兩導(dǎo)體間的電壓仍為V0。

圖1 變換前的內(nèi)正六棱柱-外圓筒系統(tǒng)的橫截面

對(duì)帶電同軸圓柱系統(tǒng)，其中的電場(chǎng)分布是徑向的[2]375-381，大小與半徑成反比。即：

式中er為同軸圓柱系統(tǒng)橫截面上的徑向單位矢，A為與電場(chǎng)幅值有關(guān)的常數(shù)。而

圖2 變換后前的內(nèi)正六棱柱-外圓筒系統(tǒng)的橫截面

則

在變換后的w平面上，內(nèi)正六棱柱-外接地圓筒系統(tǒng)的橫截面映射為同心圓，故內(nèi)正六棱柱-外接地圓筒系統(tǒng)內(nèi)的電勢(shì)分布為：

將式(1)代入上式，即得內(nèi)正六棱柱-外接地圓筒系統(tǒng)內(nèi)的電勢(shì)分布為：

式（5）即為內(nèi)帶電正六棱柱-外接地圓筒系統(tǒng)內(nèi)的電勢(shì)分布表達(dá)式，其中

內(nèi)帶電正六棱柱-外接地圓筒系統(tǒng)內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)分布的表達(dá)式，可進(jìn)一步通過電勢(shì)與場(chǎng)強(qiáng)的微分關(guān)系E=-?φ求得。

圖3 內(nèi)帶電正六棱柱-外接地圓筒系統(tǒng)橫截面上的電場(chǎng)線與等勢(shì)線（面）圖（a=2cm，b=4cm）

圖4 內(nèi)帶電正六棱柱-外接地圓筒系統(tǒng)橫截面上的電場(chǎng)線與等勢(shì)線（面）圖（a=4cm，b=6cm）

圖3和圖4為利用MATLAB軟件所繪制出的內(nèi)帶電正六棱柱-外接地圓筒系統(tǒng)的電場(chǎng)線與等勢(shì)線（面）圖。從該圖可以看出，電場(chǎng)在帶電系統(tǒng)橫截面上呈對(duì)稱分布，作出的圖與預(yù)期結(jié)果（電場(chǎng)線與等勢(shì)線及導(dǎo)體表面均垂直）相符。

3 內(nèi)正六棱柱-外接地圓筒系統(tǒng)單位長(zhǎng)度的電容

經(jīng)變換式（1）和（4），內(nèi)正六棱柱-外圓筒的橫截面已映射為半徑分別為1和兩近似同心圓。由于映射前后傳輸線單位長(zhǎng)度的電容量保持不變，這樣就可由內(nèi)、外半徑分別為1和同軸圓柱的電容值，通過公式方便地求出此系統(tǒng)電容的近似值。據(jù)此，內(nèi)正六棱柱-外圓筒單位長(zhǎng)度電容的計(jì)算公式如下：

其中ε為內(nèi)正六棱柱外接地圓筒填充介質(zhì)的介電常數(shù)，當(dāng)其內(nèi)部為空氣時(shí)，介質(zhì)的電磁參量取ε0。

需要說明的是，由于電荷的角效應(yīng)，內(nèi)導(dǎo)體棱角處電荷密度大，而每邊中點(diǎn)處的電荷密度小。對(duì)變換后的圖2而言，內(nèi)圓柱導(dǎo)體與無電荷角效應(yīng)的外切圓弧之間的電容，要比其與內(nèi)切圓弧之間的電容要大。所以，對(duì)于用內(nèi)切圓和外切圓的邊界尺寸取幾何平均來“逼近”變換后的多邊形外導(dǎo)體邊界。由于交替出現(xiàn)了電容增大和電容減小的情況，故對(duì)計(jì)算總平均電容來說，電荷角效應(yīng)的影響很小。因此，由式（6）計(jì)算出的內(nèi)正六棱柱外圓筒電容的近似值，具有較高的精確度。表1中分別列出了相應(yīng)計(jì)算方法與多極理論及矩量法所得的結(jié)果（介質(zhì)為空氣）。通過比較可以看出，文章的計(jì)算結(jié)果與由多極理論的計(jì)算結(jié)果相當(dāng)接近，相對(duì)誤差的最大值為7‰，最小值為2.7‰，平均相對(duì)誤差為3.9‰。表1中的計(jì)算結(jié)果也與文獻(xiàn)[3-6]給出的數(shù)據(jù)幾乎一致，相對(duì)差值均在2‰以內(nèi)。由此也可佐證本文所給出的研究方法的正確性，文獻(xiàn)[7]所給出的矩量法的計(jì)算結(jié)果稍有誤差。

