斷言視角下的彩票悖論及其解決

■頓新國

彩票悖論通常被學界認為是三大歸納悖論之一。自其被發(fā)現以來，哲學家和邏輯學家順著不同的路徑提出了多種不同的解決方案?？疾熘饕慕鉀Q方案，我們不難發(fā)現，無論技術細節(jié)如何不同，它們共同的哲學出發(fā)點都是一致的，即把彩票悖論當作合理信念悖論，或信念 （知識）的合理接受悖論。盡管這種范式下的研究取得了不少成果，譬如解決方案的多樣性以及解悖形式技術上的簡單性，但沒有哪一種方案得到學界的共識。本文擬運用當代形式知識論研究領域的最新研究成果，從作為言語行動的斷言視角重新闡釋并解決彩票悖論。

一、彩票悖論的提出

彩票悖論最早由亨利·凱伯格 （Henry E.Kyburg）于1961年在其著作《概率與合理信念的邏輯》中提出［1］(P197-199)，爾后在1970年的一篇論文中又對之進行討論［2］(P56)。凱伯格列舉的例子概述如下。已知在一次有一百萬張彩票的公平抽彩活動中，有且僅有一張彩票中獎。根據無差別原則，每張彩票中獎的概率只有一百萬分之一。這樣，我們似乎可以合理地相信其中任意的第k張彩票中獎的概率只有一百萬分之一。相應地，根據概率演算的析取規(guī)則，第k張彩票不中獎的概率高達0.999999。根據非確定的高概率命題也足可接受這一洛克論點 （又稱高概率臨界值規(guī)則），可以合理接受 “第k張彩票不中獎”。同理，可以合理接受“第k+1張彩票不中獎”。于是有“第k張彩票不中獎”并且“第k+1張彩票不中獎”。由于k是任意的，這意味著所有彩票都不會中獎。根據活動規(guī)則，有且僅有一張彩票中獎，于是似乎可以得出：對于某個i，1≤i≤1000000，第i張彩票不會中獎且第i張彩票會中獎，即可得出具有p∧～p這一形式的悖謬性結論。

分析后我們不難發(fā)現，這一貌似悖謬的結論的得出依賴以下幾個條件：

（1）洛克論點：存在某個臨界值ε，1/2＜ε＜1。如果一個命題的主觀概率大于ε，那么，這個命題是可以合理接受（相信）的。

（2）信念的合取封閉原則：如果Φ是合理可接受（相信）命題的匯集，φ∈Φ且ψ∈Φ，則（φ∧ψ）∈Φ，即φ∧ψ也是合理可接受（相信）的。

（3）協調性原則：一個被合理接受（相信）的命題的匯集應該是協調的，即該匯集不能包含矛盾命題。

以上三個條件中，洛克論點是關于合理相信（接受）的實質性條件，后兩者是對認知活動的邏輯要求。在日常實踐和關于實際的推理中，一個具有很高概率為真的命題通常被合理地相信甚至接受，因此，洛克論點高度符合人們的日常直覺和認知實踐。但容易看出，無論概率臨界值ε有多高，只要它小于1，這三個條件的結合都會產生類似的彩票悖論。這一點只需不斷增大總彩票的數量即可。后兩個條件是邏輯條件。在彩票案例中，信念的合取封閉原則表現為：如果你相信p，并且你也相信q，那么你相信（p并且q）。顯然這一原則高度符合直覺。協調性條件是對理性主體的合法要求，如果認知主體足夠理性，在其信念集中不應該包含矛盾信念，至少不應包含顯性的矛盾信念。這三個條件都可算作日常認知主體公認的背景知識，前面矛盾命題的得出也符合演繹推導規(guī)則。因此，學界通常將凱伯格這一彩票例子所展示的理論性認知狀況稱為“彩票悖論”。

