謬誤回歸中相關(guān)參數(shù)及統(tǒng)計(jì)量的極限分布與樣本特征

范傳棋

（西南財(cái)經(jīng)大學(xué) 中國西部經(jīng)濟(jì)研究中心，成都 611130）

0 引言

Rule在研究1866年到1911年英國的人口死亡率和教堂舉行婚禮次數(shù)關(guān)系時(shí)發(fā)現(xiàn)二者具有很高的相關(guān)關(guān)系。如果將1950年到2011年間俄羅斯的人口數(shù)量與中國的人口數(shù)量進(jìn)行回歸，我們會(huì)得出同樣的結(jié)論。在時(shí)間序列中分析中，如果對(duì)兩個(gè)獨(dú)立的時(shí)序列建立回歸模型，我們有時(shí)會(huì)得出兩個(gè)序列之間具有很高擬合度的結(jié)論，各個(gè)回歸參數(shù)也具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，這種現(xiàn)象稱為謬誤回歸，在統(tǒng)計(jì)上也稱為無意義相關(guān)。當(dāng)出現(xiàn)謬誤回歸時(shí)，回歸參數(shù)的估計(jì)特征異于經(jīng)典單方程回歸模型中各個(gè)參數(shù)的估計(jì)特征，同時(shí)相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的分布不再滿足正態(tài)分布特征。國內(nèi)外學(xué)者在一元謬誤回歸方面做了大量的研究，1974年Granger and Newbold針對(duì)回歸方程各個(gè)系數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上顯著，可決系數(shù)R2值接近1，而DW統(tǒng)計(jì)量接近0的現(xiàn)象做了分析，他們利用蒙特卡羅模擬方法證明了即使是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)游走序列在做回歸的時(shí)候也會(huì)出現(xiàn)謬誤回歸現(xiàn)象；1986年P(guān)hillips運(yùn)用泛函中心極限定理從理論上揭示了謬誤回歸的表現(xiàn)，推導(dǎo)出了兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)游走變量回歸時(shí)幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量的極限分布，指出謬誤回歸的t和F統(tǒng)計(jì)量的分布都是發(fā)散的；2004年Kim,Lee and Newbold研究發(fā)現(xiàn)謬誤回歸現(xiàn)象不僅僅發(fā)生在非平穩(wěn)時(shí)間序列中，也存在于獨(dú)立的趨勢(shì)平穩(wěn)時(shí)間序列中。張凌翔，張曉峒運(yùn)用蒙特卡羅模擬方法對(duì)結(jié)構(gòu)突變平穩(wěn)過程與隨機(jī)趨勢(shì)過程中的謬誤回歸進(jìn)行了研究，指出出現(xiàn)謬誤回歸時(shí)F統(tǒng)計(jì)量的極限分布是發(fā)散的，DW統(tǒng)計(jì)量以概率收斂于0，R2具有不退化的極限分布，并且在有限樣本條件下謬誤回歸發(fā)生的概率較大。本文將Granger and Newbold的謬誤回歸理論以及Phillips泛函中心極限定理結(jié)合起來，利用蒙特卡羅模擬方法考察OLS下出現(xiàn)謬誤回歸時(shí)相關(guān)參數(shù)及常用統(tǒng)計(jì)量的極限分布。

1 謬誤回歸的極限定理解釋

考察如下兩個(gè)隨機(jī)游走時(shí)間序列{yt}和{xt}：

其中W(t)是在C[0,1]上一個(gè)獨(dú)立的維納過程，對(duì)于序列{yt}上式的推導(dǎo)同樣成立，序列{yt}中的維納過程用V(t)表示，當(dāng)T→∞時(shí)，式（2）中的各個(gè)系數(shù)與統(tǒng)計(jì)量滿足

