靜水壓力下具有軸對稱初始缺陷圓柱殼承載能力研究

白旭，樂智斌，李金華，王曉天

（1江蘇科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212003；2山東省科學(xué)院海洋儀器儀表研究所，山東青島266001；3哈爾濱工程大學(xué)船舶工程學(xué)院，哈爾濱150001）

靜水壓力下具有軸對稱初始缺陷圓柱殼承載能力研究

白旭1，樂智斌1，李金華2，王曉天3

（1江蘇科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212003；2山東省科學(xué)院海洋儀器儀表研究所，山東青島266001；3哈爾濱工程大學(xué)船舶工程學(xué)院，哈爾濱150001）

文章針對含有軸對稱初始缺陷和局部軸對稱凹陷的圓柱殼在靜水壓力下的穩(wěn)定承載能力問題進(jìn)行了研究。通過一種數(shù)值計算方法，給出了初始缺陷幅值、殼體半徑與厚度比、殼體長度、局部凹陷長度及位置對靜水壓力下圓柱殼屈曲臨界壓力的影響。并針對不同缺陷幅值對圓柱殼的剛度進(jìn)行折減，給出了初始缺陷幅值與剛度折減系數(shù)的關(guān)系。研究結(jié)果表明，對于軸對稱初始缺陷對圓柱殼穩(wěn)定承載能力的影響，本質(zhì)上是降低圓柱殼軸向彎曲剛度和軸向的薄膜剛度從而造成圓柱殼穩(wěn)定承載能力的下降，因此針對軸對稱初始缺陷可以增加縱筋提高其彎曲剛度，增加穩(wěn)定承載能力。

初始缺陷；剛度折減；圓柱殼；靜水壓力

Key words:initial imperfections;reduced stiffness;cylindrical shells;hydrostatic pressure

0 引言

除了較小的任意分布的初始缺陷之外，真實的圓柱殼體在加工建造以及運輸過程中可能會產(chǎn)生顯著的初始缺陷，這些初始缺陷可能是局部的，其幅值大小可能是殼體厚度的幾倍，這都將對薄壁殼體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載能力造成不利的影響，有時可能是致命的。因此有必要研究初始缺陷對圓柱殼穩(wěn)定承載能力的影響。

Gavrilenko等（2002）[1]應(yīng)用數(shù)值計算的方法研究了具有局部凹陷的圓柱殼在軸向載荷作用下的穩(wěn)定承載能力問題，評估了臨近載荷及其下限對初始缺陷的敏感度。吳洪飛等（2003）[2]應(yīng)用非線性彈塑性穩(wěn)定性理論研究了圓柱殼在軸向力和內(nèi)壓聯(lián)合作用下的彈塑性穩(wěn)定問題，得到了不同比例加載路徑、初始缺陷以及塑性變形發(fā)展程度對彈塑性失穩(wěn)的影響規(guī)律曲線。王自力等（2007）[3]借助有限元軟件針對彈性屈曲模態(tài)缺陷、局部缺陷、整體圓度偏差和殼板厚度偏差等缺陷研究不同深度載人潛水器耐壓球殼極限承載力問題。通過對不同深度潛水器的有限元分析，得出了不同深度耐壓殼體受初始缺陷影響的曲線。Fakhim等（2009）[4]通過試驗研究了厚度變化和幾何缺陷對薄壁圓柱殼在靜水壓力作用下屈曲和后屈曲行為的影響。研究結(jié)果表明，厚度的變化影響了最后波形的位移，最后的波形發(fā)生在殼體較薄的部分。王林等（2009）[5]針對含初始缺陷的耐壓圓柱殼結(jié)構(gòu)采用有限元方法進(jìn)行了分析，認(rèn)為初始缺陷幅值不會改變結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)模態(tài)，且對極限承載力影響有限。龔友根等（2010）[6]對含有初始軸對稱凹陷的圓柱殼在軸向載荷作用下的穩(wěn)定承載能力進(jìn)行了試驗研究和數(shù)值計算，給出了含有初始軸對稱凹陷圓柱殼的承載能力隨凹陷幅值、長度及圓柱殼長度的變化而改變的規(guī)律。Gavrilenko和Matsner（2010）[7]針對含有局部缺陷的加筋殼體結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，給出了一種有效的數(shù)值方法。Hutchinson（2010）[8]分析了圓柱殼以及球殼結(jié)構(gòu)軸對稱缺陷對其承載能力的影響，認(rèn)為橫向薄膜組件是影響結(jié)構(gòu)失效的關(guān)鍵因素。

