一般邊界條件下矩形薄板振動聲輻射特性分析

朱理，范鑫，龐福振，繆旭弘

（1.哈爾濱工程大學船舶工程學院，哈爾濱150001；2.海軍裝備采購中心，北京100071；3.大連理工大學運載工程與力學學部，遼寧大連116024；4.中國人民解放軍92857部隊，北京100007）

一般邊界條件下矩形薄板振動聲輻射特性分析

朱理1，2，范鑫3，龐福振1，4，繆旭弘4

（1.哈爾濱工程大學船舶工程學院，哈爾濱150001；2.海軍裝備采購中心，北京100071；3.大連理工大學運載工程與力學學部，遼寧大連116024；4.中國人民解放軍92857部隊，北京100007）

基于改進傅立葉級數(shù)方法，將矩形板振型函數(shù)表示為包含正弦三角級數(shù)的改進傅立葉級數(shù)，從而有效地克服結構在邊界處存在的不連續(xù)性，建立了一般邊界條件下矩形薄板結構振動聲輻射的分析方法，并對薄板結構的振動聲輻射特性進行了研究。文中還建立了薄板結構的位移容許函數(shù)，然后基于最小勢能原理求解了系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)，最后利用Rayleigh-Ritz法對方程求解從而獲得薄板自由振動的模態(tài)信息；在此基礎上，基于Rayleigh積分公式推導出了薄板振動、輻射聲壓和聲功率的表達式，研究了結構特性參數(shù)及邊界條件對薄板振動聲輻射的影響，通過有限元軟件和參考文獻的比對分析，驗證了改進方法的正確性和有效性。

改進傅立葉級數(shù)；矩形薄板；振動；聲輻射；容許函數(shù)

0 引言

板結構作為常見的基本結構單元，在船舶、航天等國防工業(yè)中具有廣泛的應用，其動力學性能一直是研究的熱點。

關于矩形薄板結構振動聲輻射研究，目前已有大量研究成果，并形成了較為系統(tǒng)的分析方法。對于矩形薄板的動力學問題而言，歸根結底就是對其控制方程和邊界條件所構成的方程進行求解[1]，目前常見的分析方法有冪級數(shù)法[2]、有限板條法[3]、能量法[4]、離散奇異卷積法[5]、微分求積法[6]和Green函數(shù)法[7]。但上述研究多采用了理想邊界條件[8-11]，如固支、簡支、自由等典型邊界條件形式進行分析的，而在實際結構工程中，結構的邊界條件通常較為復雜，可能是上述典型邊界條件的組合，因此，開展一般邊界條件下矩形薄板結構的振動聲輻射研究具有重要的現(xiàn)實意義。且現(xiàn)有文獻在對矩形薄板振動聲輻射的研究也大都集中于經典邊界的情形[12-15]。當矩形薄板結構的邊界為彈性情形時其聲輻射計算要復雜得多，雖然人們在研究探索中提出了很多新的求解方法，如：Ritz法、Galerkin法、級數(shù)法和有限元法等，但是上述方法均存在各自的缺陷，如有限元法在解決結構高頻振動時會出現(xiàn)較大誤差，且結構形式或邊界條件等改變時需要重新建模計算，耗時耗力。

針對現(xiàn)有研究存在的不足，本文基于改進傅立葉級數(shù)方法，建立了一般邊界條件下矩形薄板結構的振動聲輻射分析的統(tǒng)一模型，提出了一般邊界條件下矩形薄板結構振動聲輻射的快速分析方法。本文首先基于改進傅立葉級數(shù)方法建立了薄板結構橫向位移容許函數(shù)，同時對系統(tǒng)進行能量描述；針對Lagrange函數(shù)中未知的傅立葉系數(shù)求極值得到結構振動的標準特征值方程，通過簡單的數(shù)學求解得到結構的動力學特性；在此基礎上，推導了矩形薄板空中輻射聲壓和聲功率表達式，研究了在不同結構參數(shù)與邊界條件下結構的振動聲輻射特性；最后通過大量數(shù)值算例對所提方法進行驗證，說明本文方法的正確性、合理性及有效性。