下列特征：

2 謬誤回歸時(shí)相關(guān)參數(shù)及各統(tǒng)計(jì)量的極限分布與樣本特征

本文用于研究的數(shù)據(jù)均由式（1）生成，檢驗(yàn)水平設(shè)置為5%；為了考察隨著樣本容量的增加，各個(gè)相關(guān)參數(shù)以及統(tǒng)計(jì)量呈現(xiàn)出的變化規(guī)律與分布特征，將樣本分為十位樣本、百位樣本以及千位樣本，百位樣本選取T=20，40，60，80 ，100；千位樣本選取T=200，400，600，800，1000；萬位樣本選取T=2000，4000，6000，8000，10000。

2.1 R2的極限分布與樣本特征

R2是衡量回歸方程擬合優(yōu)度的統(tǒng)計(jì)量，在判別謬誤回歸中R2是一個(gè)很重要的判別指標(biāo)。在出現(xiàn)謬誤回歸時(shí)，其分極限分布與樣本特征異于經(jīng)典回歸方程中的R2分布形式與樣本特征，其極限分布見圖1（圖1中縱坐標(biāo)為當(dāng)解釋變量的t統(tǒng)計(jì)量顯著時(shí)R2的頻數(shù)F，橫坐標(biāo)為R2值），R2的樣本特征見表1。

圖1 10000次模擬的R2極限分布圖

從圖1中可以看出，盡管隨機(jī)游走序列{yt}和{xt}之間是相互獨(dú)立的，但是在解釋變量的t統(tǒng)計(jì)量顯著時(shí)，R2＞0.5的頻數(shù)F=1631次，即在10000次模擬回歸中R2＞0.5出現(xiàn)了1631次，從理論上來講，在這10000次模擬回歸中R2的值都應(yīng)該為零，因此可以認(rèn)定此次模擬回歸出現(xiàn)了謬誤回歸。此時(shí)R2極限分布的偏度S=0.859＞0，峰度K=2.685＜3，JB=1271.4（數(shù)據(jù)見表1），其不滿足正態(tài)分布特征，R2極限分布呈現(xiàn)低峰、薄尾、右偏的分布特征，具有一個(gè)不退化的極限分布。

表1 10000次模擬R2的樣本特征

表1給出了出現(xiàn)謬誤回歸時(shí)，R2隨著樣本的增加而表現(xiàn)出的樣本特征?？梢钥闯鲭S著樣本的增加，標(biāo)準(zhǔn)差Std、偏度S、峰度K以及JB統(tǒng)計(jì)量變化不大，基本上保持穩(wěn)定，而F值隨著樣本容量的增加而遞增，也就是說在謬誤回歸中R2的分布是穩(wěn)定的，其并不隨著樣本的增加而發(fā)生改變，同時(shí)樣本容量的增加不但未能弱化謬誤回歸反而增加了出現(xiàn)謬誤回歸的可能性。

2.2 DW統(tǒng)計(jì)量的極限分布與樣本特征

DW統(tǒng)計(jì)量是利用殘差構(gòu)成的統(tǒng)計(jì)量來推斷誤差項(xiàng)是否存在自相關(guān)，DW統(tǒng)計(jì)值的范圍為[0，4]，其為0的情況是很罕見的。下文給出了10000次模擬DW統(tǒng)計(jì)量的極限分布圖，見圖2，以及DW統(tǒng)計(jì)量的樣本特征，見表2。

圖2 DW統(tǒng)計(jì)量的極限分布圖

從圖2中可以看出，DW統(tǒng)計(jì)量值都小于0.01，DW統(tǒng)計(jì)量偏度S=1.402＞0，峰度K=6.193＞3，JB=7527（見表2），DW統(tǒng)計(jì)量的極限分布不滿足正態(tài)分布特征，呈現(xiàn)高峰、厚尾、右偏的分布特征。