Croll（2006）[9]提出了剛度的思想，并被有效地應(yīng)用在殼體結(jié)構(gòu)的屈曲分析中[10-14]。本文采用剛度折減的思想，推導(dǎo)了含有軸對稱初始缺陷圓柱殼的屈曲臨界載荷，應(yīng)用數(shù)值計算來研究軸對稱初始缺陷和凹陷形式以及它們的參數(shù)變化時對靜水壓力下圓柱殼穩(wěn)定承載能力的影響，給出了初始缺陷幅值與剛度折減的關(guān)系。

1 軸對稱初始缺陷光滑圓柱殼承載能力研究

1.1 數(shù)值計算過程

圖1 靜水壓力下具有軸對稱初始缺陷的圓柱殼模型Fig.1 Cylindrical shell model with axisymmetric initial imperfections under hydrostatic pressure

考慮沿圓柱殼長度方向具有一個軸對稱的初始缺陷，曲率為ρ，靜水壓力為p，厚度為t，半徑為r，初始缺陷幅值為w0，如圖1所示。w0相對于半徑r是小量，因此忽略其對圓柱殼應(yīng)力分布的影響，屈曲前的圓柱殼仍處于薄膜應(yīng)力狀。其應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)椋?/p>

由于初始缺陷的存在，其應(yīng)變與位移的關(guān)系必須考慮缺陷的影響

相應(yīng)的應(yīng)力和彎矩為

其中：（-）′為線性應(yīng)變與位移關(guān)系，（-）″應(yīng)變與位移關(guān)系是平方非線性的。

相應(yīng)地將圓柱殼的總勢能也分成線性項和平方非線性項

其中：V0是屈曲前薄膜狀態(tài)時的勢能應(yīng)該為0，V1是線性應(yīng)變位移關(guān)系的勢能，對于薄膜狀態(tài)應(yīng)該為0。V2中包含著平方非線性項，這些項對穩(wěn)定平衡狀態(tài)起主要作用。（U，V，W）為薄膜狀態(tài)時的位移，而（u，v，w）是任意的位移增量。對于兩端簡支的圓柱殼，滿足邊界條件的位移可取為