1 矩形薄板彎曲振動理論

1.1 薄板結構物理模型

本文所研究模型為一長為a，寬為b，厚為h的矩形薄板，如圖1所示。板的一般邊界條件可采用沿各邊均勻分布的線性位移（kil，i取值為x、y，l的取值為0、a、b，在后面不再進行描述）和旋轉約束彈簧（kil）來模擬。事實上，經典邊界可以通過將kil和Kil設置為0或∞來模擬，例如：當將兩類約束彈簧剛度值設置為∞時，則為固支邊界條件；而為彈性邊界時，其值可取為兩極限值之間的任意值。對于邊界上的線位移和旋轉約束彈簧剛度的單位分別為N/m和N·m/rad。

圖1 任意彈性邊界下的薄板結構示意圖Fig.1 Schematic of thin plate with arbitrary boundary conditions

1.2 結構控制方程的建立

由結構力學可知，法向載荷q（x，y，t）作用下薄板運動微分方程可表示為：

矩形薄板自由振動時，q（x，y，t）=0，則（1）式可簡化為：

1.3 位移容許函數(shù)

在本文方法中，構造合適的位移容許函數(shù)對研究結果具有重要影響。為克服傳統(tǒng)傅立葉級數(shù)在邊界處的不連續(xù)性，一種改進的傅立葉級數(shù)表達被提了出來，并且被應用到一般彈性邊界下正交各向異性矩形薄板[16]的彎曲自由振動和環(huán)扇形板[17]的面內振動分析中；本文進一步將該方法擴展到矩形薄板結構的振動與聲輻射特性分析中去。

對于一般邊界條件下矩形薄板結構，采用本文方法其振型函數(shù)可表示為：

簡諧時間因子eiωt的引入是為了表述薄板在不同時刻的位移函數(shù)。從上式可以看出，在求解域內，位移函數(shù)除了二維傅立葉余弦級數(shù)外還包含三項輔助傅立葉級數(shù)形式，這是由于矩形薄板的振動控制微分方程是四階偏微分方程，因此要求它的位移容許函數(shù)要在整個求解域內三階導數(shù)連續(xù)而且四階導數(shù)在各點均存在。通過在傳統(tǒng)傅立葉級數(shù)方法的基礎上引入三項輔助傅立葉級數(shù)的方法使得現(xiàn)有的位移容許函數(shù)三階導數(shù)在整個求解域內是連續(xù)的并且四階導數(shù)在各點均存在，這就可有效地克服邊界處可能存在的不連續(xù)性。

1.4 結構能量泛函的建立

通過對位移函數(shù)逐次求導就可以得到速度、加速度等參數(shù)，因此，整個求解過程的主要任務就是求解未知的傅立葉展開系數(shù)。在求解未知傅立葉系數(shù)時，首先對結構的能量進行描述，其具體過程如下：

矩形薄板的彎曲應變能：

儲存在邊界的彈簧勢能可以表示為：

相應地，一般彈性邊界條件下，將彈簧考慮為無質量質點，結構的整體動能為：

外載荷所做的功可以表示為：

于是，系統(tǒng)的Lagrange能量泛函可以表示為：

1.5 振動響應的求解

將（4）-（7）式代入（8）式，并對未知傅立葉展開系數(shù)求極值：

從而可將結構的振動問題轉成了一個求解特征值方程的簡單數(shù)學問題，具體表示成以下形式：

式中：［K］=［Ks］+［Kp］，［Ks］是彈簧勢能剛度矩陣，［Kp］是結構應變勢能剛度矩陣，［M］是結構的質量矩陣。A和F分別為相同維數(shù)的未知Fourier系數(shù)和外載荷向量。當｛F｝=｛0｝時，結構就退化為自由振動特征值方程：

