空間線面平行與垂直的證明

本考點(diǎn)以空間幾何體為載體，既考查幾何體的概念和性質(zhì)，又考查空間線面位置關(guān)系（平行與垂直）的判定與性質(zhì)，還可結(jié)合一些簡(jiǎn)單的計(jì)算進(jìn)行考查，是每年高考的必考內(nèi)容，也是重點(diǎn)考查的內(nèi)容. 該部分試題難度適中，一般都可用幾何綜合法解決，少部分不易證明的才通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)法求解.

（1）掌握線面平行、垂直的判定與性質(zhì)定理，能用判定定理證明線面平行與垂直，會(huì)用性質(zhì)定理解決線面平行與垂直的問(wèn)題.

（2）通過(guò)線面平行、垂直的證明，培養(yǎng)同學(xué)們的空間觀念及觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、探索、合情推理的能力.

該知識(shí)點(diǎn)的重點(diǎn)、難點(diǎn)是：線線垂直、線面垂直及面面垂直之間的靈活轉(zhuǎn)化；同時(shí)要注意推理表達(dá)的規(guī)范與完整.

（1）證明平行或垂直問(wèn)題，一般利用平行或垂直的判定定理及其推論，將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行或線線平行來(lái)證明；而無(wú)論是線面垂直還是面面垂直，都源自于線線垂直. 可見(jiàn)，轉(zhuǎn)化是證明平行、垂直問(wèn)題的關(guān)鍵.

（2）在處理實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，可以先從題設(shè)條件入手，再?gòu)慕Y(jié)論中分析所要證明的關(guān)系，從而架起已知與未知之間的橋梁. 增添輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，常見(jiàn)的添輔助線的方法有：中點(diǎn)、垂足等特殊點(diǎn)，用中位線、高線轉(zhuǎn)化；有面面垂直的條件，則作交線的垂線，等等.

例1 如圖12，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，在等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分別為AB，CB的中點(diǎn)，M為底面△OBF的重心.

圖12

（1）求證：平面ADF⊥平面CBF；？搖

（2）求證：PM∥平面AFC.

破解思路 對(duì)于第（1）問(wèn)，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直；

（2）根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，將線面平行的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面面平行來(lái)證明.

答案詳解 （1）因?yàn)榫匦蜛BCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，所以CB⊥平面ABEF.？搖 又AF？奐平面ABEF，所以CB⊥AF. 又AB=2，AF=1，∠BAF=60°，由余弦定理知BF= ，所以AF2+BF2=AB2，所以AF⊥BF. 又BF∩CB=B，所以AF⊥平面CFB. 因?yàn)锳F？奐平面ADF，所以平面ADF⊥平面CBF.？搖

（2）連結(jié)OM并延長(zhǎng)交BF于H，則H為BF的中點(diǎn). 又P為CB的中點(diǎn)，所以PH∥CF. 又因?yàn)镃F？奐平面AFC，所以PH∥平面AFC. 連結(jié)PO，則PO∥AC. 因?yàn)锳C？奐平面AFC，所以PO∥平面AFC. 又PO∩PH=P，所以平面POH∥平面AFC. 因?yàn)镻M？奐平面POH，所以PM∥平面AFC.？搖

例2 如圖13，平面ABCD⊥平面ABE，其中四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，且AB=2，點(diǎn)F，G分別是BC，AE的中點(diǎn).

（1）求三棱錐F-ABE的體積；

（2）求證：BG∥平面EFD；

（3）若點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)，求證：BG⊥AP.

圖13 圖14

破解思路 對(duì)于第（1）問(wèn)，求出三棱錐F-ABE的高后可直接求解. 對(duì)于第（2）問(wèn)， 根據(jù)線面平行的判定定理，在平面EFD中，只要找出與BG平行的直線即可證明. 對(duì)于第（3）問(wèn)，可通過(guò)證明線面垂直來(lái)轉(zhuǎn)化.

答案詳解 （1）因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，所以BC⊥平面ABE. 因?yàn)镚是等邊三角形ABE的邊AE的中點(diǎn)，所以BG⊥AE，所以VF-ABE= S△ABE·BF= · ·AE·BG·BF= ×2× ×1= .

（2）如圖14，取DE的中點(diǎn)M，連結(jié)MG，F(xiàn)M. 因?yàn)镸G AD，BF AD，所以MG BF，所以四邊形FBGM是平行四邊形，所以BG∥FM. 又因?yàn)镕M？奐平面EFD，BG？埭平面EFD，所以BG∥平面EFD.

（3）因?yàn)镈A⊥平面ABE，BG？奐平面ABE，所以DA⊥BG. 又BG⊥AE，AD∩AE=A，所以BG⊥平面DAE. 又AP？奐平面DAE，所以BG⊥AP.

1. 如圖15，直角梯形ACDE與等腰直角三角形ABC所在平面互相垂直，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2.

圖15

（1）求證：平面BCD⊥平面ABC；

（2）求證：AF∥平面BDE；

（3）求四面體B-CDE的體積.

2. 如圖16，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，點(diǎn)M是棱BB1上一點(diǎn).

圖16

（1）求證：MD⊥AC；

（2）試確定點(diǎn)M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.