表2 DW統(tǒng)計(jì)量的樣本特征

表2為在出現(xiàn)謬誤回歸時(shí)，DW統(tǒng)計(jì)量隨著樣本的增加而表現(xiàn)出的樣本特征。DW統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差和均值均隨著樣本的增加而不斷的趨近于0，當(dāng)樣本無窮大時(shí)，DW統(tǒng)計(jì)量以概率收斂于0；DW統(tǒng)計(jì)量的偏度隨著樣本的增加并沒有發(fā)生太大的變化，而DW統(tǒng)計(jì)量的峰度和JB統(tǒng)計(jì)量隨著樣本的增減而遞增，其高峰、厚尾、右偏的分布特征并未隨著樣本的增加而改變。

2.3 t(α)的極限分布與樣本特征

t(α)為歸方程中常數(shù)項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量，出現(xiàn)謬誤回歸時(shí)，其極限分布與參數(shù)特征也同樣會(huì)發(fā)生改變。

從圖3中可知 t(α)為一個(gè)對(duì)稱分布，其偏度S=-0.0145＜0，峰度K=3.3347＞3（見表3），其極限分布不滿足正態(tài)分布的特征，呈現(xiàn)高峰、厚尾、左偏的分布特征。

圖3 t(α)的極限分布圖

表3 t(α)的樣本特征

從表3中可知，在謬誤回歸的前提下，t(α)的標(biāo)準(zhǔn)差是隨著樣本的增加而不斷遞增的，也就是說t(α)是發(fā)散的，并未收斂于某個(gè)值；t(α)的偏度隨著樣本的增加并未呈現(xiàn)出較強(qiáng)的規(guī)律性，但S值始終大于0，JB統(tǒng)計(jì)量隨著樣本的增加呈現(xiàn)遞增的趨勢(shì)，可以肯定的是t(α)的極限分布不再服從正態(tài)分布。

2.4 α的極限分布與樣本特征

α為回歸方程中常數(shù)項(xiàng)系數(shù)，在發(fā)生謬誤回歸時(shí)，其相關(guān)參數(shù)與各個(gè)統(tǒng)計(jì)量隨著樣本容量的增加發(fā)生著不同的變化，見表4，隨著樣本的增加，α的均值絕對(duì)值不斷遞增，同時(shí)α的標(biāo)準(zhǔn)差隨著樣本的增加也在不斷地遞增，也就是說α隨著樣本容量的增加而發(fā)散，并不會(huì)收斂與某一值。由于S不等于0、K不等于3，所以α的極限分布不再服從正態(tài)分布，但是在樣本為10000時(shí)α的S值有趨近于0，K值有趨近于3的趨勢(shì)，隨著樣本的無限擴(kuò)展α是否會(huì)近似服從正態(tài)分布這一論點(diǎn)需要更高級(jí)的計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬論證。但是本文傾向隨著樣本的無限擴(kuò)展，α仍然不會(huì)近似服從正態(tài)分布這一觀點(diǎn)。

2.5 t(β)的極限分布與樣本特征

t(β)是判別解釋變量系數(shù)是否顯著異于0的指標(biāo)，在經(jīng)典單方程回歸中t(β)是服從正態(tài)分布的，在發(fā)生謬誤回歸時(shí)，其分布也發(fā)生了顯著的變化。從圖4中可以看出|t(β)|＞1.96的頻數(shù)非常高，這意味著在對(duì)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)游走序列作模特卡羅模擬時(shí)，出現(xiàn)了謬誤回歸。t(β)的偏度S=0.02＞0，峰度K=3.75＞3（見表5），其極限分布為一個(gè)對(duì)稱分布，不再滿足正態(tài)分布的特征，呈現(xiàn)高峰、厚尾、右偏的分布特征。

表4 α的樣本特征

圖4 t(β)的極限分布圖

從表5中可以看出P值隨著樣本的增加而增加，也就是說隨著樣本的增加，出現(xiàn)謬誤回歸的可能性也在增加。

t(β)的標(biāo)準(zhǔn)差隨著樣本的增加不斷增大，可以認(rèn)定t(β)不會(huì)收斂于某一個(gè)值，也就是說 t(β)是發(fā)散的；t(β)的偏度、峰度以及JB統(tǒng)計(jì)量并不隨著樣本的增加有過多的改變。

