一種小角度誤差快速檢測(cè)方法及不確定度分析

孫斌，李云玲，卜雄洙

(1.南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇南京210094;2.內(nèi)蒙古北方重工業(yè)集團(tuán)有限公司，內(nèi)蒙古包頭014033)

0 引言

轉(zhuǎn)臺(tái)常常作為高精度的角度位置產(chǎn)生的基礎(chǔ)平臺(tái)。轉(zhuǎn)臺(tái)的位置輸出精度直接影響整個(gè)測(cè)試系統(tǒng)的校準(zhǔn)或測(cè)量精度，因此需要經(jīng)常對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的角度系統(tǒng)進(jìn)行誤差測(cè)量，為調(diào)校轉(zhuǎn)臺(tái)設(shè)備提供依據(jù)。傳統(tǒng)的機(jī)械測(cè)角法有多面體棱鏡法、分度臺(tái)法等;近些年來又研究出較多的光學(xué)測(cè)角法，如圓光柵法、衍射法、以及激光干涉法等［2］。機(jī)械方法自動(dòng)化程度低、操作繁復(fù)且多只能用于靜態(tài)測(cè)量。光學(xué)法雖然操作簡(jiǎn)便、自動(dòng)化程度高，但實(shí)驗(yàn)設(shè)備復(fù)雜、昂貴，設(shè)備通用性差，對(duì)環(huán)境要求嚴(yán)苛［3］。在存在振動(dòng)等干擾的環(huán)境中，無論是傳統(tǒng)的機(jī)械測(cè)角法還是高精度的光學(xué)測(cè)角法都很難實(shí)施，即使條件允許，測(cè)量過程往往過于繁復(fù)。因此，研究具有較強(qiáng)環(huán)境適應(yīng)性的快速測(cè)量方法很有必要。自準(zhǔn)直經(jīng)緯儀是最常用的光學(xué)測(cè)角儀器之一，具有自動(dòng)補(bǔ)償機(jī)構(gòu)，能很好地適應(yīng)不同的應(yīng)用環(huán)境，常用于大地觀測(cè)、微小角度測(cè)量等領(lǐng)域。本文以單軸俯仰轉(zhuǎn)臺(tái)為例，針對(duì)傳統(tǒng)角度誤差檢測(cè)設(shè)備難以對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)角度誤差進(jìn)行快速測(cè)量的問題，提出一種適合于現(xiàn)場(chǎng)快速應(yīng)用的自準(zhǔn)直經(jīng)緯儀對(duì)準(zhǔn)靜態(tài)誤差測(cè)量方法，并建立其誤差測(cè)量模型，推導(dǎo)模型解算的方法，最后對(duì)其測(cè)量不確定度進(jìn)行評(píng)定。

1 測(cè)量原理及系統(tǒng)組成

1.1 測(cè)量原理

利用自準(zhǔn)直經(jīng)緯儀測(cè)量轉(zhuǎn)臺(tái)角度誤差的原理如圖1所示，反射面做以轉(zhuǎn)臺(tái)水平軸中心O 為旋轉(zhuǎn)中心的同軸轉(zhuǎn)動(dòng)。測(cè)量時(shí)，先轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)臺(tái)水平軸至預(yù)設(shè)角度誤差測(cè)量位置θ，反射面跟隨其同步轉(zhuǎn)動(dòng)，調(diào)整自準(zhǔn)直經(jīng)緯儀，使其發(fā)出的光線經(jīng)反射面垂直反射后成自準(zhǔn)直像，即返回的十字像落在固定分劃線的雙十字刻線中心，然后讀取經(jīng)緯儀上垂直角φ，根據(jù)光路可知，θ=φ-90°，結(jié)合轉(zhuǎn)臺(tái)自身角度輸出θ’，就可以得到該位置下轉(zhuǎn)臺(tái)的角度誤差，記錄結(jié)果并開始下一次測(cè)量，按照此步驟依次完成各個(gè)預(yù)設(shè)角度位置的誤差測(cè)量。

