圓的方程

圓的方程是高考重點考查的內容.主要考查圓的方程的求法，常出現(xiàn)在選擇題和填空題中，有時也作為解答題中的一個環(huán)節(jié)進行考查.

（1）圓的方程的形式及應用.

（2）利用待定系數法求圓的方程.

（1）熟練掌握圓的方程的兩種形式及其特點.

（2）會利用代數法、幾何法求圓的方程，注意圓的方程形式的選擇.求圓的方程的兩種方法：①幾何法：通過研究圓的性質及直線與圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程；②代數法：即用待定系數法先設出圓的方程，再由條件求得各系數.

例1 已知平面區(qū)域x≥0，y≥0，x+2y-4≤0恰好被面積最小的圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2及其內部所覆蓋，則圓C的方程為________.

破解思路 本題圖形已經給出，可以利用相應幾何知識找出圓心和半徑，進而寫出圓的方程.

答案詳解 由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）所構成的三角形及其內部，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓.又△OPQ為直角三角形，故其圓心為斜邊PQ的中點（2，1），半徑為 = ，所以圓C的方程為（x-2）2+（y-1）2=5.

例2 在平面直角坐標系xOy中，設二次函數f（x）=x2+2x+b（x∈R）的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C.

（1）求實數b的取值范圍；

（2）求圓C的方程；

（3）圓C是否經過某定點（其坐標與b無關）？請證明你的結論.

破解思路 本題涉及函數以及圓的方程的相關知識. 由已知，圓上三點的坐標易于求得，故可以采用待定系數法表示相關圓的方程.

答案詳解 （1）因為f（x）與兩坐標軸有三個交點，所以其必與y軸有一個交點，與x軸有兩個交點. 令x=0，得拋物線與y軸的交點（0，b）（b≠0）. 令f（x）=x2+2x+b=0，則它有兩個不同的解，所以Δ=4-4b>0，解得b<1.所以b的取值范圍是{bb<1且b≠0}.

（2）設圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得x2+Dx+F=0，其解是圓與x軸交點的橫坐標. 所以x2+Dx+F=x2+2x+b=0，所以D=2，F(xiàn)=b. 令x=0得y2+Ey+F=0，此方程有一個根為b，所以E=-1-b.

綜上所述，所求圓的方程是x2+y2+2x-（b+1）y+b=0.

（3）圓C必過定點（0，1）和（-2，1）. 當y=1時，x2+2x=0，解得x=0，x=-2. 所以圓C過定點（0，1）和（-2，1）.

1. 圓心在直線y=-4x上，并且與直線l：x+y-1=0相切于點P（3，-2）的圓的方程為_________.

2. 已知點P（a，b）關于直線l的對稱點為P′（b+1，a-1），則圓C：x2+y2-6x-2y=0關于直線l對稱的圓C′的方程為________.