變形預(yù)測(cè)的總體最小二乘擬合推估方法

金　童吳　飛陶武勇

（1.中國(guó)能源建設(shè)集團(tuán)廣東省電力設(shè)計(jì)研究院　廣東廣州　510530；2.東華理工大學(xué)測(cè)繪工程學(xué)院　江西南昌　330013；3.江西信息應(yīng)用職業(yè)技術(shù)學(xué)院　江西南昌　330043）

變形預(yù)測(cè)的總體最小二乘擬合推估方法

金童1吳飛2陶武勇3

（1.中國(guó)能源建設(shè)集團(tuán)廣東省電力設(shè)計(jì)研究院廣東廣州510530；2.東華理工大學(xué)測(cè)繪工程學(xué)院江西南昌330013；3.江西信息應(yīng)用職業(yè)技術(shù)學(xué)院江西南昌330043）

摘要：采用傳統(tǒng)GM(1,1)方法對(duì)建筑物的沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，僅考慮了觀測(cè)向量中的誤差。但系數(shù)矩陣中的元素是由觀測(cè)量組成的，不可避免地含有誤差。建立GM(1,1)聯(lián)合模型，采用總體最小二乘擬合推估法求解灰參數(shù)及沉降預(yù)測(cè)值，即顧及了觀測(cè)值與系數(shù)矩陣中含有的誤差，同時(shí)考慮到系數(shù)矩陣中常數(shù)項(xiàng)元素以及其它各元素間的相關(guān)性，將灰參數(shù)與沉降預(yù)測(cè)的解算同時(shí)進(jìn)行，有效地提高預(yù)測(cè)精度。

關(guān)鍵詞：總體最小二乘；擬合推估法；GM(1,1)；沉降監(jiān)測(cè)

1　引言

由于變形體變形的原因十分復(fù)雜，為保證人民的生命和財(cái)產(chǎn)安全，對(duì)變形體進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)和預(yù)報(bào)分析就顯得十分必要［1］。沉降監(jiān)測(cè)作為變形監(jiān)測(cè)工作的一個(gè)分支，它涉及各類社會(huì)與經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，故沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的處理也至關(guān)重要?；疑獹M（1,1）模型計(jì)算簡(jiǎn)便，不需要大量的原始時(shí)間序列數(shù)據(jù)即可獲得較好的預(yù)測(cè)結(jié)果［2］，已廣泛應(yīng)用于各類學(xué)科當(dāng)中。1988年陳明東等首次采用灰色系統(tǒng)理論中的GM（1,1）模型對(duì)滑坡進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)，此后該模型廣泛地應(yīng)用于滑坡監(jiān)測(cè)及相關(guān)變形監(jiān)測(cè)等工作中［3］。

本文以傳統(tǒng)GM（1,1）模型為基礎(chǔ)，結(jié)合目前已有文獻(xiàn)中存在的一些不足，基于文獻(xiàn)［4］提出的無(wú)縫三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型的思想，建立GM（1,1）聯(lián)合模型，并采用總體最小二乘擬合推估法進(jìn)行求解。該方法考慮了觀測(cè)值及預(yù)報(bào)值中存在的誤差，顧及系數(shù)矩陣中常數(shù)元素的同時(shí)也考慮到了各項(xiàng)元素的相關(guān)性，并將灰參數(shù)與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的計(jì)算同時(shí)進(jìn)行。

2　GM（1,1）聯(lián)合模型

假設(shè)原始數(shù)列，X（0）=［x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）］對(duì)其進(jìn)行1次累加得到數(shù)列［5］：X（1）=［x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）］，式中建立一階白化微分方程［5］：

式中t為時(shí)間，a，u為待求灰參數(shù)，系數(shù)矩陣及觀測(cè)向量可以寫(xiě)成：

寫(xiě)成矩陣的形式可以得到［5］：

采用最小二乘方法，求解得到參數(shù)估值［5］：

求微分方程可得預(yù)測(cè)模型，再進(jìn)行累減得［5］:

系數(shù)矩陣中第一列是由觀測(cè)數(shù)據(jù)組成，不可避免地含有誤差，對(duì)（2）式系數(shù)矩陣引入誤差可以得到函數(shù)模型：

采用總體最小二乘法解算得到的兩個(gè)灰參數(shù)，結(jié)合GM（1,1）的預(yù)報(bào)公式（4），計(jì)算得到 m期的預(yù)測(cè)值，將預(yù)測(cè)值組成系數(shù)矩陣可得：

則可得預(yù)報(bào)部分的函數(shù)模型：

因此可建立GM（1,1）聯(lián)合模型：

顧及各元素之間的相關(guān)性，該模型的隨機(jī)模型為：

3　擬合推估法

擬合推估模型的標(biāo)準(zhǔn)形式為［4］［6］：

式中y為n×1維的觀測(cè)向量，ey、C分別為y對(duì)應(yīng)的誤差向量及系數(shù)矩陣，是 維的參數(shù)。β是k×1維未知隨機(jī)信號(hào)向量，ey0、C0分別為y0對(duì)應(yīng)的誤差向量及系數(shù)矩陣。推估模型的求解包含平差部分和預(yù)報(bào)部分［4］。

若ey和ey0服從正態(tài)分布［4］：

依據(jù)最小二乘準(zhǔn)則可得最優(yōu)線性無(wú)偏的參數(shù)估值和預(yù)報(bào)值為［4］［6］：

總體最小二乘擬合推估法的基本思想是：同時(shí)考慮觀測(cè)向量及其對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣和隨機(jī)信號(hào)及其對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣中含有的誤差，并且考慮觀測(cè)向量部分與預(yù)報(bào)部分的相關(guān)性，將觀測(cè)值及其系數(shù)矩陣、預(yù)報(bào)部分及其系數(shù)矩陣與參數(shù)之間的聯(lián)合函數(shù)模型改寫(xiě)成擬合推估模型的標(biāo)準(zhǔn)形式，依據(jù)不同的函數(shù)模型，推出其對(duì)應(yīng)的觀測(cè)部分的方差以及觀測(cè)部分與預(yù)報(bào)部分的協(xié)方差，最后采用擬合推估法進(jìn)行參數(shù)的解算。

4　GM（1,1）聯(lián)合模型的解算

4.1GM（1,1）聯(lián)合模型線性化

GM（1,1）聯(lián)合模型為非線性模型，需先將其轉(zhuǎn)化為線性模型。將采用高斯-牛頓法將聯(lián)合模型線性化后再進(jìn)行迭代計(jì)算，設(shè)第j次迭代后的估值為a（j），則參數(shù)a表示為［4］：

其中δa（j）為第j+1次迭代的參數(shù)改正數(shù)，將上式代回（8）式得［4］：

為避免忽略二階以上的小量可能導(dǎo)致的收斂錯(cuò)誤或迭代發(fā)散，采用第j次迭代估值EA（j）和EB（j）代替EA和EB作為系數(shù)矩陣［4］，并依據(jù)（10）式可將上式進(jìn)行改寫(xiě)，對(duì)應(yīng)擬合推估法的標(biāo)準(zhǔn)形式可得［4］：

對(duì)應(yīng)擬合推估法標(biāo)準(zhǔn)形式的無(wú)偏參數(shù)和預(yù)報(bào)值的公式可以得：

由于預(yù)報(bào)和估計(jì)是相對(duì)獨(dú)立的過(guò)程［4］，只需按照（20）式、（21）式計(jì)算得到灰參數(shù)，迭代終止后，將計(jì)算結(jié)果帶入（22）式和（23）式計(jì)算沉降預(yù)測(cè)值。

