解析幾何

談杰

本專題內(nèi)容主要包含直線的方程、圓的方程、圓錐曲線的方程，直線與直線、直線與圓、圓與圓、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，圓錐曲線的概念和性質(zhì)、圓錐曲線的綜合應(yīng)用、與圓錐曲線有關(guān)的探索性問題，這些都是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.]

直線方程、兩直線的位置關(guān)系

直線方程、兩直線的位置關(guān)系在高考中出現(xiàn)的頻率較高，考查多出現(xiàn)在選擇題和填空題中，有時(shí)也作為解答題的一小問，主要考查求直線方程、兩直線平行或垂直的條件等，有時(shí)與充要條件等知識(shí)相結(jié)合出現(xiàn)在選擇題中.

（1）直線的有關(guān)概念，如直線的傾斜角、斜率、截距等；過兩點(diǎn)的直線的斜率公式. （2）求不同條件下的直線方程（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式等）. （3）兩條直線的平行、垂直關(guān)系. （4）兩點(diǎn)間的距離公式及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用.

（1）理解數(shù)形結(jié)合的思想，掌握直線方程的幾種形式，會(huì)根據(jù)已知條件求直線方程. （2）會(huì)根據(jù)直線的特征量畫直線，研究直線的性質(zhì). （3）對(duì)于兩條直線的位置關(guān)系問題，求解時(shí)要注意斜率不存在的情況，注意平行、垂直時(shí)直線方程系數(shù)的關(guān)系. （4）熟記距離公式，如兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線之間的距離.

例1 過點(diǎn)P（0，1）且和A（3，3），B（5，-1）的距離相等的直線的方程是（ ）

A. y=1

B. 2x+y-1=0

C. y=1或2x+y-1=0

D. 2x+y-1=0或2x+y+1=0

破解思路 利用直線方程解決問題，要靈活選用直線方程的形式：一般地，已知一點(diǎn)通常選擇點(diǎn)斜式，但需注意要對(duì)斜率是否存在進(jìn)行討論，避免漏解.

答案詳解 ①當(dāng)過點(diǎn)P的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為x=0，不滿足條件. ②設(shè)過點(diǎn)P的直線方程為y=kx+1，即kx-y+1=0. 由已知條件得 = . 即3k-2=5k+2，解得k=0或k=-2. 故所求直線方程為y=1或2x+y-1=0. 選C.

例2 已知兩直線l1：x+ysinα-1=0和l2：2x·sinα+y+1=0，求α的值，使得：（1）l1∥l2； （2）l1⊥l2.

破解思路 兩直線的位置關(guān)系要考慮平行、垂直和重合. 對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線l1，l2，有：l1∥l2？圳k1=k2；l1⊥l2？圳k1·k2=-1. 若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率一定要特別注意.

答案詳解 （1）方法1：當(dāng)sinα=0時(shí)，直線l1的斜率不存在，l2的斜率為0，顯然l1不平行于l2. 當(dāng)sinα≠0時(shí)，k =- ，k =-2sinα. 要使l1∥l2，則需- =-2sinα，即sinα=± .所以α=kπ± ，k∈Z，此時(shí)兩直線的斜率相等. 故當(dāng)α=kπ± ，k∈Z時(shí)，l1∥l2.

方法2：由A1B2-A2B1=0，可得2sin2α-1=0，所以sinα=± . 又B1C2-B2C1≠0，所以1+sinα≠0，即sinα≠-1. 所以α=kπ± ，k∈Z. 故當(dāng)α=kπ± ，k∈Z時(shí)，l1∥l2.

（2）因?yàn)锳1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要條件，所以2sinα+sinα=0，即sinα=0，所以α=kπ，k∈Z. 故當(dāng)α=kπ，k∈Z時(shí)，l1⊥l2.

例3 已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R）.

（1）證明：直線l過定點(diǎn)；

（2）若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；

（3）若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程.

破解思路 過直線l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（λ∈R），過定點(diǎn)求直線方程，關(guān)鍵是找到直線的斜率或直線上的另一個(gè)點(diǎn).

答案詳解 （1）直線l的方程是k（x+2）+（1-y）=0，令x+2=0，1-y=0，解得x=-2，y=1.所以無論k取何值，直線l總經(jīng)過定點(diǎn)（-2，1）.

（2）由方程知，當(dāng)k≠0時(shí)直線l在x軸上的截距為- ，在y軸上的截距為1+2k，要使直線l不經(jīng)過第四象限，則必有- ≤-2，1+2k≥1，解之得k>0；當(dāng)k=0時(shí)，直線為y=1，符合題意.綜上可知，k≥0.

（3）由l的方程，得A- ，0，B（0，1+2k）. 依題意得- <0，1+2k>0，解得k>0. 因?yàn)镾= ·OA·OB= · ·1+2k= · = 4k+ +4≥ ×（2×2+4）=4，“=”成立的條件是k>0且4k= ，即k= . 所以Smin=4，此時(shí)直線l的方程為x-2y+4=0.

1. 已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），其在x軸上的截距的取值范圍是（-3，3），則其斜率k的取值范圍是（ ）

A. -11或k<

C. k> 或k<1 D. k> 或k<-1

2. 在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC，O（0，0），A（2，0），C（0，1），將矩形折疊，使O點(diǎn)落在線段BC上，設(shè)折痕所在直線的斜率為k，則k的取值范圍為（ ）

A. [0，1] B. [0，2]

C. [-1，0] D. [-2，0]

3. 如圖1，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P為邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P. 若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于（ ）

圖1

A. 2 B. 1 C. D.