基于范成原理的CTC諧波齒輪傳動(dòng)柔輪齒廓的參數(shù)化設(shè)計(jì)與仿真*

□ 許建剛 □ 祖 莉

南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 南京 210094

1 概述

諧波齒輪傳動(dòng)是利用機(jī)械波控制柔性齒輪的彈性變形來(lái)實(shí)現(xiàn)傳遞運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力的，屬于柔性傳動(dòng)方式，在火箭、導(dǎo)彈、智能彈藥等航空航天和軍事領(lǐng)域中的應(yīng)用越來(lái)越多。諧波齒輪傳動(dòng)的主要構(gòu)件有3個(gè)：剛輪、柔輪和波發(fā)生器。諧波齒輪傳動(dòng)的特點(diǎn)是：傳動(dòng)比范圍大；承載能力大，運(yùn)動(dòng)精度高；運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)，傳動(dòng)效率高并能在密閉空間和介質(zhì)輻射的工況下正常工作［1］。目前影響諧波傳動(dòng)的承載能力、傳動(dòng)精度、運(yùn)行壽命在很大程度上取決于嚙合齒廓，現(xiàn)有商品化的諧波傳動(dòng)產(chǎn)品多采用三角形柔輪齒廓或漸開線柔輪齒廓，兩種齒形具有共同的缺點(diǎn)，即：齒根部易疲勞斷裂，重載傳動(dòng)時(shí)柔輪會(huì)發(fā)生畸變，嚴(yán)重制約了它的承載能力。

為了提高諧波傳動(dòng)的承載能力，國(guó)內(nèi)外學(xué)者都在研究高承載的嚙合齒廓，先后出現(xiàn)了圓弧齒廓、擺線齒廓等。近年來(lái)日本學(xué)者S.Ishikawa提出了“S齒形”,從理論和實(shí)踐上均證明其在改善嚙合特性、提高額定載荷等方面明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的齒形。S齒形新型諧波傳動(dòng)已被歐、美、日諧波傳動(dòng)制造商所采用，但是當(dāng)柔輪齒數(shù)較少時(shí)，S齒形誤差就會(huì)增大，并且S齒形諧波傳動(dòng)需要專用刀具進(jìn)行加工，成本提高。目前我國(guó)很多研究人員也在研究雙圓弧齒形，在諧波齒輪傳動(dòng)中采用圓弧齒廓，不但工藝上易于實(shí)現(xiàn)，而且可以有效地改善柔輪齒根的應(yīng)力狀況和傳動(dòng)的嚙合質(zhì)量，提高承載能力和扭轉(zhuǎn)剛度。在國(guó)內(nèi)，辛洪兵等人［2］是較早開始研究圓弧齒廓諧波齒輪傳動(dòng)理論的，提出了諧波齒輪傳動(dòng)不變嚙合矩陣，用數(shù)值方法證明了諧波齒輪傳動(dòng)采用圓弧齒廓的合理性，為進(jìn)一步研究圓弧齒廓在諧波齒輪傳動(dòng)中的應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)。辛洪兵計(jì)算出柔輪采用圓弧齒廓時(shí)，剛輪與之共扼的理論齒廓，通過(guò)用嚙合圓弧對(duì)其進(jìn)行逼近，得到了嚙合誤差的變化規(guī)律。曾世強(qiáng)等［3］對(duì)雙圓弧齒形諧波齒輪傳動(dòng)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)特性分析，計(jì)算了雙圓弧諧波齒輪傳動(dòng)的嚙合弧長(zhǎng)與側(cè)隙，從理論上論證了雙圓弧齒形良好的工作性能。目前，我國(guó)的技術(shù)研究人員正致力于開發(fā)提高諧波齒輪傳動(dòng)嚙合剛度、承載能力和傳動(dòng)壽命的圓弧齒廓諧波齒輪傳動(dòng)技術(shù)，并且已經(jīng)取得了前期理論研究成果［4］。

