同課異構(gòu)中的“同”與“異”

◎福建省福州第二中學(xué) 林 雄

同課異構(gòu)中的“同”與“異”

◎福建省福州第二中學(xué) 林 雄

不同教師有不同的知識背景、學(xué)習(xí)經(jīng)歷、情感體驗，教學(xué)現(xiàn)場呈現(xiàn)的學(xué)生實際情況也不同，自然就建構(gòu)出不同的教學(xué)設(shè)計，處理手法，呈現(xiàn)出不同教學(xué)風(fēng)格，其折射出的設(shè)計理念，思考模式的差異性等等，都值得我們潛心揣摩并學(xué)以致用．文章通過對四節(jié)同課異構(gòu)課中“同”與“異”的比較和分析，提出一些個人的看法與建議．

同課異構(gòu)；“同”；“異”

2013年11月20日，筆者觀摩了福州一中的教學(xué)觀摩周活動，來自南京師大附中、柘榮一中的兩位老師（丁老師和袁老師）與福州一中的兩位老師（危老師和郭老師）圍繞《平面》這節(jié)課開展了“同課異構(gòu)”活動.他們的課精彩紛呈，各具特色，讓我受益匪淺，下面就這四節(jié)課作一比較和分析，同時談?wù)劰P者對同課異構(gòu)中的“同”與“異”的一些個人看法與體會.

一、背景

《平面》是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)必修2》（人教A版）第二章的第一節(jié)課，也是教材進(jìn)入公理化系統(tǒng)的第一節(jié)課，由于對空間問題的研究經(jīng)常都是借助或轉(zhuǎn)化為平面問題來解決的，因此“確定平面”是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決的重要條件，這種轉(zhuǎn)化的最基本依據(jù)就是3個公理，可以說，刻畫平面的3個公理是立體幾何公理體系的基石，也是進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ).對于本節(jié)內(nèi)容，《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)必修2·教師教學(xué)用書》（人教A版）給出的要求是：“引導(dǎo)學(xué)生通過直觀感知，操作確認(rèn)，理性思考，以及三種語言的描述和互相轉(zhuǎn)化，經(jīng)歷公理的歸納概括過程，形成對公理的完整認(rèn)識.”

由于這節(jié)課的主要內(nèi)容是“概念+公理+表示法”，沒有太多解題技巧、方法以及多媒體技術(shù)等方面的發(fā)揮空間，因此就更考量教師對數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考和理解，考量教師能否從知識系統(tǒng)的高度為學(xué)生構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程（章建躍教授課后點評語）.考量教師如何通過巧妙的教學(xué)設(shè)計來達(dá)到自己預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)，考量教師是否有強(qiáng)大的語言駕馭能力、足夠的教育機(jī)智和游刃有余的課堂掌控能力.

二、教學(xué)中的“同”與“異”

1.教學(xué)中的“同”

從教學(xué)流程看，4位老師都設(shè)置了相似的教學(xué)環(huán)節(jié)：都是從生活實例抽象出“平面”的概念，給出平面的畫法與表示方法（包括用文字語言、圖形語言、符號語言來準(zhǔn)確表示點、線、面間的位置關(guān)系），然后引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)從生活實例抽象出3個公理，并通過實例或練習(xí)來進(jìn)一步鞏固，加深對3個公理的理解，最后回顧小結(jié)本節(jié)課的知識體系與思想方法.

從課堂表現(xiàn)看，4位老師都表現(xiàn)出扎實的教學(xué)基本功，豐富的教學(xué)積累與深厚的教學(xué)功底，但不同教師有不同的知識背景、學(xué)習(xí)經(jīng)歷、情感體驗，教學(xué)現(xiàn)場呈現(xiàn)的學(xué)生實際情況也不同，就自然建構(gòu)出不同的教學(xué)設(shè)計，呈現(xiàn)出不同教學(xué)風(fēng)格.基于此，才有了同課異構(gòu)的“異”.