二、彩票悖論的主要解決路徑

得出彩票悖論的原則高度合理，并且與人類日常及理論認知都密切相關。在人類日常生活中，人們碰到的經驗現象多是非確定性事件；在科學認識中，科學家們發(fā)現或構建的經驗理論或假說也大多不是邏輯確定的命題，即其概率不是先驗為1。盡管在語言表達形式上它們都不必使用概率形式，如天氣預報不必使用“明天會下雨的概率是80%”而是使用“明天會下雨”這種語句形式，但這類事件顯然可用概率性命題來更精確地表征。因此，自彩票悖論提出后，哲學家和邏輯學家積極探尋其解決方案。

根據解悖的一般方法論，可以通過拒斥或修改引發(fā)悖論之關鍵條件中的一個或幾個來解決相應悖論。這樣，彩票悖論之解決方案可以分別在修改或拒斥洛克論點、合取閉合原則或協調性條件這幾個路徑上尋找。

(一）弱化邏輯條件

這一路徑以悖論的發(fā)現者凱伯格的方案為代表。其具體策略是保留洛克論點這個合理信念的實質性條件，將協調性原則弱化為弱協調性原則，摒棄合取閉合原則而代之以弱演繹閉合原則，并將它們分別表述為自己邏輯系統(tǒng)中的公理1和公理2（為與本文行文一致，符號稍有改動）。

（1）弱協調性原則（公理1，又稱對偶協調性）：在給定語言L中，B為合理信念或者背景知識匯集，S為L中的任一陳述，（S）（S∈B）?～（～S∈B）。

凱伯格還將這一原則推廣為：對任意的S1，……Sn-1，如果它們分別都屬于B，那么～（S1∧……∧Sn-1）不屬于B。

（2）弱演繹閉合原則(公理2)：如果S?T

是語言L中的定理，且S∈B，那么T∈B。［2］(P78)

根據凱伯格的弱協調性原則和弱演繹閉合原則，很容易消解彩票悖論。由于根據弱演繹閉合原則，無法從合理信念或背景知識匯集中演繹出“所有彩票都不會中獎”，推不出某個任意的“第i張彩票不會中獎”，從而得不出矛盾命題“第i張彩票會中獎（第i張彩票不會中獎）”，悖論被消解。

但演繹閉合是經典邏輯的基本特性之一，而合取閉合更是廣為接受，凱伯格修改經典邏輯的策略不足以令邏輯保守主義者信服。因此，更多哲學家和邏輯家的立場是對合理相信和接受的實質性條件洛克論點進行限制或修改。

(二）限制洛克論點

這一路徑以范·弗拉森（van Fraassen）、瑞恩(Sharon Ryan)、尼爾金(Dana K.Nelkin)、都汶(Igor Douven)等人為代表。范·弗拉森認為，信念被接受的必要條件是它是確定性的而非概率性的［3］，從而完全拋棄了高概率接受的洛克論點。他的這一觀點在接受的意義上顯然太強，除非他所說的接受是指將信念接納為知識。畢竟在信念接受的日常意義上，我們是承認高概率接受規(guī)則的。譬如當下手機天氣預報的常見形式是：“某月某日14時至16時降雨的概率是80%?！蔽覀兺ǔ邮苓@一預報并采取相應的防雨措施。

與范·弗拉森不同的是，瑞恩、尼爾金、都汶等人將相關的競爭性概率陳述看作一個匯集，在該匯集內討論相干陳述可以合理接受的各種原則。

瑞恩的避免錯誤原則：對任何相競爭陳述的集合L，如果（1）S有良好理由相信L中每個元素為真，并且（2）S有良好理由相信L中至少有一個成員為假或者對L中是否至少有一個成員為假懸置判斷是得到辯護的，那么，S相信L中任何相競爭的單個陳述都是沒有得到認識論辯護的。［4］

顯然，在彩票案例中，根據抽獎活動的規(guī)則，認知主體S有良好理由相信相關競爭陳述匯集中至少有一個為假。根據瑞恩的避免錯誤規(guī)則，我們不能從認識論上有根據地接受其中的任何一個命題，悖論得到消解。