2.6 β的極限分布與樣本特征

β為回歸方程的系數(shù)，在出現(xiàn)謬誤回歸后，β的偏度S隨著樣本的增加時(shí)而為正時(shí)而為負(fù)，峰度K值和JB統(tǒng)計(jì)量值呈不斷遞減的趨勢(shì)，S值有趨近于0的趨勢(shì)、K不斷趨近于3。在樣本為10000的模擬條件下，β的分布呈現(xiàn)高峰、厚尾、右偏的分布特征，但是隨著樣本的無限增加，其分布是否會(huì)出現(xiàn)近似正態(tài)分布的特征，這就需要更高級(jí)、運(yùn)算速度更快的計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬。本文傾向隨著樣本無限擴(kuò)展，β仍然不會(huì)近似服從正態(tài)分布這一觀點(diǎn)。

表6 β的樣本特征

β的均值呈現(xiàn)不斷遞增的趨勢(shì)，也就是回歸方程中解釋變量的系數(shù)異于0的趨勢(shì)在增強(qiáng)，β的標(biāo)準(zhǔn)差并未隨著樣本的增加有太大的變化，可以認(rèn)定β會(huì)收斂于某個(gè)常數(shù)。

3 結(jié)論

綜合理論分析與Monte Carlo模擬結(jié)果可以得出以下結(jié)論：

（1）出現(xiàn)謬誤回歸時(shí)，R2的極限分布不再服從正態(tài)分布，而是呈現(xiàn)低峰、薄尾、右偏的分布特征；R2的極限分布不會(huì)隨著樣本的增加而有所改變，但是R2＞0.5的頻數(shù)會(huì)隨著樣本的增加而遞增，所以樣本容量的增加不但不會(huì)弱化或者消除謬誤回歸現(xiàn)象，反而會(huì)增加出現(xiàn)謬誤回歸的可能性。

（2）出現(xiàn)謬誤回歸時(shí)，DW統(tǒng)計(jì)量的極限分布不再滿足正態(tài)分布，而是呈現(xiàn)高峰、厚尾、右偏的分布特征；DW統(tǒng)計(jì)量的極限分布并未受到樣本增加的影響；當(dāng)樣本無限大時(shí)，DW統(tǒng)計(jì)量依概率收斂于0。

（3）出現(xiàn)謬誤回歸時(shí)，隨著樣本容量的增加α不會(huì)收斂于某一個(gè)常數(shù)，也就是說α是發(fā)散的；隨著樣本的無限擴(kuò)展α是否會(huì)近似服從正態(tài)分布這一論點(diǎn)需要更高級(jí)的計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬論證，但是本文傾向認(rèn)同即使樣本無窮大α仍然不會(huì)近似服從正態(tài)分布這一觀點(diǎn)。t(α)的極限分布不再滿足正態(tài)分布而是呈現(xiàn)高峰、厚尾、左偏的分布特征，隨著樣本的增加，t(α)不會(huì)收斂于某個(gè)常數(shù)，同樣可以認(rèn)定t(α)是發(fā)散的。

（4）出現(xiàn)謬誤回歸時(shí)，在樣本為10000的模擬條件下，β的分布呈現(xiàn)高峰、厚尾、右偏的分布特征，但是樣本無窮大的情況下，其分布是否會(huì)出現(xiàn)近似正態(tài)分布的特征，這就需要更高級(jí)、運(yùn)算速度更快的計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬，本文傾向即使樣本無窮大，β仍然不會(huì)近似服從正態(tài)分布這一觀點(diǎn)；t(β)的極限分布為一個(gè)對(duì)稱分布，同樣不再滿足正態(tài)分布，而是呈現(xiàn)高峰、厚尾、右偏的分布特征，t(β)的標(biāo)準(zhǔn)差隨著樣本容量的增加而不斷增大，所以t(β)不會(huì)收斂于某個(gè)常數(shù)，也就是說t(β)是發(fā)散的。

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