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    基于線性方程組的門限匿名認(rèn)證方案

    2015-04-14 12:28:28殷鳳梅濮光寧侯整風(fēng)
    關(guān)鍵詞:線性方程組證者門限

    殷鳳梅,濮光寧,張 江,侯整風(fēng)

    1.合肥師范學(xué)院,合肥 230601

    2.安徽財(cái)貿(mào)職業(yè)學(xué)院,合肥 230601

    3.合肥工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院,合肥 230009

    1 引言

    隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的飛速發(fā)展,電子商務(wù)、電子政務(wù)和網(wǎng)上銀行得到廣泛應(yīng)用,此類應(yīng)用中,為了增強(qiáng)系統(tǒng)的安全性能,身份認(rèn)證技術(shù)必不可少,在一些特殊的場(chǎng)合下,認(rèn)證的身份還需要匿名保護(hù)。因此,匿名認(rèn)證[1]成為了信息安全領(lǐng)域的研究熱點(diǎn),很多無(wú)條件匿名認(rèn)證方案[2-7]應(yīng)運(yùn)而生??蓪?duì)于完備的匿名認(rèn)證,可追蹤的匿名認(rèn)證可以防止“匿名”特性被濫用。

    2001年,Shouichi和Susumu[8]基于隨機(jī)自規(guī)約關(guān)系產(chǎn)生了臨時(shí)的公私鑰,實(shí)現(xiàn)了移動(dòng)環(huán)境下的可追蹤匿名認(rèn)證方案,但該方案中存在可信中心權(quán)利過(guò)大的問(wèn)題。2005年,田子健等[9]借鑒環(huán)簽名的思想,提出一種動(dòng)態(tài)可追蹤的匿名認(rèn)證方案,該方案既可以由示證人自由選擇匿名子集,又可以追蹤匿名的身份。2008年,Jung等人[10]提出了A3RP協(xié)議,實(shí)現(xiàn)可追蹤的匿名認(rèn)證方案。但這兩個(gè)方案的匿名追蹤不是門限追蹤,容易導(dǎo)致成員的身份信息被隨意的追蹤,降低了隱私的安全性。2012年,劉方斌等[11]借助民主簽名思想提出了無(wú)可信中心的門限追蹤Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)匿名認(rèn)證,有效地解決了Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)中的匿名認(rèn)證問(wèn)題,但該方案采用Shamir的Lagrange插值算法計(jì)算成員的秘密份額和群公鑰,計(jì)算和相互通信開銷較大,效率較低。

    本文借助石潤(rùn)華等人[12]提出的門限秘密共享的思想,提出了一種基于線性方程組的門限匿名認(rèn)證方案,其安全性依賴于離散對(duì)數(shù)求解的困難性。與文獻(xiàn)[11]相比,秘密份額和群公鑰的計(jì)算代價(jià)較小,匿名認(rèn)證過(guò)程更簡(jiǎn)單。

    2 基于線性方程組的門限匿名認(rèn)證方案

    2.1 系統(tǒng)初始化

    本文方案是基于線性方程組的求解理論,當(dāng)系數(shù)矩陣的秩等于t時(shí),可以求出t個(gè)未知變量,繼而得到每個(gè)成員的秘密份額。

    方案中存在n個(gè)成員Ui(1≤i≤n),可信中心選取參數(shù)p、g并公開。其中,p是安全的大素?cái)?shù),q是p-1的素因子,g是GF(p)上的q階生成元。

    定義一個(gè)序列如下:

    其中,c0是n個(gè)成員共享的秘密,c1,c2,…,ct-1是t-1個(gè)隨機(jī)數(shù)(要求ci(0≤i≤t-1)之間線性無(wú)關(guān)),每個(gè)si(0≤i≤n)由它前面的t項(xiàng)相加modp得來(lái)。即

    因此,產(chǎn)生如下線性方程組:

    由于s0與共享的秘密c0直接相關(guān),因此對(duì)s0保密。將式(3)中每個(gè)方程均用ci(0≤i≤t-1)表示,可以得到式(4):

    其中,Bn×t成員可以計(jì)算得到,即相當(dāng)于對(duì)所有成員公開。將si作為秘密份額分發(fā)給用戶Ui,公開C0,計(jì)算成員Ui的公鑰Si并公開。C0、Si可通過(guò)式(7)、(8)計(jì)算得到:

    由于C是t維向量,反過(guò)來(lái),共享的秘密c0與t個(gè)成員si之間的關(guān)系可以用式(9)表示:

    而bji′(1≤i≤t)可以由矩陣 B計(jì)算得到。

    2.2 匿名認(rèn)證

    匿名認(rèn)證包含兩個(gè)方面:一要求示證者可以證明自己的身份;二要求在認(rèn)證中不泄露示證者的身份信息。

    示證者Up想證明自己屬于組織U,為了不暴露自己的身份,需要其余任意t-1個(gè)成員協(xié)助,組成認(rèn)證集合UR={U1,…,Ut-1,Up}。

    隨機(jī)數(shù)的詳細(xì)獲取過(guò)程可參考文獻(xiàn)[13]。

    (4)Up根據(jù)式(10)計(jì)算Kp并公開,根據(jù)式(11)計(jì)算Ep并公開:

