反例在可測(cè)函數(shù)中的應(yīng)用

張安玲

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

反例在可測(cè)函數(shù)中的應(yīng)用

張安玲

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

可測(cè)函數(shù)中的概念、定理很多，而且各個(gè)概念、定理之間的關(guān)系非常緊密、復(fù)雜，使得學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容變得更加抽象，難以理解透徹。通過(guò)構(gòu)造和引入反例，可以深入淺出，有效準(zhǔn)確地理解可測(cè)函數(shù)中的一些概念之間的關(guān)系，更加重視定理的條件和結(jié)論，能夠進(jìn)一步深入理解和掌握所學(xué)知識(shí)點(diǎn)。

反例；可測(cè)函數(shù)；收斂

在數(shù)學(xué)分析課程中，所研究的函數(shù)基本上是連續(xù)函數(shù)，許多情形還要求是可導(dǎo)的.實(shí)變函數(shù)論所研究的是可測(cè)函數(shù)，可測(cè)函數(shù)是從測(cè)度的觀點(diǎn)來(lái)研究函數(shù)[1]，它包含很多不連續(xù)的函數(shù)，可測(cè)函數(shù)比連續(xù)函數(shù)寬泛的多.

反例是數(shù)學(xué)中一種重要的思維方式，它是用來(lái)說(shuō)明某個(gè)命題不成立的例子.恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用反例可以換一個(gè)角度抓住概念的本質(zhì)，從而更好的理解知識(shí)[2].

理解可測(cè)函數(shù)對(duì)于全面掌握實(shí)變函數(shù)是至關(guān)重要的.而可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)之間的關(guān)系，葉果洛夫定理、魯津定理、勒貝格定理的條件與結(jié)論，處處收斂、幾乎處處收斂、一致收斂、依測(cè)度收斂之間的關(guān)系等都是可測(cè)函數(shù)這部分內(nèi)容的重點(diǎn)，它們之間的關(guān)系非常復(fù)雜.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，用恰當(dāng)?shù)姆蠢梢杂行У恼f(shuō)明這幾種收斂之間的關(guān)系.另外，反例也可用來(lái)強(qiáng)調(diào)使用定理的條件.因此利用反例不僅可以進(jìn)一步糾正某些錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，也能引起對(duì)條件和結(jié)論的重視.

1 可測(cè)函數(shù)

1.1 非可測(cè)的函數(shù)

定義[1]設(shè)f(x)是定義在可測(cè)集E?Rn的實(shí)函數(shù).如果對(duì)于任何有限實(shí)數(shù)a，E[f＞a]都是可測(cè)集，則稱(chēng)f(x)為定義在E上的可測(cè)函數(shù).

我們知道，許多函數(shù)都是可測(cè)函數(shù)，可測(cè)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的推廣，但是，并不是所有的函數(shù)都是可測(cè)函數(shù).

例 取Rn中的一個(gè)不可測(cè)集E，則E的特征函數(shù)為Rn上的不可測(cè)函數(shù)。

注：上例中的特征函數(shù)XE(x)并不是一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，因?yàn)镋是不可測(cè)集.從而不能按照簡(jiǎn)單函數(shù)是可測(cè)函數(shù)的方法判斷該函數(shù)可測(cè).

（2）可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系

我們知道，定義在可測(cè)集E?Rn的連續(xù)函數(shù)都是可測(cè)函數(shù)，反之成立嗎？通過(guò)引入反例來(lái)說(shuō)明.

例 著名的Dirichlet函數(shù)[3]，

分析：對(duì)任意有限實(shí)數(shù)a，

故Dx是可測(cè)函數(shù).但是Dirichlet函數(shù)是典型的不連續(xù)函數(shù).從而得到可測(cè)函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù).

還有在[0,1)上的黎曼函數(shù)，

它也是一個(gè)典型的可測(cè)非連續(xù)函數(shù).

（3）絕對(duì)值可測(cè)與函數(shù)可測(cè)的關(guān)系

若f(x)是可測(cè)，則|f(x)|也可測(cè)；但反之若|f(x)|可測(cè)，f(x)不一定可測(cè).

例 設(shè)E為[0,1]上的可測(cè)集，令

顯然|f(x)|=x，而|f(x)|在[0,1]上是連續(xù)函數(shù)，故|f (x)|在[0,1]上勒貝格可測(cè)，但f(x)在[0,1]上非可測(cè).

所以f(x)在[0，1]上不可測(cè).

（4）可測(cè)函數(shù)的運(yùn)算

若f(x)，g(x)在E上可測(cè)，則f(x)+g(x)，f(x)g(x)均在E上可測(cè).但反之不真.

例在Rn中取不可測(cè)集E，令

f(x)+g(x)=0,f(x)g(x)=-1,x∈Rn.顯然f(x)+g(x),f(x)g(x)都是R上的連續(xù)函數(shù)，所以可測(cè).而f(x)，g(x),均為Rn上的不可測(cè)函數(shù).

（5）對(duì)任意實(shí)數(shù)a，集合E f=a[ ]恒可測(cè)，但f(x)不一定可測(cè).