尼爾金認為，瑞恩的避免錯誤原則特設性太強，不能解釋我們不能合理相信“第i張彩票不會中獎”的深層原因。在尼爾金看來，認為認知主體S關于“第i張彩票不會中獎”的信念，建基于他對該張彩票不會中獎的概率的信念，即S根據的是這樣一種P形式的推理：P具有統(tǒng)計概率n（n非常接近于1）→P。以此為出發(fā)點，尼爾金對我們不能合理相信 “第i張彩票不會中獎”給出的理由是存在這樣一種“P推理”。她把這種理由稱為“統(tǒng)計性支持理由”。［5］因為P推理顯然是概然性推理，依據這種推理，關于某些相干概然性命題的信念集有可能是不融貫的。

都汶進一步對這種相干陳述或命題匯集中的元素進行限制，即其中的某個（些）元素基于其他某個（些）元素及背景信念的條件概率比其原來的概率低。［6］都汶的非概率性自毀原則：

對于時間t的某個認知主體S來說，（1）如果根據S在時間t的信念狀態(tài)，命題φ的概率超過ε；（2）命題φ不是一個概率性自毀集中的元素，那么，他接受命題φ是合理的。

都汶在如下意義上使用概率性自毀集這一概念：相對于一個認知主體某時的信念狀態(tài)，一個命題集是概率性自毀集，僅當，只根據該主體此時的背景信念而沒有其他證據的情況下，他對該集合中的每個命題的相信程度超過ε，而根據他的背景信念以及該命題集中的m個或更多個元素，他對該集合中的每個命題的相信程度等于或低于ε。在此，ε是一個假定的概率臨界值；1≤m且小于該命題集中元素的個數。根據概率性自毀集概念，由“第i張彩票不會中獎”構成的信念集顯然是自毀集，從而理性主體不能合理地接受該信念集中任何一個信念，悖論被消解。

(三）修改洛克論點

萊維（I.Levi）是采取這一路徑的代表人物,他認為，信念的接受不能僅建立在概率之上，而要考慮信念的認知效用。［7］(P2-5)為此，他提出認知效用接受規(guī)則：

拒絕接受基本劃分Ue中的假說ai，P(ai,e)＜q(cont(┓ai,e)),即如果EU(ai,e)＜0，則拒絕接受假說ai。將基本劃分Ue中所有未被拒絕的假說的析?。ㄓ洖閔*）接受為最強的假說。

q(cont(┓ai,e))指假說ai的拒絕程度。在采用標準信息測度的情況下，對于有n個元素的基本劃分Ue中的所有基本假說a來說，它們的拒絕度都是q/n。當P(ai,e)＜q/n時，ai被拒絕。具體到彩票案例，基本劃分Ue是由100萬個形如 “第i張彩票會中獎”的基本假說構成的集合，每張彩票中獎的概率P(ai,e)=1／1000000。根據萊維的標準正則信息測度定理m(a,e)=cont(┓a,e)=1/n，可以得知每張彩票的信息概率m(a,e)=1／1000000，其拒絕度q/n等于q/1000000。 由于0＜q＜1， 所以，P(ai,e)＞q(cont(┓ai,e))，即EU(ai,e)＞0，從而沒有一個假說被拒絕。根據認知效用接受規(guī)則（1），我們應該接受的是a1∨a2∨……∨a1000000，但并沒有斷定是否可以接受合取式語句。這樣，彩票悖論就不會產生。

這一路徑上的新進展是凱文·凱利(Kevin T.Kelly)等人最近提出的幾何-邏輯方案［8］，它界定了一個能接受非確定性命題但不會產生矛盾的非限定性接受規(guī)則。盡管它們都能解決彩票悖論，但學界普遍認為認知效用路徑上的方案技術上過于復雜，并且不符合認知實踐。