▲圖1 滾刀的基準(zhǔn)齒形

筆者在充分應(yīng)用諧波齒輪傳動(dòng)研究成果的基礎(chǔ)上，結(jié)合S齒形嚙合優(yōu)點(diǎn)，提出了綜合嚙合性能更優(yōu)的圓弧-漸開線-圓?。–TC）齒形新型諧波傳動(dòng)，這種齒形不但在工藝上易于實(shí)現(xiàn)，而且齒槽較寬，能有效地改善柔輪齒根的應(yīng)力狀況，減小了應(yīng)力集中。利用柔輪的柔性補(bǔ)償性消除邊緣接觸，重載傳動(dòng)下的柔輪不易發(fā)生畸變，其楔形側(cè)隙更有利于油膜形成，大大改善了嚙合質(zhì)量，提高了承載能力和扭轉(zhuǎn)剛度。圓弧-漸開線-圓弧齒形諧波傳動(dòng)特別適用于空間飛行器、運(yùn)載工具、衛(wèi)星系統(tǒng)、制導(dǎo)武器等伺服傳動(dòng)系統(tǒng)，它將為我國(guó)飛行器伺服傳動(dòng)系統(tǒng)的小型化、輕量化提供可靠的技術(shù)保障。

本文主要是基于范成原理，利用MATLAB軟件對(duì)CTC齒形諧波傳動(dòng)的柔輪齒廓進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計(jì)及仿真。首先按照給定的柔輪齒廓參數(shù)，計(jì)算出加工該柔輪的滾刀基準(zhǔn)齒形，其次基于范成原理，計(jì)算出柔輪齒廓，并利用MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)以上功能的仿真。

2 設(shè)計(jì)滾刀的基準(zhǔn)齒形

2.1 滾刀的基準(zhǔn)齒形

滾刀的基準(zhǔn)齒形是指與所設(shè)計(jì)的柔輪相共軛的基本齒條的法面齒形。本文所研究的基準(zhǔn)齒形為圓弧-漸開線-圓弧新齒形的柔輪，與其共軛的刀具，其基準(zhǔn)齒形為圓弧-直線-圓弧，如圖1所示 。圖中：m為模數(shù)；ha*為待加工柔輪齒頂高系數(shù)；hf*為待加工柔輪齒根高系數(shù)；c*為待加工柔輪頂隙系數(shù)；α為待加工柔輪壓力角；Ra為刀具凹齒齒廓圓弧半徑；Rb為刀具凸齒齒廓圓弧半徑；xa為刀具凹齒齒廓圓弧中心橫坐標(biāo)；ya為刀具凹齒齒廓圓弧中心縱坐標(biāo)；xb為刀具凸齒齒廓圓弧中心橫坐標(biāo)；yb為刀具凸齒齒廓圓弧中心縱坐標(biāo)；x3為刀具凹齒齒廓圓弧段與中間直線段的切點(diǎn)橫坐標(biāo)；x4為刀具凸齒齒廓圓弧段與中間直線段的切點(diǎn)橫坐標(biāo)；x5為刀具凹齒齒廓圓弧段與齒根線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)；x6為刀具凸齒齒廓圓弧段與齒頂線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)；L1、L2、L3、L4、L5、L6分別表示圖1中的6條直線。

坐標(biāo)系｛XOY｝的X軸與刀具的中線重合，Y軸與齒廓的對(duì)稱線重合。圖1中的基準(zhǔn)齒形的設(shè)計(jì)過(guò)程為：

（1） 建立坐標(biāo)系｛XOY｝，在坐標(biāo)系中畫出如下直線：

（2） 過(guò)點(diǎn)（1/4πm，0）畫一條直線 L1與 X 軸的夾角為π/2+α，通過(guò)Y軸以及直線x=1/2πm的鏡像分別得到其對(duì)稱直線 L2和 L3，再過(guò)點(diǎn)（1/4πm，0）畫一條直線L4與X軸的夾角為α。