若f(x)在E上是可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，集合E f=a[ ]都是可測(cè)集，但反之不真。即對(duì)任意實(shí)數(shù)a，集合E f=a[ ]恒可測(cè)，但f(x)不一定可測(cè)。

例 在(0,+∞)中取不可測(cè)集A，在R1上定義

則?x∈R1，集合R1[f=a]至多包含兩點(diǎn)，從而為有限集，所以是可測(cè)集.但因?yàn)榧蟁1[f＞0]I(0,+∞)不可測(cè)，所以f(x)為不可測(cè)函數(shù).

（6）連續(xù)函數(shù)與可測(cè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)未必可測(cè)

若f(x)是R1上的可測(cè)函數(shù)，g(x)為R1上的連續(xù)函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)g(f(x))是可測(cè)函數(shù).但是，復(fù)合函數(shù)f(g(x))未必是可測(cè)函數(shù)，從而兩個(gè)可測(cè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)不一定是可測(cè)函數(shù)[4].

例 設(shè)φ為[0,1]上的Cantor函數(shù)，其中φ的定義如下[4]：

于是φ在[0,1]中的Cantor余集上有了定義，它在這上面是單調(diào)不減的.

在Cantor集上給φ補(bǔ)充定義，先令 φ(0)=0，對(duì)于其他x∈C，其中C為Cantor集，令

φ在[0,1]上單調(diào)不減，并且它在[0,1]上連續(xù).

則h(x):[0,1]→[0,1]為嚴(yán)格遞增的連續(xù)函數(shù)，取W?h (C)為不可測(cè)集，則M=h-1(W)?C可測(cè)，使h(M)=W不可測(cè).令g(x)=h-1(x)，從而M=g(W)可測(cè)，則g(x)連續(xù)且嚴(yán)格遞增.令f(x)為M的特征函數(shù)，則f(x)為可測(cè)函數(shù).記E=[0,1]，則由不可測(cè)，知f(g(x))為不可測(cè)函數(shù).

2 葉果洛夫定理

（1）葉果洛夫定理中，m(E)＜∞的條件不可少

該定理表明，凡是滿(mǎn)足定理假設(shè)的幾乎處處收斂的可測(cè)函數(shù)列，即使不一致收斂，也是“基本上”一致收斂的.

注：此定理中，m(E)＜∞的條件不可少.

例 取E=(0,+∞)，則m(E)=∞.作E上的函數(shù)列：

（2）葉果洛夫定理的結(jié)論不能加強(qiáng)為m(EEδ)=0

葉果洛夫定理中，對(duì)任意δ＞0，存在子集Eδ?E，使｝在Eδ上一致收斂，且m(EEδ)＜δ。其中m (EEδ)＜δ不能改為m(EEδ)=0.

例 設(shè)E=(0,1)，在E上定義

3 幾乎處處收斂但不依測(cè)度收斂的可測(cè)函數(shù)列

定理（勒貝格Lebesgue）設(shè)

（1）mE＜∞；

該定理表明，在mE＜∞這個(gè)條件下，幾乎處處收斂的幾乎處處有限可測(cè)函數(shù)列是依測(cè)度收斂的.當(dāng)mE=∞時(shí)，這種蘊(yùn)含關(guān)系就不成立.

例取E=(0,+∞］，則mE=∞.作E上的函數(shù)列：

4 結(jié)論

通過(guò)引入反例，可測(cè)函數(shù)中諸多復(fù)雜關(guān)系得以明晰化，幾種收斂的互相蘊(yùn)含關(guān)系更明朗化，對(duì)葉果洛夫定理、勒貝格定理的條件和結(jié)論加深了印象.恰當(dāng)引用反例，對(duì)理解可測(cè)函數(shù)這部分內(nèi)容起到了事半功倍的效果.

［1］程其襄,張奠宙,魏國(guó)強(qiáng),等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版,2010.

［2］劉京鑫.反例在實(shí)變函數(shù)中的運(yùn)用［J］.高等數(shù)學(xué)研究,2009,12(4):117-121.

［3］李景廉.函數(shù)在實(shí)變函數(shù)中的應(yīng)用［J］.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),1999,17(3):67-70.

［4］程慶,馮遠(yuǎn)征.實(shí)變函數(shù)中的反例［M］.鄭州:河南大學(xué)出版社,1989.

Zhang An-ling

（Department of Mathematics,Changzhi University,Changzhi Shanxi 046011）

There are a lot of concepts,theorems in measurable function,and the relationship between each concept,theorem is very close and complex.So this section becomes more abstract and difficult to understand.By constructing and introducing counterexamples,the relations between some concepts in the measurable function can be easily understood,and the conditions and conclusion of theorem are more valued.As a result,the learned knowledge can be further mastered.

counterexample;measurable function;convergence

O174.1

A

1673-2015（2015）02-0060-03

（責(zé)任編輯 趙巨濤）

山西省高等學(xué)?？萍柬?xiàng)目(2013158)。

2014—11—06

張安玲（1980—）女，山西長(zhǎng)子人，講師，碩士，主要從事最優(yōu)化理論與方法，智能優(yōu)化算法方向研究。