三、彩票悖論是斷言悖論而非信念悖論

盡管前述方案在形式技術上都能較好地消解矛盾，但它們都有一些實質性缺陷。［9］(P176-210)既然如此，厘清所有這些方案共同的前提或出發(fā)點，對之加以反思、修正或拒斥可能是更好地解決彩票悖論的一個新路徑。

前述所有代表性方案的一個共同出發(fā)點是：彩票悖論是關于合理相信或接受的悖論；共同的消解策略是制訂合理相信或接受的必要條件，即合理相信或接受的規(guī)范（norms），其差別在于制訂的規(guī)范不完全一樣。并且，這些方案基本上都是質疑作為信念合理相信或接受之實質條件的洛克論點（凱伯格方案例外）。作為邏輯保守主義者，筆者認為，彩票悖論的導火索可能正是洛克論點，或者，更準確地說，是對洛克論點的誤讀或誤表達。

回到彩票悖論案例。根據抽獎活動規(guī)則及相關背景知識，現在所有的證據是：（1）有一張彩票會中獎；（2）一百萬張彩票中的任意一張中獎的概率是1/1000000，從而任意的第i張彩票不中獎的概率是0.999999。根據洛克論點，從上述證據可以得到的命題是“S可以合理相信（接受）第i張彩票不會中獎”，而不是“第i張彩票不會中獎”。前者的邏輯形式是BSpi，而后者的形式是pi。也就是說，依照洛克論點，嚴格說來，從現有證據能得到的命題集只是{1≤i≤1000000|BS～pi}。經典合取閉合可以保證從～p1，～p2， ……～pn得到～p1∧～p2……∧～pn， 但它不能保證從BS～p1，BS～p2……BS～pn可以演繹地得到BS（～p1∧～p2……∧～pn）。認知邏輯中沒有這樣一個閉合規(guī)則。即便有這樣的信念合取閉合規(guī)則，我們能得到命題“S相信所有彩票都不會中獎”，從而得到對任意的i，“S相信第i張彩票不會中獎”，但根據證據我們能斷定的命題是“第i張彩票會中獎”，而BS～pi∧pi無論如何不是矛盾命題，因此，學界廣為討論的彩票悖論也許只是一種幻象，并不是嚴格的悖論。

可能有這樣一種反對意見：根據抽獎規(guī)則，作為證據的命題pi“第i張彩票會中獎”是我們的知識，根據知識是得到辯護的真信念這一經典知識定義，可以從現有證據衍推出“S相信第i張彩票會中獎”。從而可以得到：“S相信第i張彩票不會中獎”并且“S相信第i張彩票會中獎”。似乎我們還是可以得出“矛盾”，人類理性仍然面臨彩票悖論的挑戰(zhàn)。但情況并非如此。這一命題的邏輯形式為（BS～pi∧BSpi），而不是BS（～pi∧pi），更不是（～BSpi∧BSpi）。（BS～pi∧BSpi）最多只表明認知主體S的信念系統(tǒng)不一致，它沒表明主體S相信了一個矛盾，更不用說它根本不是矛盾命題。根據悖論的一般定義，如此理解的彩票案例顯然不滿足悖論的必要條件，因此作為合理相信和接受的“彩票悖論”并不是悖論。

上述論證表明，從作為內在心智狀態(tài)或命題態(tài)度的信念視角來看，凱伯格的彩票案例向我們展示的并不是學界通常認為的較為嚴格的合理信念或知識接受悖論，因為它不滿足任何合理意義上的悖論的構成要素之一，甚至從該案例不能得出真正的矛盾命題。

如果我們轉化視角，從外在的言語行動視角來看，彩票案例可能會是另一番景象，它可能是一個真正的悖論，是對人類認知理性的真正挑戰(zhàn)?；谧C據每張彩票中獎的概率是1/1000000， 在說出 （uttering）“第i張彩票不會中獎”時，實際上是在作一個斷言（asserting）的言語行動，該言語行動斷定的內容是第i張彩票不會中獎，不是表達“我相信第i張彩票不會中獎”這個信念，也不是斷定“我相信第i張彩票不會中獎”。因為如果是后兩者，我們又回到了前面論證過的合理相信或接受視角，從而彩票案例不構成悖論。

