知識可視化

湯鋒

【摘要】高中階段的數(shù)學學習難度明顯增加，學生在學習過程中普遍存在困難，學習效率較低，因此，如何提高學生的學習效率應當是現(xiàn)階段教師需要重點思考和解決的問題.數(shù)形結合不僅僅是一種數(shù)學思想，還是一種關鍵的解題工具，在高中數(shù)學中，具有極高的應用價值，將數(shù)形結合思想貫串高中數(shù)學，不僅可以強化學生的思維能力，還能為學生提供更多解題思路，以解決實際問題.本文對數(shù)形結合思想及數(shù)形結合思想的教學原則進行闡述，并具體探討數(shù)形結合思想在高中數(shù)學的實踐.

【關鍵詞】高中數(shù)學;數(shù)形結合;基本原則;實踐

現(xiàn)階段，受高考的影響，高中學生普遍壓力較大，很多學生都嘗試以題海戰(zhàn)術提高成績，但是往往事倍功半，效果不甚理想，這其中最根本的原因是學生的思維能力沒有得到充分鍛煉與提升.高中數(shù)學教學不僅要注重具體知識的傳授，更要注重培養(yǎng)學生的數(shù)學思想，引導學生用數(shù)學思想解決實際問題，這樣才能促使學生獲得全面提升.數(shù)形結合思想的核心分為兩個方面，一是以形解數(shù)，二是以數(shù)解形.其本質(zhì)上是利用數(shù)形轉(zhuǎn)換的模式幫助學生更好地理解知識，并為學生提供更多思路.在高中數(shù)學教學中滲透數(shù)形結合思想對于提高學生的思維能力及學習效率具有重要作用，教師有必要對此進行深入研究分析.

一、數(shù)形結合思想概述

數(shù)形結合思想簡單來說就是在數(shù)學體系中，數(shù)形相互轉(zhuǎn)化，以數(shù)精準度量形，以形直觀展示數(shù)的一種思想，其本質(zhì)就是將抽象的數(shù)量關系和直觀幾何圖形結合起來，既可以分析數(shù)量關系，又能揭示幾何規(guī)律.數(shù)學是一門研究空間形式和數(shù)量關系的學科，空間形式和數(shù)量關系作為數(shù)學的基本研究對象，二者是相互依存的關系，抽象的數(shù)量關系可以用直觀的幾何圖形展示，而物體的形也可以用數(shù)精確度量，數(shù)形結合就形成了數(shù)形結合思想.華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”這句話很準確地揭示了數(shù)形結合思想的本質(zhì)，并高度概括了其價值.數(shù)形結合思想是形象思維與抽象思維的充分結合，可以化繁為簡，對于解決數(shù)學問題具有重要幫助.

二、數(shù)形結合思想教學的基本原則

1.目標性原則

目前，高中數(shù)學教學中尚未真正落實數(shù)形結合思想，其根本原因是缺乏明確、具體的目標，導致數(shù)形結合思想難以與具體的知識相結合，學生難以掌握數(shù)形結合思想的精髓.鑒于此，教師在教學過程中應明確教學目標，確定以哪些知識為基本載體，采用哪種教學模式將數(shù)形結合思想滲透到教學過程中.

2.系統(tǒng)化原則

高中數(shù)學教材在編排上是以模塊劃分的，不同模塊側(cè)重不同的知識內(nèi)容，這在一定程度上限制了數(shù)形結合思想的滲透，對此，教師在教學過程中應遵循系統(tǒng)化原則，注重挖掘數(shù)學教材中可以作為數(shù)形結合思想載體的知識內(nèi)容，系統(tǒng)化地進行歸納總結，以單元、專題、模塊的形式讓學生對數(shù)形結合思想產(chǎn)生全面認知.

