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    阻尼對三自由度彈性碰撞系統(tǒng)周期運動倍化分岔的影響研究

    2015-04-18 08:03:20汪少銘劉永葆賈小權趙雄飛
    關鍵詞:龐加萊乘子阻尼

    王 強 汪少銘 劉永葆 賈小權 趙雄飛 董 瑞

    (海軍工程大學動力工程學院1) 武漢 430030) (海軍東海艦隊艦艇訓練中心2) 上海 201900)(海軍駐哈爾濱703所軍事代表室3) 哈爾濱 150078) (海軍旅順裝備技術質量監(jiān)測站91315部隊4) 旅順 116041)

    0 引 言

    在機械設備中,由于故障間隙導致的系統(tǒng)碰撞振動時有發(fā)生,系統(tǒng)阻尼對系統(tǒng)的其非線性動力學行為也有密切關系。趙文禮等[1]對碰撞阻尼器振動系統(tǒng)推導了周期解存在的條件,并利用Poincare映射和數(shù)字仿真研究了該系統(tǒng)的倍周期分岔、HOPF分岔及擬周期環(huán)面破裂等分岔進入混沌運動的非線性行為。戎海武等[2]用Zhuravlev變換將碰撞系統(tǒng)轉化為速度連續(xù)的非碰撞系統(tǒng),然后用隨機平均法得到了關于慢變量的隨機微分方程,討論了系統(tǒng)阻尼項、非線性項、隨機擾動項和碰撞恢復系數(shù)等參數(shù)對于系統(tǒng)響應的影響。劉莉等[3]以一類含非黏滯阻尼的Duffing單邊碰撞系統(tǒng)為研究對象,運用復合胞坐標系方法,分析了該系統(tǒng)的全局分岔特性,發(fā)現(xiàn),隨著阻尼系數(shù)、松弛參數(shù)及恢復系數(shù)的變化,系統(tǒng)發(fā)生混沌吸引子與其吸引域內的混沌鞍發(fā)生碰撞而產生的內部激變和混沌吸引子與吸引域邊界上的周期鞍(混沌鞍)發(fā)生碰撞而產生的常規(guī)邊界激變。徐慧東等[4]研究了一類兩自由度分段線性彈性系統(tǒng)Nermark-Sacker分岔、倍化分岔、亞諧分岔現(xiàn)象。徐斌等[5]針對平面上的分段線性連續(xù)系統(tǒng),研究了同宿軌的存在性及同宿分岔問題。朱喜鋒等[6]研究了兩自由度含間隙彈性碰撞系統(tǒng)模型,分析了該系統(tǒng)在低頻下單周期多碰撞周期運動及顫振運動特性及轉遷規(guī)律。國外,Shaw等[7]對一類在簡諧激振力作用下有單側約束的單自由度振子做了研究,用中心流形定理分析了周期運動的局部分岔,并通過同宿相截條件討論了混沌運動。Peterka[8]研究了具有粘滯阻尼的碰撞振子中的擦邊分岔、周期倍化分岔和鞍結分岔之間的轉遷現(xiàn)象。K.Czotlczyński[9]研究了氣動軸承的線性、非線性剛度和阻尼系數(shù)確定方法,找到其阻尼系數(shù)與軸承參數(shù)與外部負載,角速度和振動頻率的關系。Leine等[10]對非光滑系統(tǒng)周期解的不連續(xù)分岔作了進一步的研究,分析了伴隨基解矩陣的跳躍而發(fā)生的各種不連續(xù)分岔現(xiàn)象。Luo等[11]研究了一個分段線性周期激勵系統(tǒng),通過建立相應映射,研究各類穩(wěn)定和不穩(wěn)定的周期運動。雖然國內外學者在非光滑領域進行了大量的研究,取得了豐碩的成果,但其選擇一般是低維自由度數(shù),且是固定的碰撞面,而在大多數(shù)設備運行中質塊發(fā)生故障碰撞都是相對移動的。因此本文基于非線性理論,建立三自由度移動碰撞面非光滑模型,首次從理論結合數(shù)值仿真研究了該情況下系統(tǒng)由倍化分岔通向混沌的非線性行為,同時分析了阻尼對系統(tǒng)分岔、混沌等非線性行為的影響,為設備設計及故障診斷提供依據(jù)并為大型設備的運轉和故障分析提供技術支持。

    1 三自由度彈性碰撞系統(tǒng)的運動及分析過程

    首先,建立三自由度分段彈性模型,見圖1.M1,M2,M3分別為3個物體的質量;X1,X2,X3分別為M1,M2,M3的運動的位移;C1,C2,C3分別為M1與M2的阻尼,M2與M3之間阻尼,M3與固定端阻尼;K1,K2,K3分別為3個物體之間的剛度,K4為碰撞時質塊突變的接觸剛度;F1sin(Ω1T),F(xiàn)2sin(Ω2T)分別為作用在 M1,M2的等效作用力;D為碰撞間隙;Ω1與Ω2分別為質塊M1,M2,的旋轉頻率.

