基于EMD的VaR估計(jì)方法及實(shí)證研究

李合龍，楊 志

（華南理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院，廣州510006）

0 引言

經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸猓‥mpirical Mode Decomposition，EMD）[1]是由NASA的Norden.E.Huang等于1998年提出的一種具有高時(shí)頻分辨能力的信號(hào)分析方法。與小波分析相比，它具有更高的分解效率和更好的時(shí)頻特性，特別適用于各種非平穩(wěn)非線性時(shí)間序列的處理和分析。近年來(lái)，關(guān)于EMD的理論和應(yīng)用研究不斷出現(xiàn)，已遍及醫(yī)學(xué)，信號(hào)處理，機(jī)械診斷，氣象和地震預(yù)測(cè)等領(lǐng)域，展現(xiàn)出良好的應(yīng)用前景。金融時(shí)間序列作為一種典型的非平穩(wěn)非線性序列，如何通過(guò)運(yùn)用EMD方法進(jìn)一步挖掘各種交易行為產(chǎn)生的對(duì)市場(chǎng)定量波動(dòng)特征刻畫(huà)有益的統(tǒng)計(jì)信息，進(jìn)而為更加準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)市場(chǎng)走勢(shì)和評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)提供依據(jù)，仍然是該領(lǐng)域頗具實(shí)際意義的研究方向之一。本文提出了一種基于EMD的VaR估計(jì)方法，并進(jìn)一步運(yùn)用Kupiec檢驗(yàn)[2]將該方法與多種傳統(tǒng)方法進(jìn)行了實(shí)證對(duì)比，結(jié)果顯示其具有較高的計(jì)量精度。因此本文的研究為EMD在風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估領(lǐng)域中的運(yùn)用提供了另外一種思路。

1 問(wèn)題描述

傳統(tǒng)計(jì)算VaR的方法是在假設(shè)收益率為正態(tài)分布的前提下，給定置信區(qū)間，并通過(guò)模擬、參數(shù)預(yù)測(cè)、方差-協(xié)方差等方法計(jì)算分位點(diǎn)以得到風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值。采用上述方法進(jìn)行計(jì)算的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)收益率的波動(dòng)行為。當(dāng)市場(chǎng)運(yùn)行平穩(wěn)時(shí)，傳統(tǒng)的假設(shè)和計(jì)算是合理的，即收益率的波動(dòng)遵從或近似遵從隨機(jī)游走過(guò)程。但是當(dāng)市場(chǎng)出現(xiàn)大的轉(zhuǎn)折，構(gòu)建在經(jīng)驗(yàn)參數(shù)上的模型就會(huì)瞬間崩塌。而實(shí)際市場(chǎng)波動(dòng)正是由確定性趨勢(shì)、隨機(jī)趨勢(shì)和各種噪聲交相纏繞而成，其行為并不總遵循理想化的假設(shè)。同時(shí)由于傳統(tǒng)計(jì)算方法主要是基于統(tǒng)計(jì)收益率頻率并擬合其分布，難以反映內(nèi)在波動(dòng)的趨勢(shì)特征。這使得實(shí)證中經(jīng)常出現(xiàn)尖峰厚尾等“異象”。因此如何區(qū)分序列各種內(nèi)在波動(dòng)的性質(zhì)并分別對(duì)其構(gòu)建合適的時(shí)間序列模型便成為準(zhǔn)確計(jì)量VaR的關(guān)鍵。