圖1 角度誤差測(cè)量原理圖

1.2 系統(tǒng)組成

采用自準(zhǔn)直經(jīng)緯儀對(duì)準(zhǔn)法進(jìn)行靜態(tài)誤差測(cè)量的裝置如圖2所示，該套測(cè)量裝置主要由自準(zhǔn)直經(jīng)緯儀、反射棱鏡和上位機(jī)等組成。自準(zhǔn)直經(jīng)緯儀因其測(cè)量精度高、操作簡(jiǎn)單及可靠性好等特點(diǎn)在高精度安裝和方向基準(zhǔn)建立中得到廣泛應(yīng)用。一般電子經(jīng)緯儀的測(cè)角精度能達(dá)到秒級(jí)［4］，對(duì)于一般轉(zhuǎn)臺(tái)的角度誤差測(cè)量而言已足夠。反射棱鏡是由圓柱體棱鏡在其側(cè)面加工出一個(gè)鍍膜反射面，如圖2 中面A所示，鍍膜的目的是提高反射率。安裝時(shí)，首先用分度值為0.0002 mm 的測(cè)微表來找正，調(diào)整定位夾具的芯軸與被測(cè)轉(zhuǎn)軸中心重合。在此基礎(chǔ)上，在轉(zhuǎn)臺(tái)處于水平時(shí)，用高精度光電準(zhǔn)直儀水平將反射面的中心法線調(diào)整至水平，即反射面處于鉛垂，至此反射棱鏡安裝完畢，之后的測(cè)量過程中無需再調(diào)整。上位機(jī)主要完成測(cè)量控制、數(shù)據(jù)采集處理及結(jié)果顯示的工作，數(shù)據(jù)包括轉(zhuǎn)臺(tái)自身的轉(zhuǎn)動(dòng)角度輸出以及自準(zhǔn)直經(jīng)緯儀的角度輸出。該套設(shè)備構(gòu)成簡(jiǎn)單，實(shí)用性強(qiáng)。針對(duì)不同的轉(zhuǎn)軸，只要加工相應(yīng)的工裝使得反射棱鏡能夠同軸安裝即可，通用性明顯優(yōu)于其他一些光學(xué)方法。

圖2 自準(zhǔn)直經(jīng)緯儀測(cè)量轉(zhuǎn)臺(tái)誤差裝置示意圖

2 空間反射模型及解算方法

2.1 空間反射模型

轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角誤差測(cè)量的反射模型如圖3所示。為了更準(zhǔn)確地描述測(cè)量過程，選取參考坐標(biāo)系OXYZ，矢量A，A'和N 分別為反射平面的入射光矢、反射光矢和反射面法線的單位矢量。圖3 中，φ 角為反射平面的入射光線A 與Z 軸的夾角，即自準(zhǔn)直經(jīng)緯儀的垂直角輸出;α 角是入射光線A 在XY 平面投影Axy與Y 軸的偏移角;θ 是反射棱鏡反射面中心法線N 與水平線的夾角，測(cè)量過程中以轉(zhuǎn)臺(tái)自身的角度輸出近似表示;β角是反射面法線N 在XZ 平面投影Nxz與Z 軸的偏移角。理想情況，φ，θ 處于YZ 平面且滿足θ=φ-90°，此時(shí)有α=β=0°，問題簡(jiǎn)化為二維模型。但是實(shí)際測(cè)量時(shí)，由于安裝誤差、儀器誤差、人員誤差等的存在，α，β 均不為0 且兩者間不存在明顯的數(shù)學(xué)關(guān)系，此時(shí)φ，θ 不再滿足θ=φ-90°的關(guān)系。所以絕大多數(shù)情況下，簡(jiǎn)化的二維模型不能反映實(shí)際測(cè)量中存在的許多誤差來源，即二維模型只能用于定性說明測(cè)量原理，無法用于實(shí)際測(cè)量。

圖3 空間反射測(cè)量示意圖

為了解決上述問題，需要研究建立三維空間反射測(cè)量模型。結(jié)合光線的矢量性，采用矢量分析方法［5］建立的模型關(guān)系式為

2.2 模型解算

在圖3所示坐標(biāo)系下可得

測(cè)量時(shí)，調(diào)整自準(zhǔn)直經(jīng)緯儀使其成自準(zhǔn)直像，即光線是原路返回，則

結(jié)合式(1)，(3)可得

將式(2)代入式(4)并化簡(jiǎn)可得

式(5)說明此時(shí)φ，θ 為非線性關(guān)系，且與偏移角α，β 大小有關(guān)，α，β 的地位對(duì)等。圖4 是角α，β 存在下θ 與理論真值的誤差。

圖4 偏移角α，β 對(duì)測(cè)量結(jié)果的誤差

從圖4 可知，當(dāng)cosα，cosβ 的值都接近1，即α，β接近0 時(shí)，偏差很小，這時(shí)可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)式(5)可得

從式(6)得到了與二維平面分析一致的表達(dá)式。所以，當(dāng)測(cè)量裝置安裝調(diào)校比較好的情況下，如果要求的測(cè)量精度不是很高，可以采用式(6)作為測(cè)量的反射模型。否則，采用式(5)更為合適，但是需要額外的增加對(duì)偏移角α，β 的測(cè)量，增加了實(shí)驗(yàn)操作難度。

3 不確定度評(píng)定

3.1 數(shù)學(xué)模型

實(shí)驗(yàn)被測(cè)對(duì)象為一臺(tái)A1-ST14A-JX-00 單軸電動(dòng)俯仰轉(zhuǎn)臺(tái)，其位置誤差指標(biāo)在15″以內(nèi)，自準(zhǔn)直經(jīng)緯儀采用的是DT202C 電子經(jīng)緯儀，垂直角測(cè)角誤差為2″，滿足測(cè)量不確定度之比在1/4 ～1/10 的條件［6］，所以選擇式(6)作為角度誤差測(cè)量的反射模型。在該條件下，角度誤差可以表示為