當｛F｝≠｛0｝時，即任意圓頻率ω激勵下，結構受迫振動時的未知傅立葉系數(shù)向量可表示為：

通過將上式代入（3）式，即可得到薄板結構的受迫振動響應。

1.6 結構的聲輻射

在求得薄板位移響應表達式后，聲場中任意一點的聲壓可以通過Rayleigh積分求得：

式中：X為場點，Y為源點，ω為激勵圓頻率，ρ0為空氣密度，c為空氣中的聲速，代表場點與源點間的距離。

為便于計算，將結構劃分為N個有限單元，這樣被離散后的結構中每個小單元都可以視為一個獨立向外輻射噪聲的點聲源。這樣（13）式可表示為：

式中：vn（Y）可以通過對位移函數(shù)wp（x，y，t）求導得到，ΔS為單元面積。

同理，借助于聲強和聲功率的表達式可以推導出矩形板的總輻射聲功率；且當結構輻射表面與觀測點所在表面重合時，可以表示成如下形式：

采用上述方法將板結構離散后，上式變?yōu)椋?/p>

各離散單元中心點速度v可以表示成列向量的形式，即v=（v1，v2，v3，…，vN）T，這樣輻射功率Wp可以簡化為：

其中：Z為阻抗矩陣，其具體表達式如下所示，H表示共軛轉置。

最終，矩形板輻射聲功率級為：

2 數(shù)值計算與分析

2.1 方法的收斂性分析

因本方法在計算過程中，位移展開截斷值M、N對結果具有重要影響，為此，本節(jié)首先對改進傅立葉級數(shù)方法的收斂性進行驗證。

以四邊固支（即C-C-C-C支撐方式）矩形薄板的自由振動為例，本節(jié)研究了截斷值對無量綱固有頻率的影響，計算如表1所示，其中Ω=ωa2（ρh/D）1/2。不難發(fā)現(xiàn)，當M=N=10時，其頻率參數(shù)基本不發(fā)生變化，因此可以認為在此截斷值下，改進傅立葉級數(shù)方法已收斂在后續(xù)數(shù)值計算中截斷值M、N可取為10。從表中亦可看出，隨著截斷數(shù)的增大，薄板固有頻率的計算結果趨于一致，從而證明了本文方法的數(shù)值穩(wěn)定性。

表1 不同的截斷值M、N下C-C-C-C板結構無量綱頻率參數(shù)ΩTab.1 Non-dimensional frequency Ω of plate with different M and N under C-C-C-C BCS

2.2 結構動力學特性分析

為了證明本方法的正確性以及對于一般邊界條件的適用性，本小節(jié)對矩形薄板結構在任意邊界條件下的自由振動特性進行了分析。本節(jié)選取了四種經典邊界條件，即C-C-C-C、C-F-F-F、S-S-F-F和C-S-S-F，將薄板在這些條件下計算所得的無量綱頻率參數(shù)Ω與有限元仿真和文獻[18]計算結果進行對比，如表2至表5所示。同時，本文還列出了在C-C-C-C邊界和長寬比r=2時本文方法與有限元方法計算所得的前6階固有模態(tài)振型。通過圖表數(shù)據對比可知，本文方法計算所得計算結果與現(xiàn)有文獻解及有限元仿真結果吻合得很好，從而驗證了本文方法的正確性，并且可以看出該方法具有較高的計算精度。

表2 不同的長寬比C-C-C-C板結構無量綱頻率參數(shù)ΩTab.2 Non-dimensional frequency Ω of plate with different length/breadth ration with C-C-C-C BCS

續(xù)表2

表3 不同的長寬比下C-F-F-F板結構無量綱頻率參數(shù)ΩTab.3 Non-dimensional frequency Ω of plate with different length/breadth ration with C-F-F-F BCS

表4 不同的長寬比下S-S-F-F板結構無量綱頻率參數(shù)ΩTab.4 Non-dimensional frequency Ω of plate with different length/breadth ration with S-S-F-F BCS

續(xù)表4

表5 不同的長寬比下C-S-S-F板結構無量綱頻率參數(shù)ΩTab.5 Non-dimensional frequency Ω of plate with different length/breadth ration with C-S-S-F BCS

