利用空間向量求解空間角與距離

空間角和距離問(wèn)題，是高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容，幾乎每年必考.在選擇題、填空題中，線線角主要考查線段的平移，線面角關(guān)鍵是尋求直線在平面上的射影，二面角的難點(diǎn)是準(zhǔn)確作出平面角；在解答題中，多數(shù)問(wèn)題用空間向量來(lái)解決，需用到方程、三角函數(shù)、平面幾何等知識(shí)，屬于中高檔題.

（1）理解兩條直線所成角（線線角）、直線與平面所成角（線面角）及兩平面所成角（二面角）的概念，靈活掌握三種角的常規(guī)作圖與求解方法.

（2）能夠建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，掌握“方向向量”與“法向量”的求解方法，并靈活運(yùn)用向量公式求三種角.

（3）掌握求空間距離的幾種方法.

利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，主要有兩種策略. 一是建立空間直角坐標(biāo)系，把立體幾何的平行、垂直、空間角、距離等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)”及“線”的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題. 其一般步驟為：①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；③寫(xiě)出向量坐標(biāo)；④結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；⑤轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論. 二是不建立空間坐標(biāo)系，直接利用空間向量的基本定理，即將有關(guān)向量用空間中的一組基底表示出來(lái)，然后通過(guò)向量的相關(guān)運(yùn)算求解.

例1 如圖17，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，∠A1AB=∠A1AD= ，∠DAB=90°，E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與D1E所成角的余弦值為（ ）

A. B.

C. D.

破解思路 對(duì)關(guān)于空間角的選擇題或填空題，由于計(jì)算量的限制一般不宜用坐標(biāo)法處理；又本題不易確定空間坐標(biāo)系的位置，所以采用向量基底法處理.

圖17

答案詳解 設(shè) =a， =b， =c，則a=b=1，c=2. 又 =a+b+c， =a- c，且a·b=0，a·c=1，b·c=1，所以 · =-1， = ， =1. 設(shè)直線AC1與D1E所成角為θ，則cosθ= = = . 所以選B.

例2 如圖18，在三棱錐P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，AQ=2BD，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連結(jié)GH.

圖18

（1）求證：AB∥GH；

（2）求平面PAB與平面PCD所成角的正弦值.

破解思路 棱錐是?？嫉亩嗝骟w，第（1）問(wèn)考查線線平行關(guān)系的判定，圖形特征明顯，容易證明；第（2）問(wèn)構(gòu)造二面角的平面角有一定困難，所以要選擇恰當(dāng)?shù)奈恢媒⒖臻g直角坐標(biāo)系，用向量法求解.

答案詳解 （1）因?yàn)镈，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC.

又EF？埭平面PCD，DC？奐平面PCD，所以EF∥平面PCD.

又EF？奐平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，所以EF∥GH. 又EF∥AB，所以AB∥GH.

（2）在△ABQ中，因?yàn)锳Q=2BD，AD=DQ，所以∠ABQ=90°，即AB⊥BQ. 又PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP兩兩垂直.

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BQ，BP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)BA=BQ=BP=2，則B（0，0，0），Q（0，2，0），D（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，2）. 所以 =（-1，-1，2）， =（0，-1，2）.

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n=（x，y，z），則由n· =0，n· =0可得-x-y+2z=0，-y+2z=0.取z=1，得n=（0，2，1）. 又 =（0，2，0）為平面PAB的一個(gè)法向量，所以cos〈n， 〉= = = . 故平面PAB與平面PCD所成角的正弦值為 .

例3 如圖19，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H為PC 的中點(diǎn)，M為AH的中點(diǎn)，PA=AC=2，BC=1.

（1）求證：AH⊥平面PBC；

（2）求直線PM與平面AHB所成角的正弦值；

（3）設(shè)點(diǎn)N在線段PB上，且 =λ，MN∥平面ABC，求實(shí)數(shù)λ的值.

圖19

破解思路 本題考查同學(xué)們的空間想象能力和思維能力，屬于中高檔題. 題目有明顯的垂直關(guān)系，所以第（2）問(wèn)和第（3）問(wèn)可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)解決，其中處理第（3）問(wèn)時(shí)，相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)可通過(guò)比值λ來(lái)表示，這有助于更好地突破難點(diǎn)并解決問(wèn)題.