    (5)Up秘密地選隨機(jī)數(shù)hp,根據(jù)式(12)計(jì)算Hp并公開,根據(jù)式(13)計(jì)算Qp并公開:

    (6)認(rèn)證集合UR中每個(gè)成員Ui(i∈UR),根據(jù)式(14)計(jì)算fi:

    (7)根據(jù)式(15)聯(lián)合計(jì)算Fp:

    (8)若式(16)成立,則證明Up屬于組織U:

    2.3 匿名追蹤

    為了防止“匿名”特性被濫用,在某些情況下,需要追蹤并揭示示證者的身份信息,即考慮匿名可控問(wèn)題。如此一來(lái),匿名認(rèn)證和匿名追蹤似乎有些矛盾,為了兼顧兩者,匿名追蹤不能是隨意的追蹤,必須是達(dá)到門限值t個(gè)成員,聯(lián)合才能追蹤示證者的身份,即實(shí)現(xiàn)匿名的門限追蹤。

    (1)t個(gè)成員記為Ui(1≤i≤t)組成追蹤集合UZ={U1,U2,…,Ut},使用各自的秘密份額根據(jù)式(17)計(jì)算wi,并根據(jù)式(18)聯(lián)合計(jì)算Wp:

    (2)根據(jù)式(19)可得到示證者的公鑰,即示證者的身份:

    2.4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

    令n=11,t=5,p=47,根據(jù)式(4),si可由ci(0≤i≤4)線性表示,兩者之間的線性關(guān)系可以使用矩陣表示,如式(20):

    假設(shè)共享的秘密c0=13,根據(jù)文獻(xiàn)[14]的證明,取生成元g=5,根據(jù)式(7)計(jì)算C0=513mod47=43并公開。選取隨機(jī)數(shù)c1=3,c2=7,c3=9,c4=11。

    (1)根據(jù)式(20)計(jì)算可得si序列:

    (2)如果U6想證明自己屬于組織U,需要組織中的4個(gè)成員,假設(shè)是U1,U3,U4,U8協(xié)助認(rèn)證,則認(rèn)證集合UR={U1,U3,U4,U8,U6} 。

    以上隨機(jī)數(shù)ci以及p等數(shù)據(jù)的選擇都是一般的整數(shù),主要用來(lái)模擬驗(yàn)證方案的正確性,在實(shí)際應(yīng)用中,可以從Miracle大數(shù)運(yùn)算庫(kù)選擇位數(shù)較高的大數(shù),提高方案的安全性。

    3 方案分析

    3.1 正確性

    (1)系統(tǒng)初始化的正確性分析

    n個(gè)成員可通過(guò)式(4)獲得各自的秘密份額,且成員數(shù)n可以任意擴(kuò)展。

    由于每個(gè)si(0≤i≤n)由它前面的t項(xiàng)相加modp而得,因此所有的si都可以轉(zhuǎn)換成由ci(0≤i≤t-1)線性表示,即通過(guò)式(4)所示的方程組求解。另外,每個(gè)si都由它前t項(xiàng)計(jì)算得來(lái),因此,式(2)所示的序列可以無(wú)限擴(kuò)展,即n的值不固定。

    (2)匿名認(rèn)證的正確性證明

    可通過(guò)式(16)認(rèn)證示證者Up屬于組織U。

    證明引理[15]gtmodqmodp=gtmodp。由式(11)、(7)、(9)、(14)、(15)可得:

    (3)匿名追蹤的正確性證明

    可通過(guò)式(19)追蹤示證者Up的身份,即公鑰Sp。

    證明由式(18)、(17)、(12)、(7)可得:

    3.2 安全性

    本文方案的安全性基于對(duì)離散對(duì)數(shù)問(wèn)題的求解,而離散對(duì)數(shù)的求解在現(xiàn)階段是非常困難的。

    (1)本文方案具備匿名性

    在匿名認(rèn)證過(guò)程中,示證者公開的Ep中并不包含示證者的身份信息,因而,Ep的公開不會(huì)泄露示證者的身份。另外,示證者提供的fp中雖然隱含秘密份額的身份信息,但如果想非法獲得,就必須求解離散對(duì)數(shù)問(wèn)題,而離散對(duì)數(shù)的求解非常困難。因此,在匿名認(rèn)證中,示證者的身份滿足匿名性。

    (2)本文方案具備可追蹤性

    如果t個(gè)成員各自提供正確的Wi,按照式(18)聯(lián)合計(jì)算出Wp,根據(jù)式(19)便可恢復(fù)出示證者的公鑰Sp即身份信息。

    (3)本文方案具備門限性質(zhì)

    在系統(tǒng)初始化過(guò)程中,由于Ct中含有t個(gè)未知數(shù),需要t個(gè)方程才能求解出成員的秘密份額;在匿名認(rèn)證和匿名追蹤過(guò)程中,F(xiàn)p和Wp都需要t個(gè)成員聯(lián)合才能計(jì)算出來(lái),因而本方案具有門限性質(zhì)。