2.教學(xué)中的“異”

2.1 對三個公理的設(shè)計與處理的不同

2.1.1 公理1環(huán)節(jié)

（1）對公理1所蘊(yùn)含的思想方法的提煉重視程度不同

危老師對公理1做了進(jìn)一步的解析：要判斷所有的點都在平面內(nèi)，很難做到，但判斷兩個點都在平面內(nèi)很容易.這是一種用“局部說明整體，有限說明無限”的思想，這個思想是偉大的.這種對公理所蘊(yùn)含的思想方法的提煉對培養(yǎng)學(xué)生的思維深刻性很有好處，值得推廣.而其余三位老師缺少這一環(huán)節(jié).

（2）對公理1的“作用”重視程度不同

除了丁老師，其他老師都提出“公理1的作用是什么?”，但是危老師只提到“判斷直線是否在平面內(nèi)（簡稱作用1）”，袁老師還通過一道練習(xí)：若（問該填什么符號）補(bǔ)充了公理1的另一作用“判斷點是否在平面內(nèi)（簡稱作用2）”.郭老師也同時提及了作用1與作用2，但沒有補(bǔ)充練習(xí)，從現(xiàn)場學(xué)生的反應(yīng)看，學(xué)生對作用2的理解就不如袁老師的課堂效果好.

另外，袁老師還在PPT上呈現(xiàn)：公理1的作用還在于說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別，用直線的“直”來刻畫平面的“平”，用直線的“無限延伸”來刻畫平面的“無限延展”.體現(xiàn)出初中所學(xué)的舊知識與高中所學(xué)的新知識之間的聯(lián)系.

筆者觀點：對于一個結(jié)論，除了學(xué)習(xí)結(jié)論本身，更重要的是展示新舊知識之間的聯(lián)系，并用它來解決新問題，從“學(xué)以致用”的角度看，我認(rèn)為提出“公理1的作用”是有意義的，也是必要的.

2.1.2 公理2環(huán)節(jié)

（1）探究中提出問題的切入角度不同，問題設(shè)置的針對性有差異

危老師打出PPT，問：“三腳架牢固支撐相機(jī)，測量員用三角架支撐測量用的平板儀，反映了平面的什么性質(zhì)？”經(jīng)過學(xué)生的探究，得到公理2.

郭老師和危老師的處理方法很類似，用PPT打出相機(jī)三腳架和自行車，讓“學(xué)生觀察兩幅圖，尋找它們的共同特點，說說你得到什么啟發(fā)？”經(jīng)過學(xué)生的探究，得到公理2.

袁老師通過兩個問題：（1）我們知道，兩點可以確定一條直線，那么，兩點可以確定一個平面嗎？為什么？（2）幾點可以確定一個平面？來引導(dǎo)學(xué)生探究，得到公理2.

筆者觀點：危老師和郭老師所提問題的指向性過于寬泛，導(dǎo)致學(xué)生的思路過于發(fā)散.比如有的學(xué)生就回答“反映了三角形的穩(wěn)定性”.就所提問題而言，也不算“答非所問”，但與老師預(yù)設(shè)的目標(biāo)卻相差甚遠(yuǎn).而丁老師和袁老師的問題就更具針對性，但袁老師的問題直截了當(dāng)，一針見血；而丁老師的問題若細(xì)心揣摩，會發(fā)現(xiàn)它與公理1的問題“遙相呼應(yīng)”，體現(xiàn)了執(zhí)教者對教材的“再創(chuàng)造”.（關(guān)于這點，會在后繼的分析中作進(jìn)一步的解讀.）