現(xiàn)令

由應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系，得

由（1）式和（2）式，得

將（3）式和（9）式代入（8）式，得

將（6）式代入上式，得

將（12）式代入（11）式得

將（13）式代入（5c）式，可得薄膜應(yīng)變能和彎曲應(yīng)變能之和為

將（6）式代入（14-a）式后再代入（14）式，得

由殼體穩(wěn)定的條件

可將求解殼體屈曲臨界載荷問題轉(zhuǎn)化為求解廣義特征值問題

其中：Aij=Aij′+ΛAij″有如下形式：

其中：λ=jπ/L，L=l/r，Λ=pr/Et，R=r/t，α=12R2。

令（17）式中系數(shù)行列式為0，即可求得靜水壓力下圓柱殼的屈曲臨界載荷。

1.2 計算結(jié)果分析

圖2和圖3給出了初始缺陷幅值與臨界屈曲載荷和應(yīng)用ANSYS軟件計算所得到的初始缺陷對臨界屈曲載荷的影響（L=2.88，r=250，t=5）。從圖中可以看出，靜水壓力下圓柱殼的屈曲臨界載荷隨著初始缺陷幅值的增加而減小，當(dāng)軸對稱初始缺陷增加到一定程度后，圓柱殼的屈曲臨界載荷隨著初始缺陷的增加而增加。可以預(yù)測當(dāng)初始缺陷繼續(xù)增加到一定值時，臨界載荷會隨著初始缺陷的增加而下降，出現(xiàn)這種波動式的增加和減少。另外從圖中還可以看出，這種軸對稱初始缺陷對圓柱殼的承載能力影響較小，在最低時也可達(dá)到無缺陷屈曲臨界載荷的91.5%以上，而ANSYS計算的結(jié)果為99.3%，幾乎沒有影響。這說明圓柱殼在全長范圍內(nèi)具有軸對稱的初始缺陷并沒有改變圓柱殼橫截面的圓形，因此對圓柱殼的剛度來說，只是影響了圓柱殼的軸向彎曲剛度和軸向薄膜剛度。

圖2 初始缺陷幅值對臨界屈曲載荷的影響Fig.2 The influence of initial defect amplitude to critical buckling load

圖3 ANSYS計算的初始缺陷幅值對臨界屈曲載荷的影響Fig.3 The influence of initial defect amplitude to critical buckling load through ANSYS code analysis

為了說明這種軸對稱初始缺陷只是影響軸向彎曲剛度和軸向薄膜剛度，而前面已經(jīng)證明了軸向薄膜剛度對圓柱殼屈曲臨界載荷的影響可以忽略不計，因此這里只對軸向的彎曲剛度進(jìn)行折減，乘以折減系數(shù)ξ后的矩陣（18）的系數(shù)只改變以下幾項：

圖4給出了靜水壓力下圓柱殼軸向彎曲剛度折減系數(shù)與屈曲臨界載荷的關(guān)系，從圖中可以看出，圓柱殼屈曲臨界載荷隨著折減系數(shù)的降低而下降，當(dāng)折減系數(shù)為0時，屈曲臨界載荷達(dá)到最低值，此時載荷折減系數(shù)為0.91，這與圖2中分析的載荷折減系數(shù)0.915是比較吻合的。比較圖2和圖4可以說明這種不改變圓柱殼橫截面形狀的軸對稱初始缺陷只影響圓柱殼的軸向彎曲剛度而不會影響圓柱殼的薄膜剛度。圖5給出了軸對稱軸線缺陷幅值與軸向彎曲折減系數(shù)的關(guān)系。

圖4 軸向彎曲折減系數(shù)對臨界載荷的影響Fig.4 The influence of axial bending reduced coefficient to critical load

圖5 初始缺陷與軸向彎曲折減系數(shù)的關(guān)系Fig.5 Relationship between initial defect and axial bending reduced coefficient

圖6給出了具有相同初始缺陷，不同半徑和厚度比時屈曲臨界載荷折減系數(shù)的變化規(guī)律（t=5 mm，L=2.88）。從圖中可以看出，當(dāng)初始缺陷一定時，臨界載荷隨著半徑與厚度比的增加而波動式地上升和下降，通過計算發(fā)現(xiàn)，圓柱殼失穩(wěn)時的周向波數(shù)隨著r/t的增加而緩慢地增加，造成了屈曲臨界失穩(wěn)壓力出現(xiàn)波動式的上升和下降。表1給出了圖6計算范圍內(nèi)周向失穩(wěn)模態(tài)圖。從周向失穩(wěn)模態(tài)圖中可以看見，周向波數(shù)由5個增加到了8個。圖7具有相同初始缺陷，不同長度與半徑的比對靜水壓力下圓柱殼屈曲載荷的影響（t=5 mm，R=100），從圖中可以看出，隨著L的增加，臨界失穩(wěn)壓力也波動式地增加。而且初始缺陷對L的影響要比對r/t的影響更為敏感。

圖6 初始缺陷對r/t的影響Fig.6 The influence of critical defect to r/t

圖7 初始缺陷對L的影響Fig.7 The influence of critical defect to L

表1 周向失穩(wěn)模態(tài)隨r/t的變化Tab.1 The influence of r/t to circumferential instability mode