斷定某個命題意思是說斷定該命題為真。由于i從1到1000000的任意數字，斷定第i張彩票不會中獎時，實際上就斷定了所有彩票都不會中獎。于是對任意的i都有～pi。根據背景知識有pi，從而～pi∧pi，即得到了一個嚴格意義上的矛盾命題。

不難看出，得出這一矛盾依賴的條件為：（1）不矛盾律；（2）經典合取閉合原則；（3）斷定原則：如果一個命題具有很高的概率，那么可以合理斷定該命題。前兩個條件為邏輯條件，第三個是非邏輯的實質性條件。需要強調指出的是，此處兩個邏輯條件比信念版本的彩票悖論依賴的協調性原則和信念的合取封閉原則更嚴格。不矛盾律是人類思維的三大基本規(guī)律，如果沒有這一要求，顯然得不出任何悖論。此處涉及的合取閉合原則與前述信念的合取封閉原則不同，它是經典命題邏輯的基本邏輯特性。第三個條件則是前述洛克論點的“斷言”形式。

“斷定原則”在科學和日常生活中都一直實質性地起作用?？茖W家在大量科學證據的基礎上提出某個理論，在說出或使用肯定性語句將它們表達出來的時候，他們實際在下斷言。這些斷言斷定的東西就是斷言的內容，或者說命題內容。某人說“我明天出門不會遇車禍”時，他在斷言明天沒有車會撞上他，他不會受傷，并且他認定事實會是如此。在這些案例中，我們通常不會認為科學家和他人作這樣的斷言是非理性的。換句話說，我們作這樣的斷言是高度合理的。這些案例為“斷定原則”的合理性提供了辯護。在從公認的背景知識出發(fā)，經過較嚴密的邏輯推導得出一個矛盾命題這個意義上，前述彩票案例是一個貨真價實的悖論。矛盾命題之得出所依賴的三個條件的高度合理性為它的嚴格性提供了辯護。

綜上所述，信念視角下的凱伯格彩票案例實際不像學界通常所認為的是一個較為嚴格的悖論；使之嚴格悖論化的一個途徑是在作為言語行動的斷言視角下看待凱伯格的彩票案例。也許有另外的途徑可以將彩票案例悖論化，但這不是本文必須處理的問題。因此，如果彩票案例要成為悖論，那么它可能是作為斷言的悖論，而不是作為合理信念的悖論。

四、對作為斷言悖論的彩票悖論的消解

作為斷言悖論的彩票悖論之構造所依賴的三個條件都具有很強的合理性。根據拉卡托斯（Imre Lakatos）的科學研究綱領方法論，后兩個邏輯條件屬于“硬核”，而筆者所稱作的“斷定原則”則屬于“保護帶”。科學研究綱領方法論建議我們在遇到反常時先修改“保護帶”。于是，彩票悖論的解決就轉化為認知主體在何種情境下才可以合理地下斷言，或者說，斷言的規(guī)范是什么。

假設在凱伯格所說那樣的公平抽獎活動中，我對朋友說“你的彩票不會中獎”，但不告訴他理由。此時，我在對我朋友的這次抽獎行動的結果下斷言，斷定他不會贏得那筆獎金。我的斷言高度合理：我作這番斷言是基于強有力的證據——每張彩票不會中獎的概率高達0.9999999。但事實上彩票悖論還是產生了。這說明斷言的規(guī)范不能僅僅是證據甚或是非常強有力的證據。也就是說，斷言的下述證據規(guī)范不能避免悖論，從而是不合理的：S斷定p，僅當S對p有很強的支持性證據。因此,需要尋找比證據規(guī)范更強的規(guī)范。