式(7)中φ 與θ'相互獨(dú)立，故由不確定度傳播律得合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的平方為

式中:cφ，cθ’為靈敏系數(shù)，。

3.2 不確定度分量評(píng)定

3.2.1 自準(zhǔn)直經(jīng)緯儀讀數(shù)φ 相關(guān)誤差引入的不確定度

1)測(cè)量重復(fù)性引入的不確定度

實(shí)驗(yàn)預(yù)設(shè)測(cè)量位置為-10° ～+20°，間隔2°，一共16 個(gè)測(cè)量點(diǎn)。設(shè)備安裝調(diào)節(jié)完后，通過各6 次盤左、盤右對(duì)預(yù)設(shè)角度位置進(jìn)行重復(fù)測(cè)量，單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度s(x)=2.06″。故測(cè)量重復(fù)性引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

自由度ν1=n-1=5。

2)自準(zhǔn)直經(jīng)緯儀引入不確定度

自準(zhǔn)直經(jīng)緯儀引入誤差包含儀器誤差和對(duì)準(zhǔn)誤差兩部分。儀器誤差通過查產(chǎn)品合格證書:U=1″，k=2，可得不確定度分量

u2=1/2=0.5″

相對(duì)不確定度為90%，則自由度ν2=50。

對(duì)準(zhǔn)誤差主要是由人眼的分辨力限制造成的。實(shí)驗(yàn)所用自準(zhǔn)直經(jīng)緯儀望遠(yuǎn)鏡放大率為30，對(duì)準(zhǔn)方式為壓線對(duì)準(zhǔn)和夾線對(duì)準(zhǔn)相結(jié)合，其人眼分辨誤差約為δ=15″［7］，所以其對(duì)準(zhǔn)誤差的不確定度分量為

u3=15″/30=0.5″

相對(duì)不確定度為80%，自由度ν3=12。

3)反射棱鏡引入不確定度

反射棱鏡引入誤差包括反射棱鏡反射面的面形誤差及其安裝誤差。反射平面并不是絕對(duì)的平面，因此其法線方向會(huì)有微小的變化。實(shí)驗(yàn)所用反射棱鏡的鍍膜反射面面形誤差為高光圈N=1，所以由其造成的角度測(cè)量不確定度分量［8］為

式中:λ 為光波波長(zhǎng)，取λ=5×10-4mm;l 為反射面的長(zhǎng)度，l=100 mm。將弧度轉(zhuǎn)為角秒得

相對(duì)不確定度為80%，自由度ν4=12。

反射棱鏡采用光電自準(zhǔn)直法［9］安裝至轉(zhuǎn)臺(tái)軸上，轉(zhuǎn)臺(tái)的零位調(diào)校也是用光電自準(zhǔn)直儀法。所采用的準(zhǔn)直光管誤差為±1″，反射面法線與轉(zhuǎn)臺(tái)零位線之間的安裝誤差最大值為2″，其分布按均勻分布［10］，則由安裝誤差引入的不確定度為

相對(duì)不確定度為75%，則自由度為ν5=8。

以上引入各不確定度分量的因素互不相關(guān)，所以由這些分量得到與φ 相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為

3.2.2 轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)角系統(tǒng)輸出角度θ'誤差引入的不確定度

采用多面體棱鏡法測(cè)量得到轉(zhuǎn)臺(tái)自身輸出角度存在誤差［11］，由其引入的不確定度為

式中:σmax和σmin分別為用多面體棱鏡法測(cè)得的最大和最小偏差。實(shí)驗(yàn)所用多面體棱鏡為二十三面體［12］，自由度為ν6=m-1=22。

3.2.3 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度及擴(kuò)展不確定度

將uφ，uθ'的值代入公式(8)，可得系統(tǒng)的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

有效自由度［13］為

取置信概率為95%，查t 分布表得t95(32)=2.04，則擴(kuò)展不確定度為

4 結(jié)論

本文介紹了一種利用自準(zhǔn)直經(jīng)緯儀快速測(cè)量轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角誤差的方法——自準(zhǔn)直經(jīng)緯儀對(duì)準(zhǔn)法，通過深入分析該方法所采用的空間反射模型，給出了精確表達(dá)式，為以后進(jìn)一步提高該方法精度提供了理論依據(jù)。對(duì)測(cè)量裝置的不確定度評(píng)定結(jié)果表明，擴(kuò)展不確定度在10″以內(nèi)，能夠滿足轉(zhuǎn)臺(tái)小角度范圍測(cè)量誤差的精度要求。該方法與傳統(tǒng)方法相比具有操作簡(jiǎn)便、成本低、抗環(huán)境干擾強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，具有工程應(yīng)用價(jià)值。

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