2 局部軸對稱凹陷圓柱殼穩(wěn)定承載能力研究

具有局部軸對稱初始缺陷的圓柱殼如圖8所示，靜水壓力為p，圓柱殼長度為l，初始缺陷左邊與左邊邊界距離為l1，右邊與左邊界距離為l2，半徑為r，初始缺陷曲率為ρ。

圖8 具有局部軸對稱初始缺陷圓柱殼示意圖Fig.8 Cylindrical model with local axisymmetric initial imperfections

應(yīng)用1.1節(jié)的分析過程，只在局部凹陷位移應(yīng)用應(yīng)變位移關(guān)系（3），其他部分應(yīng)用不考慮缺陷影響的應(yīng)變位移關(guān)系。可以得到行列式（17）的系數(shù)為

其中

應(yīng)用系數(shù)（20）令行列式（17）的系數(shù)為0，則可得到局部凹陷圓柱殼在靜水壓力下的屈曲臨界壓力。

圖9給出了初始缺陷的長度一定時，幅度變化對臨界屈曲載荷的影響（l1=180 mm，l2=540，r=250，L=2.88，t=5 mm）。從圖9中可以看出，對于局部軸對稱初始缺陷的圓柱殼，與圖2較為類似，臨界屈曲壓力都是隨著初始缺陷的幅值的增加先下降到達(dá)一定幅值后開始增加，但是對于局部軸對稱缺陷形式，趨勢開始發(fā)生變化的初始缺陷幅值要比軸對稱缺陷的形式小。對于局部軸對稱初始缺陷，初始缺陷幅值對其屈曲壓力的影響更為明顯，圖9曲線的斜率明顯大于圖2曲線的斜率，而且其最低值也比圖2大約20%。

圖10給出了初始缺陷位于圓柱殼中間，初始缺陷幅值與厚度比為0.2時，初始缺陷的長度對圓柱殼臨界屈曲壓力的影響。從圖中可以看出，當(dāng)初始缺陷的長度與圓柱殼長度之比小于0.15時，可以忽略初始缺陷對圓柱殼屈曲臨界壓力的影響，這是主要考慮由于初始缺陷造成的應(yīng)力集中對圓柱殼局部屈服強(qiáng)度的影響。但當(dāng)初始缺陷長度為圓柱殼長度的0.15-0.3之間時，圓柱殼屈曲臨界壓力隨著初始缺陷的增加而迅速地下降到最低值，隨后隨著初始缺陷長度的增加臨界屈曲壓力開始緩慢地增加，這與文獻(xiàn)[3]中具有軸對稱初始缺陷圓柱殼的軸壓實驗的結(jié)果是一致的。

圖9 局部軸對稱初始缺陷幅值對臨界失穩(wěn)載荷的影響Fig.9 The influence of local initial defect amplitude to critical buckling load

圖10 局部初始缺陷長度對臨界載荷的影響Fig.10 The influence of local initial defect length to critical buckling load

圖11 初始缺陷位置對臨界屈曲壓力的影響Fig.11 The influence of local initial defect location to critical buckling load

圖12 w0/t一定時臨界屈曲壓力隨r/t變化曲線Fig.12 The curve of critical buckling load to r/t with the same w0/t

圖11給出了初始缺陷長度為全長的0.3，初始缺陷幅值與厚度比為0.2時，初始缺陷的位置對臨界屈曲壓力的影響。從圖中可以看出，初始缺陷位置對臨界壓力的影響關(guān)于殼體中間是對稱的，其中最危險的位置為殼體中間，要比初始缺陷位置在兩邊時臨界屈曲壓力減小10%左右。

圖12給出了w0/t分別為0.1、0.2和0.5，初始缺陷位于殼體中間，其長度為柱殼長度一半時，局部軸對稱缺陷圓柱殼在靜水壓力下屈曲臨界載荷隨半徑與厚度比的變化曲線，從圖中可以看出，當(dāng)r/t很小時，臨界屈曲壓力對局部初始缺陷比較敏感，而當(dāng)r/t較大時，臨界屈曲壓力開始呈現(xiàn)波動的上升和下降。通過計算發(fā)現(xiàn)，隨著r/t的增加，屈曲模態(tài)發(fā)生變化，周向波數(shù)由4個上升到8個，與表1具有相同的失穩(wěn)模態(tài)，因此造成了在r/t很大時，屈曲壓力呈現(xiàn)波動的特性。對于不同的半徑與厚度比，當(dāng)初始缺陷幅值很小時對柱殼的屈曲臨界壓力幾乎沒有影響，而且隨著r/t的增加，圓柱殼的屈曲臨界載荷折減系數(shù)變化的幅度越來越小，說明較大的r/t對局部初始缺陷不敏感。