答案詳解 （1）因?yàn)镻A⊥底面ABC，BC？奐底面ABC，所以PA⊥BC.

又因?yàn)锳C⊥BC，PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC.

因?yàn)锳H？奐平面PAC，所以BC⊥AH.

因?yàn)镻A=AC，H是PC的中點(diǎn)，所以AH⊥PC.

又PC∩BC=C，所以AH⊥平面PBC.

（2）在平面ABC中，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，易得PA，AC，AD兩兩垂直，所以以A為原點(diǎn)，AD，AC，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖20所示的空間直角坐標(biāo)系，則可得A（0，0，0），P（0，0，2），B（1，2，0），C（0，2，0），H（0，1，1），M0， ， .

設(shè)平面AHB的法向量為n=（x，y，z），因?yàn)?=（0，1，1）， =（1，2，0），由n· =0，n· =0可得y+z=0，x+2y=0.令z=1，得n=（2，-1，1）.

設(shè)直線PM與平面AHB所成角為θ，因?yàn)?=0， ，- ，所以sinθ=cos〈 ，n〉= = ，即sinθ= .

圖20

（3）因?yàn)?=（1，2，-2）， =λ ，所以 =（λ，2λ，-2λ）. 又 =0， ，- ，所以 = - =λ，2λ- ， -2λ. 因?yàn)镸N∥平面ABC，平面ABC的法向量 =（0，0，2），所以 · =3-4λ=0，解得λ= .

例4 如圖21①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=3，E為BC上一點(diǎn)，BE=2EC，且DE= . 將梯形ABCD沿DE折成直二面角B-DE-C，如圖19②所示.

（1）求證：平面AEC⊥平面ABED；

（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為G，點(diǎn)M在△BCE所在平面內(nèi)，且直線GM與平面ACE所成的角為60°，試求出點(diǎn)M到點(diǎn)B的最短距離.

圖21

破解思路 折疊問(wèn)題是高考經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容之一. 解決這類(lèi)問(wèn)題要注意對(duì)翻折前后線線、線面的位置關(guān)系，所成角及距離加以比較. 第（1）問(wèn)可利用分析法把證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直；第（2）問(wèn)在第（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上確定出三線兩兩垂直后建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.

答案詳解 （1）在圖①中，由平面幾何的知識(shí)易得DE⊥BC；在圖②中，因?yàn)镈E⊥BE，DE⊥CE，所以∠BEC是二面角B-DE-C的平面角. 因?yàn)槎娼荁-DE-C是直二面角，所以BE⊥CE. 因?yàn)镈E∩BE=E，DE，BE？奐平面ABED，所以CE⊥平面ABED. 又CE？奐平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABED.

（2）由（1）知DE，BE，CE兩兩互相垂直，以E為原點(diǎn)，分別以EB，EC，ED為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz.由已知，得E（0，0，0），A（1，0， ），B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，0， ），G（-1，0， ）， =（1，0， ）， =（0，1，0）.

設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為n=（x，y，z），則 ·n=0， ·n=0，即x+ z=0，y=0.取x= ，得n=（ ，0，-1）.

設(shè)M（x，y，0），則 =（x+1，y，- ）. 因?yàn)橹本€GM與平面ACE所成的角為60°，所以 =sin60°，即 = ，化簡(jiǎn)得y2=2x.

從而可得點(diǎn)M到點(diǎn)B的距離MB= = = = ，所以，當(dāng)x=1時(shí)，MB取得最小值 ，即點(diǎn)M到點(diǎn)B的最短距離為 .

1. 如圖22，棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2 ，則點(diǎn)C到平面PBD的距離為_(kāi)_______.

圖22

2. 如圖23，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA1=2，D為側(cè)棱AA1的中點(diǎn).

（1）求異面直線DC1，B1C所成角的余弦值；

（2）求二面角B1-DC-C1的余弦值

圖23

3. 如圖24，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn).現(xiàn)在沿AE將△ADE向上折起，在折起的圖形中解答下列兩問(wèn)：

（1）在線段AB上是否存在一點(diǎn)K，使BC∥平面DFK？若存在，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若平面ADE⊥平面ABCE，求二面角E-AD-B的余弦值.

圖24