3.層次性原則

從本質(zhì)上來講，數(shù)形結合是一種數(shù)學思想，比較抽象，只有在解決具體問題時才會體現(xiàn)其工具性，因此，要讓學生充分理解和掌握存在較大難度.鑒于此，教師在教學過程中要遵循層次性的原則，要與學生的認知水平保持一致，以螺旋上升的形式，循序漸進地滲透數(shù)形結合思想.教師要注重對學生的引導，讓學生從教材知識中感悟數(shù)形結合思想，在習題練習過程中掌握數(shù)形結合思想，最終在總結復習的過程中實現(xiàn)數(shù)形結合思想的內(nèi)化.

4.全過程原則

所謂全過程原則指的是數(shù)形結合思想應當貫串整個高中數(shù)學教學，讓學生通過不斷感悟、練習，最終掌握數(shù)形結合思想的精髓，并將其應用于解決實際問題當中.數(shù)形結合本身就是一個抽象化的數(shù)學思想，學生需要一個由低到高的認知過程，這樣才能讓數(shù)形結合思想深入骨髓.從這方面來說，要求教師將數(shù)形結合思想貫串高中數(shù)學教學的始終，最終促使學生完成由感悟性認知向理性認知的過渡.

三、數(shù)形結合思想在高中數(shù)學中的實踐

1.數(shù)形結合思想在集合中的實踐

集合是高中階段數(shù)學的必修內(nèi)容，也是學生在高中階段最先接觸到的數(shù)學知識，這部分內(nèi)容是高中階段數(shù)學的基礎性內(nèi)容，對于后續(xù)函數(shù)等內(nèi)容的學習具有重要作用.在學習關于集合的內(nèi)容時，數(shù)形結合思想的價值在于其可以將抽象化的數(shù)數(shù)關系轉(zhuǎn)換為幾何圖形之間的關系，使其更加形象具體.目前最為普遍的方式就是利用韋恩圖與數(shù)軸的方式來表示集合，進而幫助學生更加直觀地理解和分析問題.

所謂韋恩圖如圖1所示，就是將取值范圍不同的集合以圖形表示出來，一般情況下，以正方形表示最大數(shù)域，以圓形表示題目中的不同集合，通過這種形式即可直觀地判斷不同集合之間的關系.若兩個圓形有交叉部分，則表示二者存在共有元素，即交集;若這兩個圓形所有面積涵蓋了二者所有元素，即可并集;若兩個圓形沒有交叉部分，則代表二者之間沒有關系，二者的交集為空集;而在兩個集合外的部分即是最大數(shù)域內(nèi)二者的補集.

數(shù)軸一般主要用來處理含有未知數(shù)并且已知條件相對模糊的集合問題，在數(shù)軸上將集合關系表示出來，可以更加直觀的理解問題.

例如：已知x-1+x-5=4，求解x的取值范圍.

這種問題就可以采用數(shù)軸解決，如圖2所示，通過觀察數(shù)軸，很容易就可以得出x的取值范圍為1≤x≤5.這種形式不僅簡單明了，而且思路清晰，易于學生解決一些抽象性的問題.

2.數(shù)形結合思想在函數(shù)中的實踐

函數(shù)是高中階段數(shù)學重要的模塊之一，也是學生普遍認為難度比較大的部分，這部分內(nèi)容是后續(xù)學習導數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列等知識的重要基礎.在學習函數(shù)這部分內(nèi)容時，數(shù)形結合思想是解決函數(shù)值域、定義域問題，零點問題的重要工具，可以幫助學生更好地理清思路，尤其是關于函數(shù)的零點問題，這是高中階段難度比較大的問題之一，多見于高考的壓軸題目中.本文以求解函數(shù)的值域、定義域問題為例，具體分析數(shù)形結合思想在函數(shù)中的應用.函數(shù)的定義域即自變量取值范圍，值域即因變量取值范圍，在解決此類問題時仍采用以形解數(shù)的思路.

比如：求解二次函數(shù)y=ax2+bx+c的值域.