    圖1 三自由度移動碰撞面彈性系統(tǒng)模型

    圖2 系統(tǒng)二維相平面圖

    為了描述該系統(tǒng)的運動過程,引入一個分界面.首先定義邊界函數(shù),E=X1-X2-D,分界面可表示為

    該分界面用來區(qū)分物塊M1與M2剛接觸或分離的狀態(tài),分別表示碰撞前的系統(tǒng)運動區(qū)間V-,碰撞后的運動區(qū)間V+,這樣狀態(tài)空間被分界面分成2部分,見圖2.圖中:V+= {X ∈(X1,X2)>0}表示物塊與斷彈簧K4接觸狀態(tài);V-= {X ∈(X1,X2)<0} 表示物塊與斷彈簧K4分離狀態(tài).

    根據(jù)上面的分析,可建立系統(tǒng)的運動學方程:

    2 系統(tǒng)周期運動倍化分岔的Floquet特征乘子分析

    將系統(tǒng)(3)和(4)寫為如下的規(guī)范式:

    設系統(tǒng)(5)的一個解x(t)從區(qū)域v-出發(fā),即x(t0)∈v-.在t=tp時刻到達分界面∑.系統(tǒng)在區(qū)間B={t∈≤t≤tp}是連續(xù)的,相應的基解矩陣也是連續(xù)的.然而由于向量場f(t,x(t))在分界面處的非光滑性使得相應的Jacobian矩陣在分界面處通常是不連續(xù)的,這將引起系統(tǒng)整個基解矩陣不連續(xù),因此在不連續(xù)處需要求出相應的切換矩陣.

    下面求分界面處的切換矩陣.

    1)從區(qū)域v-進入?yún)^(qū)域v+時,對超平面∑:e=x1-x2-d=0,有法向量n= [1,0,1,0,0,0]T,設一周期解x(t)到達分界面∑的時間為t1并交于點xt1.在t1時刻計算切換矩陣如下.

    2)從區(qū)域v+進入?yún)^(qū)域v-,設周期解x(t)到達分界面∑的時間為t2并交于點,在時刻t2有切換矩陣

    下面求各光滑區(qū)域的基解矩陣.在區(qū)域v-系統(tǒng)的運動方程為

    方程(10)的擾動在周期解x(t)處線性化系統(tǒng)的基解矩陣為

    將切換矩陣(8)和(9)結合各子空間相應的基解矩陣(13)和(14)經過合成可得全局的單值矩陣.

    于是系統(tǒng)的Floquet特征乘子即為單值矩陣(15)的特征值.對于系統(tǒng)(5)這樣的非光滑系統(tǒng),由于分界面是光滑的,系統(tǒng)的Floquet特征乘子是連續(xù)穿越單位圓周的.當有一個Floquet特征乘子沿實軸從(-1,0)穿出單位圓,其他特征乘子仍位于單位圓內時,系統(tǒng)(5)穩(wěn)定的周期解將發(fā)生倍化分岔.

    3 數(shù)值分析

    為了通過數(shù)值仿真進一步揭示滾動軸承系統(tǒng)(3)和(4)的倍化分岔通向混沌的現(xiàn)象,在分界面∑處取Poincare截面如下.

    式中:θ=ω1t;b=R(mod 2π)為1個實數(shù)對2π取余數(shù).

    選取系統(tǒng)(3)和(4)的一組無量綱化參數(shù):d=0.001;f1=20;f2=0;m2=0.02;m3=30;ζ1=0.05;ζ2=0.08;ζ3=0.02;k2=50;k3=80;k4=10.以旋轉頻率ω1為分岔參數(shù).

    當ω1=2.283 353 17;時(ωs為系統(tǒng)臨界分岔的旋轉頻率),系統(tǒng)對應的其中一個Floquet特征乘子為λ1=λ(ωs)=-0.999 998,接近單位圓周上的(-1,0)點;其他的特征值

    仍在單位圓周內.由此可見系統(tǒng)在ω1=2.289 667 851 2時發(fā)生了倍化分岔.系統(tǒng)隨ω1變化的分岔圖見圖3.