（2）對“關(guān)鍵詞”的解讀方法不同

在“不在一條直線上”和“三個點”這兩個關(guān)鍵詞的解讀上，4位老師都從正反兩個方面做了充分的探究.但對于“有且只有”這個關(guān)鍵詞，丁老師只是在板書公理2時提了一句，沒有進(jìn)一步的展開；其余3位老師都強(qiáng)調(diào)了“有”體現(xiàn)“存在性”，“只有”體現(xiàn)“唯一性”.危老師為了促進(jìn)學(xué)生對“存在性”與“唯一性”的理解，提出四個小問題：①“過一點，有無平面？有幾個平面？”②“過兩點，有無平面？有幾個平面？”③“過三點，有無平面？有幾個平面？”④“過四點，有無平面？有幾個平面？”幾個有機(jī)聯(lián)系的小問題，體現(xiàn)出有條不紊的層次感，通過提問“有無平面”促使學(xué)生思考“存在性”,通過提問“有幾個平面”促使學(xué)生思考“唯一性”.在不經(jīng)意間突破了難點.同時，對問題④要求學(xué)生課后思考，也體現(xiàn)危老師對問題難度的把握恰到好處.筆者認(rèn)為危老師在這個環(huán)節(jié)的處理最有新意，課堂效果也最好.

（3）對公理2所蘊(yùn)含的思想方法的提煉重視程度不同

與公理1環(huán)節(jié)一樣，危老師對公理2所蘊(yùn)含的思想方法仍然做了闡明與提煉：在二維問題中，“兩點定線”；三維問題中，“三點定面”.還提醒學(xué)生“注意維度的變化引起幾何關(guān)系的變化”.而其余三位老師在這一環(huán)節(jié)依然缺失.

這種模式較適于有延長產(chǎn)業(yè)鏈能力肉牛場。一是作為栽培基質(zhì)利用，以固體糞污、農(nóng)作物秸稈等為原料，堆肥發(fā)酵后作為基質(zhì)生產(chǎn)蘑菇等農(nóng)產(chǎn)品。二是動物蛋白轉(zhuǎn)化，用固體糞污作為原料生產(chǎn)蚯蚓、蠅蛆等動物蛋白體?；|(zhì)化利用后的產(chǎn)物還可作為糞肥還田，液體糞污通過污水池處理。該模式優(yōu)點是延伸了產(chǎn)業(yè)鏈，實現(xiàn)糞污增值和生態(tài)循環(huán)利用，缺點是產(chǎn)鏈較長，要求生產(chǎn)者整體素質(zhì)高。

2.1.3 公理3環(huán)節(jié)

除了丁老師，其他老師對公理3的處理都相似：從課本42頁的思考“把三角板的一個角立在課桌面上，三角板所在平面與桌面所在平面是否只相交于一點？為什么？”引入，通過啟發(fā)“平面是無限延展的”，經(jīng)過學(xué)生的探究，得到公理3，再結(jié)合生活實例加深理解.然后用符號語言來表示，并總結(jié)公理3的作用.

而丁老師的設(shè)計比較獨特：她順著公理2的思路“要使兩個平面重合，公共點的個數(shù)要簡化到三個”提出“那么，簡化到一個點或兩個點可以嗎？”在學(xué)生探究“一個點”的情況時，自然地引出公理3，但在板書公理3內(nèi)容時只寫了“有”，暫時隱藏了“只有”，然后話鋒一轉(zhuǎn)，問道：“除了兩平面的交線外，這兩平面還有其他的公共點嗎？”緊接著，引導(dǎo)學(xué)生用反證法的思路，“如果還有其他的公共點，那么由公理2可得，這兩個平面必然重合”導(dǎo)致矛盾，從而得到公理3結(jié)論中的“只有”一詞。（事實上，在教學(xué)流程中，她是先板書出不含“只有”一詞的公理3內(nèi)容，再板書出公理2內(nèi)容，講解完反證法后，再補(bǔ)上公理3中“只有”一詞的板書.）這樣的處理使學(xué)生對“有且只有”這個關(guān)鍵詞理解更深刻了.（建議讀者把丁老師對公理3中對“有且只有”的處理與危老師對公理2中對“有且只有”的處理進(jìn)行比對，二者相映成趣，頗值玩味.）