（3）作直線L4的雙向等距平行線L5和L6，使L5通過(guò)點(diǎn)（-1/4πM，-hf*M），則 L5與 L3交于點(diǎn) b，L6與 L2交于點(diǎn)a。

（4）以點(diǎn)a為圓心，點(diǎn)a到直線L1的距離為半徑畫圓弧a′。同理，以點(diǎn)b為圓心，點(diǎn)b到直線L1的距離為半徑畫圓弧b′。

（5） 在區(qū)間［0，1/2πm］內(nèi)修剪掉多余曲線，得到如圖1所示的半個(gè)齒廓，再通過(guò)鏡像得到一個(gè)全齒廓?；鶞?zhǔn)齒形設(shè)計(jì)完成。

2.2 滾刀基準(zhǔn)齒形方程的建立

刀具齒根直線方程：

刀具齒根圓弧段方程：

刀具中間直線段方程：

刀具齒頂圓弧段方程：

刀具齒頂直線方程：

圖 1 中，x3、x4、x5、x6、Ra、xa、ya以及 Rb、xb、yb的求解方法如下。

方程組：

式（14）的解x記為x4，由對(duì)稱性可知：

方程組：

式（16）的解（x，y）記為（xa，ya）；則：

方程組：

式（18）的解（x，y）記為（xb，yb）；則：

方程組：

式（20）的解 x 記為 x5。

方程組：

式（21）的解 x 記為 x6。

因此，基準(zhǔn)齒形的半個(gè)齒廓方程分段表示為：

整個(gè)齒形可由函數(shù)的對(duì)稱性和周期性得到。

3 基于范成原理的柔輪齒形設(shè)計(jì)

▲圖2 柔輪齒廓范成坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

范成法加工齒輪是利用一對(duì)齒輪互相嚙合時(shí)，以其齒廓互為包絡(luò)線的原理來(lái)加工齒輪的一種方法。在用范成法加工齒輪時(shí)，滾齒刀作切削運(yùn)動(dòng)，同時(shí)又和輪坯作范成運(yùn)動(dòng)，相當(dāng)于齒條和齒輪的嚙合運(yùn)動(dòng)。在整個(gè)加工過(guò)程中，齒輪輪坯的節(jié)圓與齒條的節(jié)線相切，并始終作純滾動(dòng)，即齒條節(jié)線在齒輪節(jié)圓上滾過(guò)的長(zhǎng)度等于齒輪節(jié)圓上被滾過(guò)的圓弧長(zhǎng)度，齒條齒廓的運(yùn)動(dòng)軌跡形成的包絡(luò)線即為齒輪齒廓［5］。根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理，可以假設(shè)齒輪固定不動(dòng)，那么范成運(yùn)動(dòng)就可以看成是齒條以一定角速度ω繞齒輪圓心O的轉(zhuǎn)動(dòng)和以一定速度v沿其節(jié)線方向移動(dòng)的合成。因此，建立兩個(gè)坐標(biāo)系分別與齒條和輪坯相對(duì)固定，兩個(gè)坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)關(guān)系由范成運(yùn)動(dòng)確定，如圖2所示。

圖2中，圓弧表示待加工柔輪的分度圓（即節(jié)圓）圓弧，R2表示輪坯的分度圓半徑，以柔輪輪坯中心A為原點(diǎn)，X2軸與輪坯水平直徑重合，Y2軸與輪坯豎直直徑重合，建立固定坐標(biāo)系｛X2AY2｝；坐標(biāo)系｛X1BY1｝為沿著輪坯分度圓作純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，起始位置是原點(diǎn)B，為Y2軸與輪坯分度圓的交點(diǎn)，X1軸與X2軸平行，Y1軸與Y2重合；φ表示柔輪輪坯轉(zhuǎn)過(guò)的角度。