圖2 在C-C-C-C邊界下r=2時本文方法計算所得前6階固有模態(tài)振型Fig.2 The first 6 modes of plate under C-C-C-C BCS when r=2 with proposed method

圖3 在C-C-C-C邊界下r=2時有限元計算所得前6階固有模態(tài)振型Fig.3 The first 6 modes of plate under C-C-C-C BCS when r=2 with FEM

表6 S-S-S-S邊界下方板在不同的旋轉彈簧剛度下前6階無量綱頻率參數(shù)ΩTab.6 The first 6 Non-dimensional frequency Ω of plate with different rotating stiffness with S-S-S-S BCS

在此基礎上，本文研究了一般彈性邊界條件下結構的自由振動特性。表6給出了四邊簡支條件下同時改變四邊旋轉彈簧剛度值時的前6階無量綱固有頻率參數(shù)，為便于對比驗證，表6同時列出了部分有限元仿真結果作為參照。從表中可以看出，本文方法計算結果與有限元仿真結果吻合得很好，這就驗證了本文方法對于彈性邊界的適用性。從表中還可以看出，彈性邊界下的剛度值的變化對于結構的振動特性影響較大，當K的值在1×104～1×108N·m/rad區(qū)間時，結構固有頻率發(fā)生劇烈變化，當K低于104N·m/rad或大于108N·m/rad時平板結構固有頻率變化較小，此時結構已經退化為經典邊界條件。

圖4給出了C-C-C-F邊界下逐漸改變F邊的線性彈簧剛度k和旋轉彈簧剛度K時平板結構第1階固有頻率的變化圖。可以看出，當k保持不變而K在逐漸增加時，系統(tǒng)固有頻率的曲率變化相對較??；而當K保持不變而k在逐漸增加時，圖形的曲率卻變化很大，由此可以斷定橫向約束彈簧對結構固有頻率的影響比旋轉彈簧大。

圖4 C-C-C-F下k和K影響程度比較Fig.4 Influence of k and K with C-C-C-F BCS

2.3 平板結構振動聲輻射特性研究

由于平板結構聲輻射的關鍵在于求解給定激勵下平板的速度響應，因此，對本文方法的驗證最終可歸結為平板結構給定激勵載荷下的振動速度響應的驗證上。為此，本文首先對平板結構的受迫振動響應進行分析，并通過與有限元對比驗證本文方法的正確性，在此基礎上，通過Rayleigh積分對平板結構在空氣中的振動聲輻射進行了求解，分別從邊界條件、結構尺寸、板厚以及激勵點位置四個方面對平板結構聲輻射特性進行研究。

2.3.1 平板結構受迫振動響應分析

本節(jié)對矩形薄板結構的受迫振動速度響應進行研究。為便于分析，薄板基本參數(shù)設置如下：a=1 m，b=1 m，h=0.01 m，楊氏模量E=2.07×1011Pa，質量密度ρ=7 800 kg/m3，泊松比μ=0.3，空氣中的聲速c=323 m/s，空氣密度ρ0=1.225 kg/m3，激勵幅值為100 N，計算頻率為2 Hz～1 kHz，掃頻間隔為△f=2 Hz。

圖5（a）和5（b）分別是在四邊固支和四邊簡支且激勵點為板中心的情況下，分別利用本方法和有限元軟件計算所得的中心點和（0.2，0.3）點處的速度響應級對比圖。由圖可知，本文方法求解得到的速度響應與有限元軟件計算結果吻合得很好，只是在兩個共振的峰值點上出現(xiàn)了部分的差異，這是由于不同方法對于同一結構共振峰的測定有一定的差異。因而，可以斷定：本文方法在對結構聲輻射方面的計算結果是正確可靠的。

圖5 平板振動速度響應對比圖Fig.5 Vibration velocity of plate with different BCS

2.3.2 平板結構聲輻射研究

下面將分別從邊界條件、結構尺寸、板厚以及激勵點位置四個方面因素對薄板結構振動聲輻射的影響進行研究。

（1）邊界條件對結構聲輻射的影響

圖6給出了C-C-C-C﹑C-F-F-C和C-S-S-F三種不同邊界條件下平板結構輻射聲壓級與聲功率級比較圖，其中聲壓級監(jiān)測點位于平板中心上方0.1 m處的位置。