為了方便說(shuō)明內(nèi)在波動(dòng)的運(yùn)行對(duì)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)刻畫(huà)的重要性，本文設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的模擬序列并假設(shè)市場(chǎng)僅有兩種波動(dòng)形態(tài)組成：噪聲部分--代表了市場(chǎng)中無(wú)序的噪聲交易。其行為完全不可預(yù)測(cè)，只能推測(cè)其大概分布，體現(xiàn)為短期的日常的風(fēng)險(xiǎn)；主體的趨勢(shì)部分--代表了不同頻率的中長(zhǎng)期交易者。由于其交易相對(duì)固定，難以立即從市場(chǎng)中退出，即使市場(chǎng)出現(xiàn)結(jié)構(gòu)性調(diào)整也可以在一定程度上可以進(jìn)行短期預(yù)測(cè)。由此構(gòu)建市場(chǎng)交易r(t)=0.5·sin(0.01·x)+ε(t)：其中，正弦函數(shù)模擬長(zhǎng)期變動(dòng)趨勢(shì)；ε(t)模擬市場(chǎng)中不確定的風(fēng)險(xiǎn)（如圖1-1）。

圖1 趨勢(shì)加噪聲交易以及EMD分解后的各部分時(shí)間序列圖和直方圖

r(t)及其頻率分布直方圖如圖1-1，圖1-2所示，折線代表正態(tài)分布曲線。從統(tǒng)計(jì)可以看出，由于引進(jìn)了趨勢(shì)，而使交易的頻率分布不再嚴(yán)格遵循正態(tài)分布（表1），導(dǎo)致基于擬合分布的傳統(tǒng)方法失效。為了去除趨勢(shì)在經(jīng)濟(jì)研究中的影響傳統(tǒng)計(jì)算方法需要對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行對(duì)數(shù)差分、滑動(dòng)平均以達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)。然而，引入對(duì)數(shù)差分會(huì)破壞系統(tǒng)本身的混沌特性[3]；而滑動(dòng)平均等方法又難以刻畫(huà)序列的非線性特征。因此傳統(tǒng)方法在建模過(guò)程中實(shí)際已經(jīng)犧牲了一部分系統(tǒng)所蘊(yùn)含的信息。

表1 模擬交易及其各組成分的統(tǒng)計(jì)描述

為了說(shuō)明傳統(tǒng)方法在非線性非平穩(wěn)特征序列中的應(yīng)用缺陷，本文依據(jù)經(jīng)典的Delta-正態(tài)方法以及歷史模擬方法對(duì)后300個(gè)數(shù)據(jù)分別計(jì)算了95%、97%、99%置信區(qū)間的下的VaR。并給出了失敗次數(shù)的統(tǒng)計(jì)。表2是各種方法下的檢驗(yàn)結(jié)果。

表2 Delta-正態(tài)方法和歷史模擬法計(jì)算的各置信水平下的VaR的失敗率

由表2，基于統(tǒng)計(jì)分布的傳統(tǒng)計(jì)算方法都沒(méi)有捕捉到趨勢(shì)所帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)偏差（圖1-7，1-8）。主要有兩個(gè)原因：1）趨勢(shì)成分中的相位信息在統(tǒng)計(jì)頻率過(guò)程中被丟失了，而市場(chǎng)內(nèi)在波動(dòng)特征的精確刻畫(huà)是預(yù)測(cè)未來(lái)走勢(shì)、評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)鍵。2）分布的來(lái)源是基于歷史數(shù)據(jù)，沒(méi)有包含正弦函數(shù)未來(lái)的趨勢(shì)調(diào)整。實(shí)際市場(chǎng)正是一個(gè)由各種趨勢(shì)及噪聲構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng)，其未來(lái)風(fēng)險(xiǎn)的準(zhǔn)確刻畫(huà)不能只通過(guò)擬合某種分布獲得而需要結(jié)合分析其內(nèi)在不同的波動(dòng)特征來(lái)實(shí)現(xiàn)?；谏鲜稣J(rèn)識(shí)，本文試圖通過(guò)對(duì)價(jià)格序列直接進(jìn)行EMD分解并結(jié)合下文提出的IMF重劃分算法，將市場(chǎng)中的主體趨勢(shì)成分和噪聲成分進(jìn)行分離，同時(shí)根據(jù)它們不同的特性分別建模以計(jì)算一定置信區(qū)間下市場(chǎng)總的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）。

2 基于EMD的VaR估計(jì)算法設(shè)計(jì)

