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    一類二維HM方程局部光滑解的存在唯一性*

    2015-04-18 03:20:16朱美玲
    關(guān)鍵詞:內(nèi)積美玲楚雄

    陳 靜,朱美玲

    (1.楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,云南 楚雄 675000;2.云南經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院工程學(xué)院,云南 昆明 650000)

    一類二維HM方程局部光滑解的存在唯一性*

    陳 靜1,朱美玲2

    (1.楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,云南 楚雄 675000;2.云南經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院工程學(xué)院,云南 昆明 650000)

    本文先得到二維HM方程△ut-ut+vduy+J(u,△u)+△u=0的5個(gè)局部估計(jì),接著證明了該方程局部光滑解的存在唯一性.

    HM方程;局部估計(jì);局部光滑解

    1.引言

    在文獻(xiàn)[1]中周毓麟先生等考慮了廣義形式的流體動(dòng)力方程

    ut-△ut+J(u,△u)+A△ux+B△uy+f(u)x+g(u)y=h(u) 的周期初邊界問題和Cauchy問題. 在文獻(xiàn)[2]中,韓永前和郭柏林用半群的方法討論了二維HM方程

    ut-△ut+J(u,△u)+kuy=0 ,

    得到其弱解的存在唯一性. 在文獻(xiàn)[3]中,張瑞風(fēng)考慮了HM方程的整體吸引子. 在文獻(xiàn)[4]中,金珍考慮了HM方程

    ut-△ut+J(u,△u)+α△ux+γ△u+βux+vduy=f

    的周期解的存在性.陳靜在文獻(xiàn)[5]中討論了二維HM方程

    △ut-ut+vduy+J(u,△u)+△u=0

    弱解的存在性.

    本文進(jìn)一步考慮描述漂移波和離子聲波耦合非絕熱的電子響應(yīng)部分的非線性方程

    △ut-ut+vduy+J(u,△u)+△u=0

    (1.1)

    滿足周期邊界條件

    u(x+2D,y,t)=u(x,y+2D,t)=u(x+2D,y+2D,t)=u(x,y,t),(x,y)∈R2,t≥0

    (1.2)

    及初始條件u(x,y,0)=φ(x,y)

    (1.3)

    J(f,g)=?xf?yg-?yf?xg.

    2.局部估計(jì)

    引理1 若φ(x,y)∈H4(Q),則存在常數(shù)t0>0,使當(dāng)0≤t≤t0時(shí),對近似解uN(x,y,t)有估計(jì)式

    (2.1)

    證明 用2△3uN與(1.1)做內(nèi)積得

    從而有

    由Sobolev內(nèi)插值公式

    其中“·”表示兩個(gè)向量的點(diǎn)積,最后得

    推論1 在引理1的條件下,對近似解uN(x,y,t)有進(jìn)一步估計(jì)

    (2.2)

    (2.3)

    (2.4)

    其中p(2≤p<∞)由Sobolev空間的插值公式?jīng)Q定,K2,K3,K4是與N和Q無關(guān)的常數(shù),只與‖φ‖H4(Q)有關(guān).

    證明 由Sobolev插值公式可得(2.2)與(2.3).

    由于J(uN,△uN),J(uN,△uN)與在L∞(0,t0;H2(Q))上有界,得(2.4)成立.

    引理2 若φ(x,y)∈H2k+2(Q), (k≥1),則存在常數(shù)t0>0,當(dāng)0≤t≤t0時(shí),對近似解uN(x,y,t)有估計(jì)式

    (2.5)

    其中K5,t0是與N和Q無關(guān)的常數(shù),t0與‖φ‖H4(Q)有關(guān).

    證明 用2△2k+1uN與(1.1)作內(nèi)積得

    注意到

    因此

    于是

    引理2得證.

    推論2 在引理2的條件下,對近似解uN(x,,y,t)有估計(jì)式

    (2.6)

    引理3 若φ(x,y)∈H2k+1(Q),k≥2,對近似解uN(x,y,t)有估計(jì)式

    (2.7)

    其中K7,t0是與N和Q無關(guān)的常數(shù),而與‖φ‖H2k+1(Q)有關(guān).

    證明 用2△2kuN與(1.1)作內(nèi)積得

    引理4k≥1時(shí),若φ(x,y)∈Hk+3(Q),對近似解uN(x,y,t)有估計(jì)式

    (2.8)

    其中l(wèi)=0, 1, …,k+1,K8,t0是與N和Q無關(guān)的常數(shù),而與‖φ‖Hk+3(Q)有關(guān).

    證明l=0,l=1時(shí),從引理1—引理3及其推論可得結(jié)論. 下證l≥2的情形.

    由文獻(xiàn)[5]得

    (2.9)

    (2.9)對t求m階導(dǎo)數(shù)得

    (2.10)

    當(dāng)k-m為偶數(shù)時(shí),令k+1-m=2k′-1,則

    當(dāng)k-m為奇數(shù)時(shí),令k+1-m=2k′,則

    同理可得‖utm+1N(.,.,t)‖Hk+2-m(Q)=‖‖是有界的.

    于是引理得證.

    3.局部光滑解的存在唯一性

    定理1 若初始函數(shù)φ(x,y)∈Hk+3(Q)且滿足周期邊值條件,則存在常數(shù)t0>0,使u(x,y,t)∈W(Qt0)是問題(1.1)-(1.3)的局部光滑解.

    定理2 在定理1的條件下,問題(1.1)-(1.3)的局部光滑解

    (3.1)

    方程(3.1)與w(x,y,t)作內(nèi)積得

    (3.2)

    注意到

    再利用[5]中的以下估計(jì)式

    和(2.1),(3.2) 可化為

    由Grounwall不等式得‖w(.,.,t)及‖w(.,.,t),

    [1]ZhouYulin,GuoBolingandZhangLinghai.PeriodicboundaryproblemandCauchyproblemforthefluiddynamicequationingeophysics[J].PartialDiff.Eqs, 1993, 6:173—192.

    [2]GuoBoling,HanYongqian.ExistenceanduniquenessofglobalsolutionoftheHMequation[J].Math.Phys., 2004, 45:1639—1647.

    [3]ZhangRuifengandGuoBoling.GlobalattractorforHM[J].AppliedMathematicsandMechanics, 2006, 27(5):567—574.

    [4]金珍.一類HM方程周期解的存在性[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào),2008,32(5):593—596.

    [5]陳靜,朱美玲.一類二維HM方程弱解的存在性[J].楚雄師范學(xué)院學(xué)報(bào),2014,29(9):6—10.

    (責(zé)任編輯 李艷梅)

    The Unique Existence of the Local Smooth Solution to the HM Equation in Two Dimension

    CHEN Jing1& ZHU Meiling2

    (1.SchoolofMathematicsandStatistics,ChuxiongNormalUniversity,Chuxiong, 675000,YunnanProvince;2.SchoolofEngineering,YunnanUniversityofBusinessManagement,Kunming, 650000,YunnanProvince)

    In this paper, we firstly get five local estimates about HM Equation △ut-ut+vduy+J(u,△u)+△u=0intwo-dimension,thentheuniqueexistenceofthelocalsmoothsolutionabouttheHMEquationisproved.

    HM Equation ;local estimate ;the local smooth solution

    楚雄師范學(xué)院學(xué)術(shù)后備人才項(xiàng)目,項(xiàng)目編號:11YJRC12。

    2015 - 04 - 23

    陳 靜(1975—),女,副教授,研究方向:微分方程。

    O

    A

    1671 - 7406(2015)06 - 0005 - 04

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