一類二維HM方程局部光滑解的存在唯一性*

陳 靜，朱美玲

(1.楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 楚雄 675000；2.云南經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院工程學(xué)院，云南 昆明 650000)

一類二維HM方程局部光滑解的存在唯一性*

陳 靜1，朱美玲2

(1.楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 楚雄 675000；2.云南經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院工程學(xué)院，云南 昆明 650000)

本文先得到二維HM方程△ut-ut+vduy+J(u，△u)+△u=0的5個(gè)局部估計(jì)，接著證明了該方程局部光滑解的存在唯一性.

HM方程；局部估計(jì)；局部光滑解

1.引言

在文獻(xiàn)[1]中周毓麟先生等考慮了廣義形式的流體動(dòng)力方程

ut-△ut+J(u,△u)+A△ux+B△uy+f(u)x+g(u)y=h(u) 的周期初邊界問題和Cauchy問題. 在文獻(xiàn)[2]中,韓永前和郭柏林用半群的方法討論了二維HM方程

ut-△ut+J(u,△u)+kuy=0 ,

得到其弱解的存在唯一性. 在文獻(xiàn)[3]中，張瑞風(fēng)考慮了HM方程的整體吸引子. 在文獻(xiàn)[4]中，金珍考慮了HM方程

ut-△ut+J(u,△u)+α△ux+γ△u+βux+vduy=f

的周期解的存在性.陳靜在文獻(xiàn)[5]中討論了二維HM方程

△ut-ut+vduy+J(u,△u)+△u=0

弱解的存在性.

本文進(jìn)一步考慮描述漂移波和離子聲波耦合非絕熱的電子響應(yīng)部分的非線性方程

△ut-ut+vduy+J(u,△u)+△u=0

(1.1)

滿足周期邊界條件

u(x+2D,y,t)=u(x,y+2D,t)=u(x+2D,y+2D,t)=u(x,y,t)，(x,y)∈R2,t≥0

(1.2)

及初始條件u(x,y,0)=φ(x,y)

(1.3)

J(f,g)=?xf?yg-?yf?xg.

2.局部估計(jì)

引理1 若φ(x,y)∈H4(Q)，則存在常數(shù)t0>0，使當(dāng)0≤t≤t0時(shí)，對近似解uN(x,y,t)有估計(jì)式

(2.1)

證明 用2△3uN與(1.1)做內(nèi)積得

從而有

由Sobolev內(nèi)插值公式

其中“·”表示兩個(gè)向量的點(diǎn)積,最后得

推論1 在引理1的條件下，對近似解uN(x,y,t)有進(jìn)一步估計(jì)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

其中p(2≤p<∞)由Sobolev空間的插值公式?jīng)Q定，K2,K3,K4是與N和Q無關(guān)的常數(shù)，只與‖φ‖H4(Q)有關(guān).

證明 由Sobolev插值公式可得(2.2)與(2.3).

由于J(uN,△uN),J(uN，△uN)與在L∞(0,t0;H2(Q))上有界，得(2.4)成立.

引理2 若φ(x,y)∈H2k+2(Q), (k≥1)，則存在常數(shù)t0>0，當(dāng)0≤t≤t0時(shí)，對近似解uN(x,y,t)有估計(jì)式

(2.5)

其中K5，t0是與N和Q無關(guān)的常數(shù)，t0與‖φ‖H4(Q)有關(guān).

證明 用2△2k+1uN與(1.1)作內(nèi)積得

注意到

因此

于是

引理2得證.

推論2 在引理2的條件下，對近似解uN(x,,y,t)有估計(jì)式

(2.6)

則

引理3 若φ(x,y)∈H2k+1(Q)，k≥2，對近似解uN(x,y,t)有估計(jì)式

(2.7)

其中K7，t0是與N和Q無關(guān)的常數(shù)，而與‖φ‖H2k+1(Q)有關(guān).

證明 用2△2kuN與(1.1)作內(nèi)積得

引理4k≥1時(shí)，若φ(x,y)∈Hk+3(Q)，對近似解uN(x,y,t)有估計(jì)式

(2.8)

其中l(wèi)=0, 1, …,k+1,K8,t0是與N和Q無關(guān)的常數(shù)，而與‖φ‖Hk+3(Q)有關(guān).

證明l=0,l=1時(shí)，從引理1—引理3及其推論可得結(jié)論. 下證l≥2的情形.

記

由文獻(xiàn)[5]得

(2.9)

(2.9)對t求m階導(dǎo)數(shù)得

(2.10)

當(dāng)k-m為偶數(shù)時(shí)，令k+1-m=2k′-1，則

當(dāng)k-m為奇數(shù)時(shí)，令k+1-m=2k′，則

同理可得‖utm+1N(.,.,t)‖Hk+2-m(Q)=‖‖是有界的.

于是引理得證.

3.局部光滑解的存在唯一性

定理1 若初始函數(shù)φ(x,y)∈Hk+3(Q)且滿足周期邊值條件，則存在常數(shù)t0>0,使u(x,y,t)∈W(Qt0)是問題(1.1)-(1.3)的局部光滑解.

定理2 在定理1的條件下，問題(1.1)-(1.3)的局部光滑解

(3.1)

方程(3.1)與w(x,y,t)作內(nèi)積得

(3.2)

注意到

再利用[5]中的以下估計(jì)式

和(2.1),(3.2) 可化為

由Grounwall不等式得‖w(.,.,t)及‖w(.,.,t),

[1]ZhouYulin,GuoBolingandZhangLinghai.PeriodicboundaryproblemandCauchyproblemforthefluiddynamicequationingeophysics[J].PartialDiff.Eqs, 1993, 6：173—192.

[2]GuoBoling,HanYongqian.ExistenceanduniquenessofglobalsolutionoftheHMequation[J].Math.Phys., 2004, 45：1639—1647.

[3]ZhangRuifengandGuoBoling.GlobalattractorforHM[J].AppliedMathematicsandMechanics, 2006, 27(5)：567—574.

[4]金珍.一類HM方程周期解的存在性[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，32(5):593—596.

[5]陳靜,朱美玲.一類二維HM方程弱解的存在性[J].楚雄師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，29(9)：6—10.

(責(zé)任編輯 李艷梅)

The Unique Existence of the Local Smooth Solution to the HM Equation in Two Dimension

CHEN Jing1& ZHU Meiling2

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,ChuxiongNormalUniversity,Chuxiong, 675000,YunnanProvince;2.SchoolofEngineering,YunnanUniversityofBusinessManagement,Kunming, 650000,YunnanProvince)

In this paper, we firstly get five local estimates about HM Equation △ut-ut+vduy+J(u，△u)+△u=0intwo-dimension,thentheuniqueexistenceofthelocalsmoothsolutionabouttheHMEquationisproved.

HM Equation ；local estimate ；the local smooth solution

楚雄師范學(xué)院學(xué)術(shù)后備人才項(xiàng)目，項(xiàng)目編號：11YJRC12。

2015 - 04 - 23

陳 靜(1975—)，女，副教授，研究方向：微分方程。

O

A

1671 - 7406(2015)06 - 0005 - 04