2.1 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸猓‥MD）介紹[1]

經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸猓‥MD）是一種自適應(yīng)分解，廣泛應(yīng)用于各種非平穩(wěn)非線性信號(hào)。在醫(yī)學(xué)，信號(hào)處理，機(jī)械診斷，氣象和地震預(yù)測(cè)等多個(gè)方面有著極高的應(yīng)用價(jià)值。典型的EMD分解的基本流程為：

（1）確定s(t)的所有極大值和極小值。

（2）根據(jù)極大值和極小值進(jìn)行三次樣條插值構(gòu)建s(t)的上下包絡(luò)線。

（3）根據(jù)上下包絡(luò)線，計(jì)算出s(t)的局部均值m11(t)以及s(t)和m11(t)的差值h11=s-m(t)；

（4）以h11代替原始信號(hào)s(t)，重復(fù)以上三步，直到h1(k-1)與h1k之間的方差小于某一設(shè)定值，即h1k認(rèn)為是一個(gè)IMF分量，記c1=h1k，r1(t)=s(t)-c1，s(t)=r1(t)；

（5）重復(fù)以上四步，直到rn小于某一設(shè)定值，或者rn變成了一個(gè)單調(diào)函數(shù)時(shí)，原始信號(hào)的EMD分解結(jié)束，得到的分解形式如下：

其中r是殘余項(xiàng)（RES）。

每一個(gè)IMF分量都反映了原信號(hào)在不同尺度下的特征。由于分解出的每一個(gè)IMF分量是代表一組特征頻率的數(shù)據(jù)序列，因此EMD過(guò)程實(shí)際上是把原始數(shù)據(jù)序列分解為各種不同特征波動(dòng)的疊加。初始的幾層IMF的頻率相對(duì)較高，可以認(rèn)為短期的噪聲交易，而越接近殘余項(xiàng)，則頻率越低，越具有長(zhǎng)期交易的特性。

2.2 多尺度下的VaR估計(jì)算法

2.2.1 IMF的重劃分

市場(chǎng)是一個(gè)多種交易交織混疊的組合體，每一種交易的特性均不同。投資級(jí)別的交易一般交易周期較長(zhǎng)，其交易引起的價(jià)格變動(dòng)更偏向于一種長(zhǎng)期記憶性序列形態(tài)。而投機(jī)級(jí)別的交易以及散戶交易引起的價(jià)格變動(dòng)則更傾向于一種隨機(jī)趨勢(shì)和隨機(jī)游走形態(tài)[4]。因此不僅需要考察不同尺度下的IMF周期，還有必要區(qū)分分解后的子序列的形態(tài)以判斷是否具有記憶性。

依照R/S分形分析理論[5]，可以利用重標(biāo)極差分析法（Rescaled Range Analysis）[6]來(lái)建立Hurst指數(shù)（H）作為判斷時(shí)間序列數(shù)據(jù)遵從隨機(jī)游走還是有偏隨機(jī)游走過(guò)程的指標(biāo)。可以用來(lái)作為檢驗(yàn)市場(chǎng)有效性的一個(gè)重要指標(biāo)。當(dāng)H=0.5時(shí)，分形時(shí)間序列表明價(jià)格變動(dòng)的相關(guān)性越小，信息的反應(yīng)時(shí)滯越短，市場(chǎng)有效性越強(qiáng)[7]。本文利用這一性質(zhì)對(duì)分解出的IMF進(jìn)行重新分類(lèi)，以便將原價(jià)格序列中具有相互獨(dú)立性質(zhì)的噪聲部分和具有長(zhǎng)期記憶性部分進(jìn)行剝離。具體操作如下：

①設(shè)原始序列為y(t)，長(zhǎng)度為T(mén)。分解出的層數(shù)為n，每一層IMF（包括殘余項(xiàng)RES）記為ci，i=1，2，3，···，n 。