在我向朋友斷言他的彩票不會中獎時，我就向他傳達了我有下此斷言的權威這一信息。這種權威可能是我有關于此次抽獎活動的 “內幕消息”。但斷定為真的命題不一定事實上為真，被斷定為真和事實上為真不是同一回事。有可能我朋友的那張彩票恰好就中獎了。于是我（并非虛假地）作了一個虛妄斷言。這是因為我事實上沒有這種權威，即我本來沒有下這樣斷言的權利。又如，一個股票經紀人對他的客戶說“（我推薦的）這支股票會大漲”，他給客戶傳達的信息是：股票經紀人斷定這支股票會大漲，很可能因為他有該股票的內幕信息。但這支股票可能會跌，因為他沒有這樣的內幕信息，他沒有作這樣斷言的權威。換句話說，在這兩種情況下，斷言者都不滿足下斷言的必要條件。

不難看出，上面兩個案例有一個共同點：“我”和“股票經紀人”斷定的東西都不一定事實上是真的。反過來，如果我們要求被斷定的東西必須在事實上是真的，情況會如何呢？也就是，我們可以提出下述關于斷言的原則：

斷定的知道原則：斷言者S斷定p，僅當S知道p是真的。

筆者不打算對斷言的知道原則進行系統(tǒng)性辯護，原因在于這一原則的強化形式是威廉姆森的“斷言的知識規(guī)范”，而威廉姆森對該規(guī)范所做的有力辯護均可用于對知道原則的辯護［10］(P243-260)。在此，筆者只指出如下共識：我們只能對我們知道的東西下斷言，這是（真實的）言語行動所應遵循的準則，否則是妄言而不是斷言。另外，這一規(guī)范具有強大的解題能力，即利用斷定的知道規(guī)范可以有效地避免彩票悖論。

在彩票案例中，由于我沒有內幕消息，我不知道我朋友的那張（任意的）彩票是否會中獎，因此，我沒有權利斷定他的那張彩票不會中獎，從而我沒有權利斷定所有彩票不會中獎。彩票悖論不會產生。如果我有內幕消息，譬如我事先知道中獎的號碼，我知道朋友的那張彩票沒有中獎，我有權下此斷言，但我沒權斷言那張印有中獎號碼的彩票沒有中獎，彩票悖論也不會產生。如果我根據內幕消息知道我朋友的彩票會中獎，我無權也不會（真實地）斷定他的彩票不會中獎，悖論也不會產生。

這一方案的實質是強化斷定的要求，用斷定的知道原則來替代產生悖論的斷定的 （高概率證據）原則。也許，我們可以構想出斷定的其他規(guī)范，這一（些）規(guī)范可以有效地消解彩票悖論但不會產生新的悖論，并且與我們的日常言語行動實踐高度吻合，這正是本文所揭示的進一步研究方向。

［1］Henry E.Kyburg.Probability and the Logic of Belief.Middletown:Wesleyan University Press,1961.

［2］Henry E.Kyburg.Conjunctivtis.In:Marshall Swain(ed).Induction,Acceptance,and Rational Belief.Dordrecht:D.Reidel Publishing Company,1970.

［3］B.van Fraassen.Fine-grained opinion,probability and the logic of full belief.Journal of Philosophical Logic,1995,(24).

［4］Sharon Ryan.The Epistemic Virtues of Consistency.Synthese,1996.

［5］Dana K.Nelkin.The Lottery Paradox,Knowledge,and Rationality.The Philosophical Review，2000.

［6］Igor Douven.ANew Solution tothe Paradoxesof Rational Acceptability.The British Journal for the Philosophy of Science,2002.

［7］I.Levi.Gambling with truth:An essay on induction and the aims of science.New York:Harper＆Row,1967.

［8］Hanti Lin＆ Kevin T.Kelly.A geo-logical solution to the lottery paradox,with applications to conditional logic.Synthese,2012.

［9］頓新國.歸納悖論研究［M］.北京：人民出版社，2012.

［10］Timothy Williamson.Knowledgeand Its Limits.Oxford:Oxford University Press,2000.