    (4)本文方案具備完備性

    所謂的完備性是指外部成員無(wú)法通過(guò)匿名認(rèn)證。在匿名認(rèn)證過(guò)程中,外部成員企圖通過(guò)認(rèn)證,就必須提供正確的fi,fi是根據(jù)成員的秘密份額si計(jì)算得來(lái)的,由于離散對(duì)數(shù)的難解性,外部成員不可能獲得秘密份額,因此,外部成員無(wú)法通過(guò)匿名認(rèn)證。

    (5)匿名認(rèn)證過(guò)程抗偽造攻擊

    匿名認(rèn)證過(guò)程的偽造攻擊可以從兩個(gè)方面來(lái)分析。

    ①抗示證者的偽造攻擊

    從式(14)可知,認(rèn)證成員提供的fi需要使用認(rèn)證成員的隨機(jī)數(shù)ki',雖然開始時(shí)認(rèn)證成員的隨機(jī)數(shù)ki是由示證者選擇并提供的,但經(jīng)過(guò)匿名認(rèn)證集合中全體成員的相互協(xié)作,認(rèn)證成員獲得了新的秘密隨機(jī)數(shù)ki',且對(duì)示證者是保密的,因此,示證者無(wú)法偽造出認(rèn)證成員的fi。

    ②抗認(rèn)證成員的偽造攻擊

    在匿名認(rèn)證過(guò)程中,由于fi的計(jì)算需要使用認(rèn)證成員自身的秘密份額si,而si是安全保密的,因而認(rèn)證成員的fi不可能被其他成員偽造出來(lái)。

    (6)匿名認(rèn)證過(guò)程抗一致性攻擊

    所謂的一致性攻擊是指兩次認(rèn)證是否認(rèn)證同一個(gè)用戶。由于每次匿名認(rèn)證,示證者選擇的隨機(jī)數(shù)kp和hp是不固定的,認(rèn)證成員獲得的隨機(jī)數(shù)ki'也是不固定的,因而不能判定兩次認(rèn)證是否是認(rèn)證同一個(gè)用戶。

    3.3 有效性

    (1)協(xié)議性質(zhì)分析

    與現(xiàn)有的匿名認(rèn)證方案進(jìn)行比較,本文方案同時(shí)具有匿名性、門限可追蹤性、完備性、抗偽裝攻擊和一致性攻擊,詳見表1。

    (2)計(jì)算代價(jià)分析

    從表1中可以看出,文獻(xiàn)[11]也能實(shí)現(xiàn)門限匿名追蹤,下面將主要與文獻(xiàn)[11]在計(jì)算代價(jià)上進(jìn)行比較。為了方便比較,用Tmul代表模乘計(jì)算費(fèi)用,Texp代表模指數(shù)計(jì)算費(fèi)用,Th代表哈希函數(shù)計(jì)算費(fèi)用,t是門限值,n是成員數(shù),模加/異或運(yùn)算的時(shí)間復(fù)雜度相當(dāng)小,計(jì)算費(fèi)用可以忽略。

    文獻(xiàn)[11]采用Shamir的Lagrange插值算法計(jì)算成員的秘密份額信息,計(jì)算的開銷是n(t-1)Tmul+n(t-2)Texp,在匿名認(rèn)證中借鑒民主簽名的思想,需要選擇2n-1個(gè)隨機(jī)數(shù),計(jì)算3n個(gè)中間數(shù)據(jù)xj、yj、zj。本文方案采用線性方程組理論獲得成員的秘密份額,計(jì)算開銷是(t-1)Tmul,在匿名認(rèn)證中,需要選擇t個(gè)隨機(jī)數(shù),計(jì)算t個(gè)中間數(shù)據(jù)fi,t個(gè)fi進(jìn)行連乘運(yùn)算。兩種方案的計(jì)算代價(jià)詳見表2。

    表2中的數(shù)據(jù)表明,實(shí)現(xiàn)同樣功能的情況下,本文方案的計(jì)算代價(jià)相對(duì)較小。

    表1 可追蹤匿名認(rèn)證方案性質(zhì)比較

    表2 門限可追蹤匿名認(rèn)證方案計(jì)算代價(jià)比較

    4 結(jié)束語(yǔ)

    基于線性方程組的求解理論,提出了一種門限匿名認(rèn)證方案,其安全性依賴于離散對(duì)數(shù)求解的困難性。與已有的方案相比,本文方案不僅能實(shí)現(xiàn)匿名認(rèn)證,更能實(shí)現(xiàn)匿名追蹤,且具有門限性質(zhì)。整個(gè)過(guò)程中,計(jì)算代價(jià)相對(duì)較小,匿名認(rèn)證過(guò)程相對(duì)較簡(jiǎn)單。在電子商務(wù)、移動(dòng)通信等眾多領(lǐng)域,本文方案將具有廣闊的應(yīng)用前景。

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