    圖3 系統(tǒng)的分岔圖

    圖4 ω1=2.25時單周期運動的相圖和龐加萊截面圖

    圖5 ω1=2.284時周期二運動的相圖和龐加萊截面圖

    由圖3可見,系統(tǒng)起初處于穩(wěn)定的單周期運動(見圖4).當ω1=2.283 353 17;時,系統(tǒng)經歷倍化分岔并過渡到周期二運動 (見圖5~6).隨著旋轉頻率ω1的增加,在ω1=2.35時,系統(tǒng)處于周期四運動(見圖7),在ω1=2.42時系統(tǒng)處于周期八運動(見圖8),當旋轉頻率進一步增加時,系統(tǒng)最終通向了混沌運動(見圖9),如龐相萊截面上的奇怪吸引子.

    圖6 ω1=2.3時周期二運動的相圖和龐加萊截面圖

    圖7 ω1=2.35時周期四運動的相圖和龐加萊截面圖

    圖8 ω1=2.42時周期八運動的相圖和龐加萊截面圖

    同時研究了不同的阻尼系數(shù)對系統(tǒng)分岔的影響(見圖10),從圖10可以明顯看出,阻尼系數(shù)增加對系統(tǒng)的振動有很大的衰減作用,隨著阻尼系數(shù)的增大,系統(tǒng)的混沌狀態(tài)和分岔形式都變的簡單,尤其是圖10c),在旋轉頻率ω1相同的范圍內,系統(tǒng)只出現(xiàn)了一個簡單的倍化分岔.

    圖9 ω1=2.44時運動的相圖和龐加萊截面圖

    圖10 不同的阻尼系數(shù)對系統(tǒng)分岔的影響

    4 結束語

    文中建立了三自由移動碰撞面非光滑系統(tǒng)模型,應用Floquet理論分析了該系統(tǒng)周期運動發(fā)生倍化分岔的條件.結果表明系統(tǒng)有1個Floquet特征乘子接近-1,其余Floquet特征乘子的模都小于1,系統(tǒng)在該點發(fā)生了倍化分岔,數(shù)值仿真進一步研究了系統(tǒng)由倍周期分岔通向混沌的非線性現(xiàn)象.同時研究不同的阻尼系數(shù)對系統(tǒng)分岔的影響,發(fā)現(xiàn)增大阻尼可以有效的減少系統(tǒng)的分岔混沌等非線性行為,該項研究可以為實際設計提供理論指導.

    [1]趙文禮,周曉軍.碰撞阻尼器系統(tǒng)的分岔、混沌與控制[J].振動工程學報,2007,20(2):161-167.

    [2]劉 莉,徐 偉,岳曉樂,等.一類含非黏滯阻尼的Duffing單邊碰撞系統(tǒng)的激變研究[J].物理學報,2013,62(20):1-8.

    [3]戎海武,王向東,徐 偉,等.窄帶隨機噪聲作用下單自由度非線性碰撞系統(tǒng)的響應[J].應用力學學報,2010,27(1):73-82.

    [4]徐慧東,謝建華.一類兩自由度分段線性非光滑系統(tǒng)的分岔與混沌[J].振動工程學報,2008,21(3):279-286.

    [5]徐 斌,唐 云,楊鳳紅,等.分段線性連續(xù)系統(tǒng)中的同宿分岔[J].動力學與控制學報,2013,11(1):31-35.

    [6]朱喜鋒,曹興瀟.兩自由度彈性碰撞系統(tǒng)的顫振運動及轉遷規(guī)律[J].蘭州交通大學學報,2014,33(4):191-195.

    [7]SHAW S W,HOLMES P J.A periodically forced piecewise linear oscillator[J].Journal of Sound and Vibration,1983,90(1):129-155.

    [8]PETERKA E.Bifurcation and transition phenomena in an impact oscillator[J].Chaos,Solitons and Fractals,1996,7(10):1635-1647.

    [9]CZOTLCZY?SKI K.How to obtain stiffness and damping coefficients of gas bearings[J].Wear,1996,201:265-275.

    [10]LEINE R I,NIJMEIJER H.Dynamics and Bifurcation of Non-Smooth Mechanical Systems[M].Berlin:Springer,2004.

    [11]LUO A C J,CHEN L.Periodic motions and grazing in a harmonically forced,piecewise,linear oscillator with impacts[J].Chaos,Solitons and Fractals,2005,24:567-578.

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