圖6 典型界條件下結構聲壓與聲功率對比Fig.6 Comparison of sound pressure and power of plate with different BCS

由圖6可以看出，一方面，在共振頻率處，不論是平板的輻射聲壓還是輻射聲功率均呈現(xiàn)出了峰值，這說明無論邊界條件如何變化，只要激勵頻率與結構固有頻率相等，均會有共振的情形出現(xiàn)；另一方面，對比不同邊界條件下平板輻射聲壓級與輻射聲功率級曲線可以看出，C-C-C-C邊界條件時平板結構聲輻射共振峰最少，C-F-F-C邊界條件次之，C-S-S-F邊界條件時最為密集，由此可見，隨著結構邊界約束條件的減弱，結構聲壓級與輻射聲功率級共振峰也更為密集，輻射能量也更大，可見，邊界條件對結構聲輻射的影響較大，增強結構的邊界約束條件可有效降低結構的聲輻射。

圖7給出了旋轉約束彈簧剛度值K＝1×105N·m/rad不變而橫向約束彈簧剛度值k分別為2×104N/m、2×105N/m和2×106N/m時平板結構輻射聲壓級與聲功率級的對比曲線?？梢钥闯觯S著橫向約束彈簧剛度k的增加，其結構聲輻射響應峰值點在向高頻移動，而且從第一個峰值點的對比可以看出，橫向約束彈簧剛度k越大，其響應峰值點也越高。此外，對比圖6與圖7可知，與經典邊界不同的是：①彈性邊界下高頻峰值點趨于相同位置只是峰值點的值有所不同；②彈性邊界下平板結構輻射聲功率除峰值點外還會出現(xiàn)一段平穩(wěn)過程，而經典條件下幾乎不會出現(xiàn)或者說出現(xiàn)的頻率段范圍很小。

圖7 典型橫向約束剛度下結構聲壓與聲功率對比Fig.7 Comparison of sound pressure and power of plate with typical transverse constraint stiffness

（2）結構長寬比對聲輻射的影響

圖8給出了a/b=1﹑1.5和2等三種不同長寬比下四邊固支時平板結構輻射聲壓級與聲功率級的對比曲線。

圖8 典型尺寸下結構聲壓與聲功率對比Fig.8 Comparison of sound pressure and power of plate with different size of plate

可以看出，一方面，隨著長寬比的增加，平板結構聲輻射共振峰值將逐漸向高頻段偏移，且共振峰數(shù)量也將存在較大差異，a/b=1.5時，結構聲輻射共振峰最多，a/b=1時次之，a/b=2時最少；另一方面，隨著長寬比的增加，結構輻射聲壓和輻射聲功率也將發(fā)生改變，對于本文研究的平板結構而言，a/b=1.5時平板結構輻射噪聲最大，a/b=1時次之，a/b=2時平板結構振動聲輻射水平最低。

（3）板厚對結構聲輻射的影響

圖9分別給出了h=0.005 m﹑0.01 m和0.015 m三種不同板厚下四邊固支板結構振動聲壓級與聲功率級比較曲線。從圖中可以看出，隨著板厚的增加，一方面第1階聲輻射共振峰頻率在逐漸提高，且其1階共振時峰值也在增大；另一方面，隨著結構板厚的增加，平板結構聲輻射共振峰數(shù)量在逐漸減少。

圖9 典型板厚下結構聲壓與聲功率對比Fig.9 Comparison of sound pressure and power of plate with different thickness of plate