4.2GM（1,1）聯(lián)合模型協(xié)方差陣

求解上述該模型需已知系數(shù)矩陣與觀測(cè)向量之間的協(xié)方差，即DAA，DBA，DALn，DBLn。

分別令

其中U1、U3分別為n-1、m行n+m列的矩陣，并令U2、U4分別為n-1、m行n+m列的零矩陣。令V1=［0… 0］T,V2=［1… 1］T,V3=［0… 0］T,V4=［1… 1］T,其中V1、V2為n-1行1列矩陣，V3、V4為m行1列矩陣，且令U、V、W為U=［U1U2U3U4］T,V=［V1V2V3V4］T，，則可得：

由誤差傳播定律可得：

由于觀測(cè)數(shù)據(jù)是在不同的時(shí)間點(diǎn)采用相同精度的儀器或者采用相同方法獲取的，故可近似認(rèn)為這些觀測(cè)數(shù)據(jù)同精度［8］。設(shè)δ1=δi=δn，δi為該觀測(cè)值中誤差，可得QLn=In-1、QX=In+m，故QW=UQXUT=UUT。其中DA、DB可以通過(guò)DWW得到。

將已知的觀測(cè)向量及觀測(cè)部分和預(yù)測(cè)部分寫(xiě)成：

分別令

式中O1、O2為n-1行n列矩陣，且令O3、O4為m行n+m列0矩陣。

根據(jù)協(xié)方差傳播律，可得：

5　算例及分析

5.1模擬數(shù)據(jù)算例

給定GM（1,1）模型中的灰參數(shù)真值 ，，第一期觀測(cè)值真值 ，再根據(jù)公式（4）模擬13期觀測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)前10期模擬數(shù)據(jù)的真值加入誤差并作為觀測(cè)數(shù)據(jù)，后3期不加入誤差并作為預(yù)測(cè)部分。假設(shè)各期的觀測(cè)精度相同，并對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)加入標(biāo)準(zhǔn)差 的誤差。模擬1000組數(shù)據(jù)，最終取1000次計(jì)算結(jié)果的平均值。表1為1000組數(shù)據(jù)中任取一組含有誤差的觀測(cè)數(shù)據(jù)，文中采用均方根值（RMS）來(lái)檢驗(yàn)不同方法的預(yù)測(cè)精度，表2為不同方法計(jì)算結(jié)果。

從表2中可以看出，本文所采用的方案，得到的計(jì)算結(jié)果的均值要優(yōu)于其它方案，預(yù)測(cè)精度相對(duì)最小二乘而言提高了49%。圖1為1000次模擬數(shù)據(jù)計(jì)算得到的預(yù)測(cè)部分沉降值的均方根值，從圖中可以看出，本文所采用的方法得到的計(jì)算結(jié)果較為穩(wěn)定且計(jì)算精度較高。

6　結(jié)論

最小二乘方法忽略了系數(shù)矩陣中含有的誤差；總體最小二乘法將系數(shù)矩陣中常數(shù)列也認(rèn)為含有誤差進(jìn)行處理；混合總體最小二乘法雖考慮了系數(shù)矩陣中的常數(shù)列，但各項(xiàng)元素之間是不等精度的，需予以考慮；普通加權(quán)總體最小二乘法考慮了各項(xiàng)元素的精度問(wèn)題，但忽略了觀測(cè)向量與系數(shù)矩陣中元素的相關(guān)性。本文提出了GM（1,1）的聯(lián)合模型，該方法考慮沉降觀測(cè)值及由沉降觀測(cè)值組成的系數(shù)矩陣的誤差，同時(shí)顧及兩者之間的相關(guān)性，將預(yù)測(cè)值作為含有誤差的觀測(cè)量，并將灰參數(shù)的計(jì)算與沉降預(yù)測(cè)同時(shí)進(jìn)行，對(duì)模擬算例進(jìn)行解算，通過(guò)與其它常用方法的比較，論證了本文方法的有效性。

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