式（6）為內(nèi)正六棱柱-外圓筒電容量的解析計(jì)算式。通過保角變換法計(jì)算復(fù)雜截面?zhèn)鬏斁€的特性阻抗，公式推導(dǎo)過程簡(jiǎn)單，物理意義明確，精確度很高，可方便地計(jì)算任意尺寸的內(nèi)正六棱柱-外圓筒的電容量。復(fù)雜截面系統(tǒng)的電容量也可用多極理論或矩量法計(jì)算，但多極理論準(zhǔn)解析計(jì)算規(guī)則需要針對(duì)不同情形確定不同的內(nèi)極、外極和極的次數(shù)等，原理相對(duì)復(fù)雜。而矩量法需對(duì)計(jì)算區(qū)域進(jìn)行離散化處理，離散網(wǎng)格尺寸大小是求解精確性的關(guān)鍵。一般而言，網(wǎng)格越小越精確，但由于減小網(wǎng)格尺寸勢(shì)必造成未知量數(shù)目的增加，使得存儲(chǔ)量和計(jì)算量大幅增加，因此矩量法計(jì)算復(fù)雜截面系統(tǒng)電容量的精度受計(jì)算機(jī)內(nèi)存的限制，此即文獻(xiàn)[7]所給出的用矩量法計(jì)算內(nèi)正六棱柱-外圓筒電容的數(shù)值，與其他方法相比較稍有偏差的原因。

表1 內(nèi)正六棱柱外接地圓筒的電容量C0(×10-11F)（R為外導(dǎo)體半徑，r為內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)接圓的半徑,填充介質(zhì) ε=ε0、u=u0）

4 結(jié)束語

文章采用數(shù)值保角變換法對(duì)帶電內(nèi)正六棱柱外接地圓筒進(jìn)行了研究，給出了該帶電系統(tǒng)內(nèi)電場(chǎng)的近似解析解，為不屬于同一族正交坐標(biāo)系的帶電系統(tǒng)的電場(chǎng)分布的研究提供了一種思路和方法。這種方法物理意義明確、計(jì)算簡(jiǎn)單，所得結(jié)論對(duì)于研究?jī)?nèi)正六邊形-外圓傳輸線內(nèi)TEM波場(chǎng)結(jié)構(gòu)及其特性阻抗的計(jì)算，亦具有一定的參考價(jià)值和理論意義。

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Wang Fu-qian

（Department of Electronic Information and Physics,Changzhi University,Changzhi,Shanxi 046011）

The electric field distribution of a charged regular hexagonal prism in the grounding conductor cylinder is proposed by using numerical conformal mapping,and field pattern on its cross section is plotted,furthermore，its capacitance of per unit length is calculated.

grounding conductor cylinde;a charged regular hexagonal prism;numerical conformal mapping;electric field distribution;capacitance

O457

A

1673-2015（2015）02-0008-04

（責(zé)任編輯 郝瑞宇）

山西省自然科學(xué)基金（2012011028-1）；山西省高等學(xué)校科技研究開發(fā)自選項(xiàng)目（20121116）。

2014—10—03

王福謙（1957—）男，山西臨猗人，教授，主要從事電磁場(chǎng)理論及場(chǎng)結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬研究。