阻尼對三自由度彈性碰撞系統(tǒng)周期運動倍化分岔的影響研究

王 強 汪少銘 劉永葆 賈小權 趙雄飛 董 瑞

（海軍工程大學動力工程學院1） 武漢 430030） （海軍東海艦隊艦艇訓練中心2） 上海 201900）（海軍駐哈爾濱703所軍事代表室3） 哈爾濱 150078） （海軍旅順裝備技術質量監(jiān)測站91315部隊4） 旅順 116041）

0 引 言

在機械設備中，由于故障間隙導致的系統(tǒng)碰撞振動時有發(fā)生，系統(tǒng)阻尼對系統(tǒng)的其非線性動力學行為也有密切關系。趙文禮等［1］對碰撞阻尼器振動系統(tǒng)推導了周期解存在的條件，并利用Poincare映射和數(shù)字仿真研究了該系統(tǒng)的倍周期分岔、HOPF分岔及擬周期環(huán)面破裂等分岔進入混沌運動的非線性行為。戎海武等［2］用Zhuravlev變換將碰撞系統(tǒng)轉化為速度連續(xù)的非碰撞系統(tǒng)，然后用隨機平均法得到了關于慢變量的隨機微分方程，討論了系統(tǒng)阻尼項、非線性項、隨機擾動項和碰撞恢復系數(shù)等參數(shù)對于系統(tǒng)響應的影響。劉莉等［3］以一類含非黏滯阻尼的Duffing單邊碰撞系統(tǒng)為研究對象，運用復合胞坐標系方法，分析了該系統(tǒng)的全局分岔特性，發(fā)現(xiàn)，隨著阻尼系數(shù)、松弛參數(shù)及恢復系數(shù)的變化，系統(tǒng)發(fā)生混沌吸引子與其吸引域內的混沌鞍發(fā)生碰撞而產生的內部激變和混沌吸引子與吸引域邊界上的周期鞍（混沌鞍）發(fā)生碰撞而產生的常規(guī)邊界激變。徐慧東等［4］研究了一類兩自由度分段線性彈性系統(tǒng)Nermark－Sacker分岔、倍化分岔、亞諧分岔現(xiàn)象。徐斌等［5］針對平面上的分段線性連續(xù)系統(tǒng)，研究了同宿軌的存在性及同宿分岔問題。朱喜鋒等［6］研究了兩自由度含間隙彈性碰撞系統(tǒng)模型，分析了該系統(tǒng)在低頻下單周期多碰撞周期運動及顫振運動特性及轉遷規(guī)律。國外，Shaw等［7］對一類在簡諧激振力作用下有單側約束的單自由度振子做了研究，用中心流形定理分析了周期運動的局部分岔，并通過同宿相截條件討論了混沌運動。Peterka［8］研究了具有粘滯阻尼的碰撞振子中的擦邊分岔、周期倍化分岔和鞍結分岔之間的轉遷現(xiàn)象。K.Czotlczyński［9］研究了氣動軸承的線性、非線性剛度和阻尼系數(shù)確定方法，找到其阻尼系數(shù)與軸承參數(shù)與外部負載，角速度和振動頻率的關系。Leine等［10］對非光滑系統(tǒng)周期解的不連續(xù)分岔作了進一步的研究，分析了伴隨基解矩陣的跳躍而發(fā)生的各種不連續(xù)分岔現(xiàn)象。Luo等［11］研究了一個分段線性周期激勵系統(tǒng)，通過建立相應映射，研究各類穩(wěn)定和不穩(wěn)定的周期運動。雖然國內外學者在非光滑領域進行了大量的研究，取得了豐碩的成果，但其選擇一般是低維自由度數(shù)，且是固定的碰撞面，而在大多數(shù)設備運行中質塊發(fā)生故障碰撞都是相對移動的。因此本文基于非線性理論，建立三自由度移動碰撞面非光滑模型，首次從理論結合數(shù)值仿真研究了該情況下系統(tǒng)由倍化分岔通向混沌的非線性行為，同時分析了阻尼對系統(tǒng)分岔、混沌等非線性行為的影響，為設備設計及故障診斷提供依據(jù)并為大型設備的運轉和故障分析提供技術支持。

1 三自由度彈性碰撞系統(tǒng)的運動及分析過程

首先，建立三自由度分段彈性模型，見圖1.M1，M2，M3分別為3個物體的質量；X1，X2，X3分別為M1，M2，M3的運動的位移；C1，C2，C3分別為M1與M2的阻尼，M2與M3之間阻尼，M3與固定端阻尼；K1，K2，K3分別為3個物體之間的剛度，K4為碰撞時質塊突變的接觸剛度；F1sin（Ω1T），F(xiàn)2sin（Ω2T）分別為作用在 M1，M2的等效作用力；D為碰撞間隙；Ω1與Ω2分別為質塊M1，M2，的旋轉頻率.