由R/S分形分析的結(jié)論可知，此時(shí)s(t)的個(gè)體接近相互獨(dú)立，不具備長(zhǎng)期記憶性。為了不至于使模型過(guò)于復(fù)雜，將s(t)作為 y的噪聲部分。 p1(t)…pk(t)由于其H指數(shù)較接近1，具有一定的長(zhǎng)期記憶性而作為趨勢(shì)部分。

上述步驟將時(shí)間序列y(t)分解成了一個(gè)噪聲部分s(t)，t∈[0，T]和幾個(gè)趨勢(shì)部分 p1(t)…pk(t)，t∈[0，T]。 由于長(zhǎng)期記憶性意味著基于更多的歷史信息可以顯著提高預(yù)測(cè)的效果。而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能從數(shù)據(jù)樣本中自動(dòng)地學(xué)習(xí)，逼近那些最佳的刻畫(huà)了樣本規(guī)律的函數(shù)從而實(shí)現(xiàn)對(duì)長(zhǎng)期記憶序列的未來(lái)走勢(shì)做出準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。并且所要表現(xiàn)的函數(shù)形式越復(fù)雜，非線性程度越高，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)這種特性的作用就越明顯。本文采用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）對(duì)pi(t)…pk(t)進(jìn)行擬合，再以得到的擬合函數(shù)預(yù)測(cè)未來(lái)時(shí)刻的函數(shù)值：μT+t0=p1(T+t0)+p2(T+t0)+…+pk(T+t0)。

2.2.2 資產(chǎn)的VaR估計(jì)

VaR是指在給定的置信度和時(shí)間間隔下，由市場(chǎng)變化引起的高于目標(biāo)水平的最大損失。其精確定義為：若資產(chǎn)組合未來(lái)的隨機(jī)損益為，則對(duì)應(yīng)于置信水平為（通常在99%或者95%）的VaR滿足如下等式：

通過(guò)（1）的算法已經(jīng)將市場(chǎng)中的長(zhǎng)期記憶性的主體部分和不具備長(zhǎng)期記憶性的噪聲部分進(jìn)行了剝離。由于具有長(zhǎng)期記憶性且可以得到相對(duì)準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，因此從風(fēng)險(xiǎn)不確定的角度，在不考慮趨勢(shì)部分的結(jié)構(gòu)性變動(dòng)的條件下，s(t)成了整個(gè)價(jià)格序列未來(lái)風(fēng)險(xiǎn)的主要來(lái)源。s(t)的分形結(jié)性構(gòu)也說(shuō)明了其具備較好的相互獨(dú)立，接近隨機(jī)游走的序列形態(tài)。而這一性質(zhì)正是傳統(tǒng)計(jì)量方法所具備假設(shè)之一，可依據(jù)不同的精度要求而構(gòu)建相應(yīng)的估計(jì)模型。結(jié)合VaR的原始定義，在價(jià)格形態(tài)下，基于EMD的VaR為：

zα為α置信區(qū)間下的下分位點(diǎn)，σ為s(T+t0)時(shí)刻的條件方差。

2.3 Kupiec LR后驗(yàn)分析

即在分位數(shù)水平P上，如果所計(jì)算的LR檢驗(yàn)值大于該水平上自由度為1的χ2分布的臨界值的話，則可以拒絕原假設(shè)，反之即可認(rèn)為所采用的波動(dòng)率模型足夠精確。

3 基于三峽債的實(shí)證研究和后驗(yàn)分析

3.1 實(shí)證研究

為了檢驗(yàn)上述計(jì)算模型所具有的實(shí)際意義，以實(shí)際市場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究。由于中國(guó)股市采用漲停板制度，對(duì)于每日的漲跌有著嚴(yán)格的限制，即使不用計(jì)算VaR也可以大概確定其最大損失，為了方便說(shuō)明這種方法的優(yōu)勢(shì)，隨機(jī)選取了波動(dòng)性比較大的企業(yè)債進(jìn)行實(shí)證。