筆者研究的柔輪是標(biāo)準(zhǔn)齒輪，于是刀具的節(jié)線即為刀具的中線，因此在研究范成加工時(shí)刀具與動(dòng)坐標(biāo)系｛X1BY1｝相對(duì)固定，且中線與X1軸重合；齒輪輪坯與固定坐標(biāo)系｛X2AY2｝固聯(lián)，輪坯中心與原點(diǎn)A重合，則刀具與輪坯的范成運(yùn)動(dòng)就轉(zhuǎn)化為動(dòng)坐標(biāo)系 ｛X1BY1｝繞固定坐標(biāo)系｛X2AY2｝作純滾動(dòng)。因此把刀具齒廓坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系中，就可以得到由刀具齒廓包絡(luò)而成的柔輪齒廓。

動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn) B（Bx，By）的位置方程為：

將刀具的齒廓在動(dòng)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系中，可由以下齊次變換矩陣式來(lái)完成：

▲圖3 程序設(shè)計(jì)流程圖

▲圖4 刀具基準(zhǔn)齒形參數(shù)化設(shè)計(jì)

▲圖5 范成加工柔輪演示圖

（x2，y2）即為刀具齒廓上的點(diǎn)在固定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，于是可以在固定坐標(biāo)系中得到刀具齒廓上所有點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)以上理論可知，輪坯每轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)φ角，就可以得到對(duì)應(yīng)位置刀具的齒廓，待加工的柔輪齒廓即由刀具齒廓包絡(luò)而成。

4 柔輪齒形的參數(shù)化仿真

CTC諧波齒輪傳動(dòng)柔輪齒形的參數(shù)化設(shè)計(jì)及仿真主要利用MATLAB軟件進(jìn)行編程及仿真，實(shí)現(xiàn)流程圖如圖3所示。

4.1 刀具基準(zhǔn)齒形的參數(shù)化仿真

刀具基準(zhǔn)齒形設(shè)計(jì)過(guò)程中涉及到多個(gè)方程組的求解，利用MATLAB矩陣運(yùn)算功能可以很方便地實(shí)現(xiàn)方程組的求解。在諧波傳動(dòng)柔輪齒形參數(shù)化設(shè)計(jì)界面中輸入柔輪參數(shù)：m=0.3 mm、 齒數(shù) Z=270、α=15°、x=0、ha*=0.8、hf*=0.8、c*=0.3，可以得到如圖4所示的刀具齒形圖。

由圖4可知，與柔輪共軛的滾齒刀齒頂圓弧段b的半徑Rb=0.462 17 mm，齒根圓弧段a的半徑Ra=0.462 17 mm。

4.2 柔輪齒形的參數(shù)化仿真

點(diǎn)擊范成加工按鈕可以看到刀具范成加工柔輪的動(dòng)態(tài)過(guò)程，加工完成后如圖5所示；點(diǎn)擊加工齒形按鈕可以顯示柔輪一個(gè)輪齒的加工過(guò)程，加工完成后如圖6所示。

5 結(jié)論

▲圖6 范成加工柔輪齒形圖

本文根據(jù)柔輪參數(shù)完成了刀具基準(zhǔn)齒形的參數(shù)化設(shè)計(jì)，在MATLAB中輸入不同的柔輪參數(shù)就可以得到刀具的基準(zhǔn)齒形和對(duì)應(yīng)的齒形相關(guān)數(shù)據(jù)，并由設(shè)計(jì)得到的刀具范成加工出柔輪的齒形，同時(shí)實(shí)現(xiàn)柔輪齒形的加工過(guò)程仿真。

［1］ 沈允文，葉慶泰.諧波齒輪傳動(dòng)的理論和設(shè)計(jì)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1985.

［2］ 辛洪兵，謝金瑞，何惠陽(yáng).用B矩陣法建立諧波齒輪嚙合基本方程［J］.機(jī)械傳動(dòng)，1996,20 （2） :5-8.

［3］ 曾世強(qiáng)，楊家軍，王宣福.雙圓弧齒形諧波齒輪傳動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特性分析［J］.華中理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，28（1）：12-14.

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［5］ 陳華，孫書民.基于范成法虛擬加工技術(shù)的漸開線齒輪建模研究［J］.西華大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，29（5）：7-9.