圖1 三自由度移動碰撞面彈性系統(tǒng)模型

圖2 系統(tǒng)二維相平面圖

為了描述該系統(tǒng)的運動過程，引入一個分界面.首先定義邊界函數(shù)，E＝X1－X2－D，分界面可表示為

該分界面用來區(qū)分物塊M1與M2剛接觸或分離的狀態(tài)，分別表示碰撞前的系統(tǒng)運動區(qū)間V－，碰撞后的運動區(qū)間V＋，這樣狀態(tài)空間被分界面分成2部分，見圖2.圖中：V＋＝ ｛X ∈（X1，X2）＞0｝表示物塊與斷彈簧K4接觸狀態(tài)；V－＝ ｛X ∈（X1，X2）＜0｝ 表示物塊與斷彈簧K4分離狀態(tài).

根據(jù)上面的分析，可建立系統(tǒng)的運動學方程：

2 系統(tǒng)周期運動倍化分岔的Floquet特征乘子分析

將系統(tǒng)（3）和（4）寫為如下的規(guī)范式：

設系統(tǒng)（5）的一個解x（t）從區(qū)域v－出發(fā)，即x（t0）∈v－.在t＝tp時刻到達分界面∑.系統(tǒng)在區(qū)間B＝｛t∈≤t≤tp｝是連續(xù)的，相應的基解矩陣也是連續(xù)的.然而由于向量場f（t，x（t））在分界面處的非光滑性使得相應的Jacobian矩陣在分界面處通常是不連續(xù)的，這將引起系統(tǒng)整個基解矩陣不連續(xù)，因此在不連續(xù)處需要求出相應的切換矩陣.

下面求分界面處的切換矩陣.

1）從區(qū)域v－進入?yún)^(qū)域v＋時，對超平面∑：e＝x1－x2－d＝0，有法向量n＝ ［1，0，1，0，0，0］T，設一周期解x（t）到達分界面∑的時間為t1并交于點xt1.在t1時刻計算切換矩陣如下.

2）從區(qū)域v＋進入?yún)^(qū)域v－，設周期解x（t）到達分界面∑的時間為t2并交于點，在時刻t2有切換矩陣

下面求各光滑區(qū)域的基解矩陣.在區(qū)域v－系統(tǒng)的運動方程為

方程（10）的擾動在周期解x（t）處線性化系統(tǒng)的基解矩陣為

將切換矩陣（8）和（9）結合各子空間相應的基解矩陣（13）和（14）經過合成可得全局的單值矩陣.

于是系統(tǒng)的Floquet特征乘子即為單值矩陣（15）的特征值.對于系統(tǒng)（5）這樣的非光滑系統(tǒng)，由于分界面是光滑的，系統(tǒng)的Floquet特征乘子是連續(xù)穿越單位圓周的.當有一個Floquet特征乘子沿實軸從（－1，0）穿出單位圓，其他特征乘子仍位于單位圓內時，系統(tǒng)（5）穩(wěn)定的周期解將發(fā)生倍化分岔.

3 數(shù)值分析

為了通過數(shù)值仿真進一步揭示滾動軸承系統(tǒng)（3）和（4）的倍化分岔通向混沌的現(xiàn)象，在分界面∑處取Poincare截面如下.

式中：θ＝ω1t；b＝R（mod 2π）為1個實數(shù)對2π取余數(shù).

選取系統(tǒng)（3）和（4）的一組無量綱化參數(shù)：d＝0.001；f1＝20；f2＝0；m2＝0.02；m3＝30；ζ1＝0.05；ζ2＝0.08；ζ3＝0.02；k2＝50；k3＝80；k4＝10.以旋轉頻率ω1為分岔參數(shù).