（4）激勵點位置的影響

圖10給出了激勵點在（0.3，0.3）﹑（0.4，0.4）和（0.5，0.5）三種不同位置下四邊固支板結構振動聲壓級與聲功率級的比較曲線?？梢钥闯觯铧c位置的改變對平板結構聲輻射的影響相對較小，且由于此時結構自身的動力學特性不發(fā)生變化，而激勵作用點位置的改變僅會引起結構被激勵模態(tài)的變化，因此其聲輻射響應變化不大。對于本次研究的平板結構而言，無論激勵點在何處，其首階共振峰位置是相同的；但當激勵點作用于結構中心位置時，結構的反對稱模態(tài)將無法被激起，故其聲輻射共振峰值數(shù)目較少；而當激勵點不再對稱中心時，結構的反對稱模態(tài)也將被激起，故此時結構的輻射聲壓和聲功率會不斷增大，且其共振峰數(shù)量也相對較多。

圖10 典型激勵位置下結構聲壓與聲功率對比Fig.10 Comparison of sound pressure and power of plate with different size of plate

3 結論

本文基于改進傅立葉級數(shù)方法建立了一般邊界條件下矩形板振動聲輻射的分析模型。在對結構進行能量描述的基礎上建立了Lagrange函數(shù)，通過將未知傅立葉系數(shù)作為廣義變量，結合Rayleigh-Ritz法將結構振動問題轉化為求解標準特征值方程的問題；在此基礎上，結合Rayleigh積分進一步導出了任意邊界下薄板結構的輻射聲壓和聲功率表達式，并討論了不同參量對于結構聲輻射的具體影響。通過上述研究可以得出如下結論：

（1）改進傅立葉級數(shù)方法分析平板結構振動聲輻射問題是可行的，且具有計算精度高、數(shù)值穩(wěn)定性好等優(yōu)點。

（2）薄板結構動力學特性分析表明，橫向約束彈簧對結構固有頻率的影響比旋轉彈簧大。

（3）薄板結構聲輻射特性研究表明，邊界條件、長寬比、板厚、激勵點位置等會對結構聲輻射產生影響：當激勵頻率與結構第1階固有頻率相等時，一般會引起結構共振聲輻射情形的出現(xiàn)，且隨著邊界約束條件的減弱，共振聲輻射逐漸增多且峰值越來越大；隨著長寬比和板厚的增加，結構振動首個共振峰的位置在逐漸向高頻范圍移動，結構共振峰數(shù)量在逐漸減少；激勵點位置不改變結構共振頻率，但可能因無法激勵結構局部共振模態(tài)而導致其聲輻射共振峰的減少。

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Analysis of vibration and acoustic radiation characteristics for rectangular plates with general boundary conditions

ZHU Li1,2,FAN Xin3,PANF Fu-zhen1,4,MIAO Xu-hong4
(1.College of Shipbuilding Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China;2.Navy Armament Merchant Center,Beijing 100071,China;3.Faculty of Vehicle Engineering and Mechanics,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China；4.92857Army of PLA,Beijing 100007,China)

Based on the theory of plates,a new method called Improved Fourier Series Method(IFSM)is presented to study the vibration and acoustic characteristics of rectangular plates with arbitrary boundary conditions.The plate admissible functions is presented,which is invariantly sought as an improved Fourier cosine series,and a sine series is introduced to overcome the discontinuities of the structure.And then the Lagrange equation is established according to the principle of the minimum potential energy.Finally,by using the Rayleigh-Ritz technique the vibration characteristics can be easily acquired.Under these circumstances,with the help of Rayleigh integral formula,the expressions of sound pressure and acoustic power are derived.The effects of structural parameters and boundary conditions that have great impact on the acoustic radiation are also studied.The comparisons among numerical simulation results,which obtained with FEM and reposed in literatures,validate the correctness of the method．

improved Fourier series;rectangular plates;vibration;acoustic radiation;admissible function

O342TB532

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.11.014

1007-7294（2015）11-1409-13

2015-05-12

國家自然科學基金項目（51209052）；黑龍江省青年科學基金資助項目（QC2011C013）；哈爾濱市科技創(chuàng)新人才研究專項資金項目（2011RFQXG021）；上海交通大學海洋工程國家重點實驗室基金（1307）；中國博士后基金（2014M552661）

朱理（1983-），男，博士研究生；

范鑫（1991―），男，本科生；

龐福振（1980―），男，博士后，副教授，E-mail：pangfuzhen@hrbeu.edu.cn。