3 結(jié)論

通過對軸對稱缺陷圓柱殼以及局部凹陷圓柱殼穩(wěn)定承載能力的研究，主要得到以下結(jié)論：

（1）圓柱殼對軸對稱初始缺陷不太敏感，當(dāng)w0/t=2.5時，臨界失穩(wěn)壓力即下降為原來的91.5%。臨界失穩(wěn)壓力隨著初始缺陷幅值的增加先下降達(dá)到一定值后開始增加。

（2）軸對稱初始缺陷對圓柱殼臨界失穩(wěn)壓力的影響其本質(zhì)是主要影響了圓柱殼的軸向彎曲剛度，通過軸向彎曲剛度的折減可得到任意缺陷幅值對圓柱殼穩(wěn)定承載能力的影響。

（3）靜水壓力下，圓柱殼的屈曲臨界壓力對局部初始凹陷更為敏感，受局部軸對稱初始凹陷的幅值，位置和長度的影響很大。屈曲臨界壓力隨局部初始缺陷的幅值的增加要比軸對稱初始缺陷下降得迅速且影響更大。當(dāng)初始缺陷處在圓柱殼中間部分時對圓柱殼屈曲臨界壓力的影響最大，可使其降低15%左右。

（4）初始缺陷長度超過圓柱殼長度的30%時，圓柱殼的屈曲臨界壓力隨著初始缺陷長度的增加而增加，當(dāng)初始缺陷長度不足圓柱殼長度的15%時，對臨界屈曲壓力影響較小，可以忽略，當(dāng)處在15%到30%中間時，圓柱殼的屈曲臨界載荷隨著初始缺陷長度的增加而迅速地下降，其下降為15%左右。

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Load-carrying capacity of cylindrical shells with axisymmetric initial imperfections under hydrostatic pressure

BAI Xu1,YUE Zhi-bin1,LI Jin-hua2,WANG Xiao-tian3
(1.School of Naval Architecture and Ocean Engineering,Jiangsu University of Science and Technology,Zhenjiang 212003, China;2.Institute of Oceanographic Instrument Shandong Academy of Sciences,Qingdao 266001,China;3.College of Shipbuilding Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

This paper studies the stability load-carrying capacity of cylindrical shells with axisymmetric initial imperfections and local dents.The effects of amplitude,the ratio of radius and thickness,the length of shells and local dents and the position of dents on the critical buckling pressure of cylindrical shells under hydrostatic pressure are given out with numerical calculation method.And to reduce the stiffness of cylindrical shells to different amplitudes of the imperfections is made and the relation between the amplitudes and coefficient of reduced stiffness is obtained.The results indicate that the essence of the effects of axisymmetric initial imperfections on the load-carrying of cylindrical shells is that the imperfections induce the axial bending stiffness reduced and decrease the stability load-carrying of cylindrical shells.Therefore,the stringer stiffener can increase the bending stiffness and improve the load-carrying capacity of cylindrical shells with axisymmetric initial imperfections.

U661.43

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.11.006

1007-7294（2015）11-1334-10

2015-07-17

國家自然科學(xué)基金青年基金資助項目（51409128、51409129、51309125）；江蘇省高校自然科學(xué)研究項目資助（14KJB570001）；江蘇省自然科學(xué)基金青年基金資助項目（BK20140504）

白旭（1984-），男，博士，E-mail：baxu_heu@126.com；樂智斌（1995-），男，碩士研究生；

李金華（1988-），男，碩士研究生；王曉天（1956-），男，博士，教授。