章建躍教授在課后的點評中曾經(jīng)提到“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要為學(xué)生構(gòu)建前后一致，邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程”，如果把丁老師在三個公理的教學(xué)環(huán)節(jié)中所提問題連貫起來看，公理1與公理2環(huán)節(jié)提的問題有相同的模式：①某幾何元素上所有點都在平面內(nèi)，那么此幾何元素就在平面內(nèi).（在公理1中幾何元素是直線，在公理2中幾何元素是平面）；②要使此幾何元素在平面內(nèi)，需要考察“所有點”嗎？③若不需考察“所有點”，那最少需要幾個點？而公理3環(huán)節(jié)的問題不過是對問題③的點的個數(shù)的拓展提問.若以章教授的要求為評價標(biāo)準(zhǔn)，丁老師的問題鏈設(shè)置無疑是最成功的.問題之間氣脈通達(dá)，環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)，教學(xué)過程流暢，銜接自然，令學(xué)生的思維始終處于“欲罷不能”的“憤悱”狀態(tài).達(dá)到了很好的教學(xué)效果.這也是丁老師這節(jié)課最顯著的特色.

2.3 對“公理化方法”的處理不同

在授課中有三位老師對“公理化方法”這一概念均有提及，但提出的時機(jī)和側(cè)重點不同：

丁老師是在課堂小結(jié)中提到：“我們學(xué)習(xí)了平面的概念和三個公理，那么接下來我們就可以依據(jù)這些基本公理與基本概念去不斷推導(dǎo)出新的結(jié)論，這就是幾何中的公理化體系，后面的學(xué)習(xí)就要繼續(xù)做這樣的事情.”她側(cè)重于在今后的學(xué)習(xí)中加深對“公理化方法”的理解.

危老師是在講授公理1之前，先回顧平面幾何的學(xué)習(xí)歷程，提到“從簡單的公理出發(fā)，利用邏輯推理，得到相關(guān)的性質(zhì)、定理、位置關(guān)系，我們把這樣的研究思想叫做公理化思想，研究方法叫做公理化方法”，然后類比初中的學(xué)習(xí)歷程，進(jìn)入公理1的學(xué)習(xí).他側(cè)重于利用類比的方法引入三個公理.

郭老師在講授完三個公理之后，給出“公理化方法”的概念，并用PPT呈現(xiàn).語言與丁老師類似，不贅述.郭老師還提到是歐幾里得在《幾何原本》中用“公理化方法”建立了龐大的幾何體系，它的作用是“把以前零散、片段的知識有機(jī)地組合起來，形成一個完整的系統(tǒng).由這個系統(tǒng)我們可以很方便地比較一些本質(zhì)的東西及其差異性，并衍生出一些新的數(shù)學(xué)分支，比如非歐幾何與黎曼幾何”，在最后的課堂小結(jié)中他還向?qū)W生推薦了《幾何原本》與《龐加萊猜想》作為拓展閱讀材料.他側(cè)重于對數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作等文化層面的介紹.

袁老師沒有提及“公理化方法”，但把公理2的幾個推論設(shè)置成判斷題，讓學(xué)生在練習(xí)中體會三個公理的理論基石作用.

“公理化方法”是否應(yīng)該進(jìn)入中學(xué)，各國數(shù)學(xué)家對此有不同觀點.法國數(shù)學(xué)家狄多內(nèi)認(rèn)為公理化方法“不適用于學(xué)生，只適用于專業(yè)數(shù)學(xué)家”.荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾也認(rèn)為不必在學(xué)校中教，原因是“它阻礙學(xué)生從經(jīng)驗中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”.持正面觀點的有我國張景中院士和日本的杉山吉茂，張景中院士曾于1995年在《教育數(shù)學(xué)探索》中提出自己的歐式幾何公理體系，為中學(xué)數(shù)學(xué)教材中公理化方法怎樣處理作了示范嘗試.在中學(xué)層面，上海市楊浦高級中學(xué)的崔永富和李群老師則認(rèn)為：“公理方法并非在立體幾何教材第一節(jié)知識的羅列中就能完成,它需要前后呼應(yīng).”人教A版教材把它放在第二章末尾的“閱讀與思考”中，也體現(xiàn)了教材編寫者的慎重.