本文以2005年12月19日至2012年10月9日間三峽債日收盤(pán)數(shù)據(jù)（N=1403）作為實(shí)證樣本，數(shù)據(jù)來(lái)源于大智慧軟件。依照上文描述的計(jì)算模型進(jìn)行VaR估計(jì)。為了方便對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，本文采用移動(dòng)窗口法進(jìn)行計(jì)算，以2009～2010年的1141個(gè)數(shù)據(jù)用于構(gòu)建初始模型，窗口長(zhǎng)度T=1141，移動(dòng)步長(zhǎng)為1。2011-2012年度數(shù)據(jù)用于對(duì)比驗(yàn)證計(jì)算出的VaR。本文分別計(jì)算了95%置信度，97%置信度和99%置信度下的VaR，并與傳統(tǒng)的Garch類(lèi)方法、Delta-正態(tài)方法和歷史模擬法得出的VaR進(jìn)行了對(duì)比分析。首先對(duì)初始序列進(jìn)行EMD分解，然后分別計(jì)算每個(gè)IMF的Hurst指數(shù)和新建序列的Hurst指數(shù)，并以此為判據(jù)對(duì)主體趨勢(shì)和噪聲進(jìn)行分離，表3給出了分析結(jié)果。

表3 初始數(shù)據(jù)下各IMF的方差貢獻(xiàn)和Hurst指數(shù)

新序列a(i)的Hurst指數(shù)計(jì)算表明前四層IMF的組合的Hurst指數(shù)最接近0.5，依據(jù)R/S分形理論可以認(rèn)為其各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的值近似相互獨(dú)立。但是從圖2可以看出，即使Hurst指數(shù)已經(jīng)接近0.5，但是依然存在一點(diǎn)尖峰現(xiàn)象，這可能是由于實(shí)證序列內(nèi)含頻率過(guò)多，相互混疊所致。但由于其方差貢獻(xiàn)只占總體的14%，而趨勢(shì)部分占了85%，故而在總風(fēng)險(xiǎn)下這一小部分混頻所引起的誤差可能很小。而IMF6到RES項(xiàng)的Hurst指數(shù)都很接近1，具有很強(qiáng)的長(zhǎng)期記憶性，只有IMF5的Hurst指數(shù)略小，接近0.65，表示這一層模態(tài)具有一定的趨勢(shì)，但是也還仍存在一定的噪聲，由于這部分的方差貢獻(xiàn)較小，約占12%，為了不至于使模型變得過(guò)于復(fù)雜，這里也仍認(rèn)為這部分可以預(yù)測(cè)，從而繼續(xù)采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行逼近和預(yù)測(cè)。當(dāng)然，隨著對(duì)風(fēng)險(xiǎn)管控要求的提高，這一部分的影響就不能忽略了。圖2給出了分離出的不同成分的序列形態(tài)和直方圖：

圖2 EMD分解后得出的噪聲部分和主體趨勢(shì)部分及其直方圖

上述步驟將資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)行過(guò)程中的主體趨勢(shì)部分和噪聲部分進(jìn)行了分離，下一步將通過(guò)預(yù)測(cè)主體趨勢(shì)部分的未來(lái)走勢(shì)，并計(jì)算噪聲部分在給定置信區(qū)間、時(shí)間長(zhǎng)度的分位點(diǎn)對(duì)總體進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估。

圖3中的虛線部分為2011年1月1日至2012年10月9日（t∈[1142，1403]）間95%置信區(qū)間下預(yù)測(cè)的日VaR?？梢悦黠@看出，這種方法很好的勾勒出了市場(chǎng)的未來(lái)風(fēng)險(xiǎn)和主要趨勢(shì)。在這262個(gè)預(yù)測(cè)點(diǎn)中，出現(xiàn)異常的點(diǎn)為11個(gè)，即在262次中只有11次超過(guò)了預(yù)警風(fēng)險(xiǎn)。以此計(jì)算出模型的精度為4.58%，接近預(yù)先給定的5%（13次）的失敗率。并且超出的11次預(yù)測(cè)偏離實(shí)際值程度很小，可以認(rèn)為完全鎖定了可能的風(fēng)險(xiǎn)?；贓MD的VaR計(jì)算方法在該置信區(qū)間下得到了較優(yōu)異的估計(jì)精度。