首先需要對該函數(shù)配方，再畫出圖像，根據(jù)圖像確定定點是否處于所求取值范圍，如圖3所示.此時就會出現(xiàn)兩種情況，一是x的取值范圍為整個實數(shù)，由此就可以根據(jù)函數(shù)圖像中a的正負值畫出圖像判斷，如果a>0，頂點函數(shù)值為N，即該函數(shù)值域是{N，+∞];若a<0，頂點函數(shù)值為N，即該函數(shù)值域為（-∞，N].二是該函數(shù)有確定定義域，若頂點不在取值范圍內(nèi)則直接帶入兩個端點值來求值域，因為此時函數(shù)呈現(xiàn)單調(diào)性;若二次函數(shù)配方后的頂點在所求的取值范圍內(nèi)，則需要先求出所給取值范圍的兩個端點值與函數(shù)的頂點值，最終得出三個數(shù)值中，最大值即該函數(shù)值域最大值，最小值即該函數(shù)值域最小值.

3.數(shù)形結合思想在解析幾何中的實踐——以圓錐曲線為例

關于圓錐曲線這部分內(nèi)容也是高中階段難度較大的內(nèi)容之一，在高考中也比較多見，基本每年都會有至少一道與圓錐曲線相關的填空題或者選擇題或一道解答題.一般來說，這種題目對于學生靈活運用知識的能力要求較高，因此，在學習過程中需要教師引導學生從多角度分析問題，靈活運用教材中的知識，而數(shù)形結合思想就是其中最為關鍵的一種思維方法.

例如：已知A（1，1）是橢圓x29+b24=1內(nèi)一點，F(xiàn)1是左焦點，P是橢圓上一動點，求解|PF1|+|PA|的最大值與最小值.

由x29+b24=1可知a=3，b=5，c=2，橢圓左焦點F1為（-2，0），橢圓右焦點F2為（2，0）;根據(jù)橢圓定義可知|PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|，所以|PF1|+|PA|=6-|PF2|+|PA|=6+|PA|-|PF2|，如圖4所示，由|PA|-|PF2|≤|AF2|=（2-1）2+（0-1）2=2.

可得-2≤|PA|-|PF2|≤2，若P點在AF2的延長線上的P2位置時，取右等號;若P點在AF2的反向延長線上的P1位置時，取左等號，由此可得|PA|-|PF2|的最大值為2，最小值為-2，即|PF1|+|PA|的最大值為6+2，最小值為6-2.

4.數(shù)形結合思想在立體幾何中的實踐

立體幾何也是高中數(shù)學中重要的模塊之一，也是學生學習的難點之一，在這部分內(nèi)容中，主要應用的是以數(shù)解形的思路.比如在學習向量的線性運算這部分內(nèi)容時，教學就可以滲透數(shù)形結合思想，引導學生采用以數(shù)解形的思路解決實際問題.向量的加法運算即向量最基本的運算，滿足平行四邊形定則，圖像為首先將兩個向量AB，AD通過平行移動使得兩個向量的尾都移動到同一點A，接下來畫出平行四邊形，對角線表示向量加法的向量.那么學生在每次進行向量加法運算時都需要畫出相對應的平行四邊形嗎？顯然并不需要，教師可以嘗試直接將一個向量的尾端位置與另一向量的首端位置通過平行移動到同一點，接下來我們再順次連接后一個向量的尾端位置到前一個向量的首端位置，通過這種方式也能完成向量加法的運算，這種方法也被稱之為首尾相連.以數(shù)解形的思路可以有效幫助學生更好地解決立體幾何問題，其不僅在向量運算部分可以采用，在解決點、線、面不同關系的問題時也可以采用.

結 語

綜上所述，數(shù)形結合思想在高中階段數(shù)學當中具有廣泛的應用空間.從宏觀層面來講，數(shù)形結合思想可以降低學生的學習難度，鍛煉學生的思維能力，使學生形成正確的數(shù)學思維;從微觀層面講，數(shù)形結合思想可以幫助學生解決各種實際問題，讓學生在解題過程中思路更加清晰明確.作為教師，在教學中要積極探索滲透數(shù)形結合思想的方式方法，挖掘教材中合適的知識載體，將數(shù)形結合思想貫串學生整個高中生涯.

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