筆者覺得：對“公理化方法”的理解是建立在系統(tǒng)學(xué)習(xí)幾何學(xué)的基礎(chǔ)上（初中對平面幾何的學(xué)習(xí)不夠系統(tǒng)，要作思路上的類比對學(xué)生的要求太高），目前剛學(xué)習(xí)三個公理，談不上對“公理化方法”的深入理解，事實上，要利用公理推導(dǎo)出新的結(jié)論才談得上理解“公理化方法”.就這點而言，筆者更傾向于丁老師的處理.如果像袁老師那樣，讓學(xué)生在練習(xí)中經(jīng)歷“從公理出發(fā)，利用邏輯推理得到新的結(jié)論”這一公理化方法的形成過程，然后再像丁老師那樣在課堂小結(jié)中介紹“公理化方法”，不知效果會更好否？這個內(nèi)容該放在哪里講，講到何種程度，都是值得商榷的.筆者斗膽提出個人看法，是本著“弄斧到班門”的態(tài)度，希望有識之士不吝賜教.

2.4 關(guān)于“用符號語言來表示直線在平面內(nèi)是用?還是用∈”的問題的一點思考

在授課中問及如何把“直線l在平面a內(nèi)”用符號語言來表示時，學(xué)生有兩類不同意見：①若把直線與平面都看成點的集合，涉及兩集合間的關(guān)系應(yīng)該用l?a；②若從“線動成面”的角度看，平面也可看成是以直線為元素的集合，涉及元素與集合間的關(guān)系那么應(yīng)該用l∈a.老師們的回應(yīng)是“都有道理，但為方便起見（或由于習(xí)慣原因），我們選擇用l?a”.

筆者觀點：如果采用解釋②，那么當(dāng)用集合符號語言來表示“直線l與平面a相交于點A”時，直線l與平面a的關(guān)系是元素與集合間的關(guān)系，怎么能用l∩a=A的交集運(yùn)算符號呢？因此站在教材系統(tǒng)性的角度，“前面的知識不能與后繼體系有矛盾”（李必成老師原話），這是衡量一門學(xué)科體系是否成熟的標(biāo)志之一.這也使筆者對章建躍的“從知識系統(tǒng)的高度為學(xué)生構(gòu)建前后一致，邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程”的觀點有了更深刻的理解.

三、結(jié)語

四位老師的教學(xué)風(fēng)格迥異，各有所長，呈現(xiàn)出很強(qiáng)的個人特色：丁老師對問題鏈設(shè)置一氣呵成，在教學(xué)規(guī)范方面堪稱典范，課堂掌控收放自如，形散神聚；危老師自始至終強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的重要性，并在諸多環(huán)節(jié)中都提出自己獨特的思考，體現(xiàn)了思想的深度與高度；郭老師的課堂文化味、哲學(xué)味并重，致力于傳遞“數(shù)學(xué)源于生活又高于生活”的理念；袁老師的設(shè)計精巧緊湊，知識總結(jié)結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，總在最恰當(dāng)?shù)臅r機(jī)講授恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容，真正實現(xiàn)了“高效課堂”.四位老師在相同的教學(xué)環(huán)節(jié)下不同的教學(xué)設(shè)計，處理手法，以及其折射出的設(shè)計理念，思考模式的差異性，值得我們潛心揣摩并學(xué)以致用，我想這也是同課異構(gòu)的“同”與“異”的價值所在.

（責(zé)任編輯：王欽敏）