圖3 02三峽債走勢(shì)圖及預(yù)測(cè)分析圖

3.2 后驗(yàn)分析結(jié)果

為了對(duì)比各個(gè)方法的優(yōu)缺點(diǎn)，本文采用歷史模擬法、Delta-正態(tài)方法，Garch-正態(tài)分布分別計(jì)算了實(shí)證數(shù)據(jù)在各置信區(qū)間下的VaR，并對(duì)比各種方法的后驗(yàn)分析結(jié)果。由于程序采用的是不斷移動(dòng)窗口進(jìn)行預(yù)測(cè)，難以將每一次計(jì)算的各項(xiàng)參數(shù)給出，這里不再給出具體的

據(jù)描述和實(shí)現(xiàn)步驟。其中傳統(tǒng)方法計(jì)算均轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)收益率。表4中給出了一些傳統(tǒng)方法計(jì)算出的VaR。

表4 VaR失敗率的Kupiec LR檢驗(yàn)

從各組檢驗(yàn)的結(jié)果可以看出：歷史模擬法雖然實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，但是在各個(gè)置信度下都比較難得到精確的估計(jì)，這可能是由于序列存在分形，特別是在大的風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)折時(shí)，歷史模擬的VaR難以體現(xiàn)當(dāng)前的風(fēng)險(xiǎn)變動(dòng)。Delta-正態(tài)方法在各置信度下的估計(jì)也偏于保守，這是由于其本身的收益率序列存在明顯的尖峰厚尾現(xiàn)象，與個(gè)體服從正態(tài)分布的假設(shè)不符，且統(tǒng)計(jì)過(guò)程的時(shí)變性也導(dǎo)致不能前瞻的預(yù)測(cè)風(fēng)險(xiǎn)。而基于EMD的VaR估計(jì)方法在各個(gè)置信水平上都表現(xiàn)出了較高的精度，且總體上優(yōu)于傳統(tǒng)的GARCH類(lèi)方法。總的來(lái)說(shuō)，對(duì)比上述幾種常見(jiàn)的計(jì)算VaR的方法，本文所提出的方法展現(xiàn)出了較顯著的優(yōu)越性，具備了對(duì)金融市場(chǎng)的大幅波動(dòng)的優(yōu)異刻畫(huà)能力。這為更加深入、全面把握金融市場(chǎng)的定量波動(dòng)特征，進(jìn)而增強(qiáng)對(duì)市場(chǎng)極端風(fēng)險(xiǎn)的刻畫(huà)和預(yù)測(cè)能力，都有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

4 總結(jié)

本文以企業(yè)債為實(shí)證對(duì)象，提出了一種基于EMD的VaR估計(jì)方法。為了驗(yàn)證該方法的有效性，應(yīng)用Kupiec檢驗(yàn)實(shí)證對(duì)比了該方法與多種傳統(tǒng)計(jì)算方法所估計(jì)的VaR精度。結(jié)果表明：（1）復(fù)雜的市場(chǎng)情形下傳統(tǒng)的估計(jì)方法很難得到滿意的估計(jì)精度；（2）債券價(jià)格序列存在明顯的長(zhǎng)期記憶性，具有分形特征；（3）對(duì)比傳統(tǒng)的計(jì)算VaR的模型，本文提出的方法結(jié)合了EMD和分形理論，具有非線性處理能力，得到了更高的計(jì)算精度。這說(shuō)明，基于復(fù)雜科學(xué)的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算方法擁有比傳統(tǒng)的計(jì)量方法有著更好的刻畫(huà)和預(yù)測(cè)能力。因此本文的研究也為EMD在金融方面的應(yīng)用提供了另外一種思路。

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