當ω1＝2.283 353 17；時（ωs為系統(tǒng)臨界分岔的旋轉頻率），系統(tǒng)對應的其中一個Floquet特征乘子為λ1＝λ（ωs）＝－0.999 998，接近單位圓周上的（－1，0）點；其他的特征值

仍在單位圓周內.由此可見系統(tǒng)在ω1＝2.289 667 851 2時發(fā)生了倍化分岔.系統(tǒng)隨ω1變化的分岔圖見圖3.

圖3 系統(tǒng)的分岔圖

圖4 ω1＝2.25時單周期運動的相圖和龐加萊截面圖

圖5 ω1＝2.284時周期二運動的相圖和龐加萊截面圖

由圖3可見，系統(tǒng)起初處于穩(wěn)定的單周期運動（見圖4）.當ω1＝2.283 353 17；時，系統(tǒng)經歷倍化分岔并過渡到周期二運動 （見圖5～6）.隨著旋轉頻率ω1的增加，在ω1＝2.35時，系統(tǒng)處于周期四運動（見圖7），在ω1＝2.42時系統(tǒng)處于周期八運動（見圖8），當旋轉頻率進一步增加時，系統(tǒng)最終通向了混沌運動（見圖9），如龐相萊截面上的奇怪吸引子.

圖6 ω1＝2.3時周期二運動的相圖和龐加萊截面圖

圖7 ω1＝2.35時周期四運動的相圖和龐加萊截面圖

圖8 ω1＝2.42時周期八運動的相圖和龐加萊截面圖

同時研究了不同的阻尼系數(shù)對系統(tǒng)分岔的影響（見圖10），從圖10可以明顯看出，阻尼系數(shù)增加對系統(tǒng)的振動有很大的衰減作用，隨著阻尼系數(shù)的增大，系統(tǒng)的混沌狀態(tài)和分岔形式都變的簡單，尤其是圖10c），在旋轉頻率ω1相同的范圍內，系統(tǒng)只出現(xiàn)了一個簡單的倍化分岔.

圖9 ω1＝2.44時運動的相圖和龐加萊截面圖

圖10 不同的阻尼系數(shù)對系統(tǒng)分岔的影響

4 結束語

文中建立了三自由移動碰撞面非光滑系統(tǒng)模型，應用Floquet理論分析了該系統(tǒng)周期運動發(fā)生倍化分岔的條件.結果表明系統(tǒng)有1個Floquet特征乘子接近－1，其余Floquet特征乘子的模都小于1，系統(tǒng)在該點發(fā)生了倍化分岔，數(shù)值仿真進一步研究了系統(tǒng)由倍周期分岔通向混沌的非線性現(xiàn)象.同時研究不同的阻尼系數(shù)對系統(tǒng)分岔的影響，發(fā)現(xiàn)增大阻尼可以有效的減少系統(tǒng)的分岔混沌等非線性行為，該項研究可以為實際設計提供理論指導.

［1］趙文禮，周曉軍.碰撞阻尼器系統(tǒng)的分岔、混沌與控制［J］.振動工程學報，2007，20（2）：161－167.

［2］劉 莉，徐 偉，岳曉樂，等.一類含非黏滯阻尼的Duffing單邊碰撞系統(tǒng)的激變研究［J］.物理學報，2013，62（20）：1－8.

［3］戎海武，王向東，徐 偉，等.窄帶隨機噪聲作用下單自由度非線性碰撞系統(tǒng)的響應［J］.應用力學學報，2010，27（1）：73－82.

［4］徐慧東，謝建華.一類兩自由度分段線性非光滑系統(tǒng)的分岔與混沌［J］.振動工程學報，2008，21（3）：279－286.

［5］徐 斌，唐 云，楊鳳紅，等.分段線性連續(xù)系統(tǒng)中的同宿分岔［J］.動力學與控制學報，2013，11（1）：31－35.

［6］朱喜鋒，曹興瀟.兩自由度彈性碰撞系統(tǒng)的顫振運動及轉遷規(guī)律［J］.蘭州交通大學學報，2014，33（4）：191－195.

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［10］LEINE R I，NIJMEIJER H.Dynamics and Bifurcation of Non－Smooth Mechanical Systems［M］.Berlin：Springer，2004.

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