研究生數(shù)學(xué)公共課程中教學(xué)案例創(chuàng)新與建設(shè)的思考

研究生數(shù)學(xué)公共課程中教學(xué)案例創(chuàng)新與建設(shè)的思考

張玲玲1，2，黃建華2，黃立宏1

(1. 湖南女子學(xué)院信息技術(shù)系，長沙410004;2. 國防科技大學(xué)理學(xué)院，長沙410073)

[摘要]通過對磁浮列車懸浮系統(tǒng)的Hopf分支的研究，提出了任課教師將科學(xué)研究中的實際問題抽象出來，按照“發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題、總結(jié)驗證”研究過程，“驅(qū)動的問題背景、問題的數(shù)學(xué)描述、所需數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)推導(dǎo)與證明、數(shù)值仿真驗證、回歸原始問題解釋和分析”的步驟，將科研成果轉(zhuǎn)化為精彩教學(xué)案例，啟發(fā)學(xué)生通過實際問題的數(shù)學(xué)分析與處理，激發(fā)其活學(xué)活用數(shù)學(xué)興趣、提高創(chuàng)新能力.

[關(guān)鍵詞]研究型案例； 創(chuàng)新能力； 教學(xué)案例創(chuàng)新

[收稿日期]2014-11-15

[基金項目]國防科技大學(xué)研究生數(shù)學(xué)公共課一流課程體系建設(shè)項目

[中圖分類號]O175.17;G642[文獻標(biāo)識碼]C

1引言

在教學(xué)中，我們要求研究生注重理論學(xué)科知識的融合和交叉，打牢數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，強化創(chuàng)新能力.為了調(diào)動工科研究生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的興趣，培養(yǎng)他們研究式、自主式學(xué)習(xí)的能力，達到更好的教學(xué)效果，結(jié)合研究生數(shù)學(xué)公共課程中常微分方程的定性理論和數(shù)學(xué)建模課程，我們將科研中的抑制磁懸浮列車振動問題轉(zhuǎn)化為教學(xué)案例.

磁浮列車是利用電磁吸力或斥力懸浮和導(dǎo)向車體的一種新型交通工具， 它具有速度快、噪音低、振動小、運營和維護費用低、安全環(huán)保等優(yōu)點，因此德國、日本、英國、美國、韓國、中國等許多國家紛紛開展了磁浮列車技術(shù)的研究.雖然磁懸浮技術(shù)已經(jīng)經(jīng)歷了數(shù)十年的發(fā)展，但相對于其他技術(shù)成熟的陸地交通工具來說，仍然存在一些需要深入研究的問題， 如車軌耦合共振問題等.

車軌耦合振動是磁懸浮技術(shù)中的一個技術(shù)難題，目前常用的抑制車軌耦合振動的方法是增加磁浮列車軌道質(zhì)量和提高軌道剛度，以此來降低振動發(fā)生的可能性.但是這種方法造價太高，不利于磁浮技術(shù)的推廣.因此有許多學(xué)者開始從非線性動力學(xué)角度來闡述車軌振動的成因，試圖找到控制車軌振動的有效方法.時滯的存在和反饋參數(shù)的變動都會導(dǎo)致系統(tǒng)的動力學(xué)行為發(fā)生改變，如出現(xiàn)混沌、分支等.Hopf分支產(chǎn)生的極限環(huán)與振蕩現(xiàn)象密切相關(guān)，因此討論時滯和反饋控制參數(shù)變動引起磁懸浮系統(tǒng)的Hopf分支現(xiàn)象，對研究磁懸浮系統(tǒng)車軌振動的問題有著重要的理論指導(dǎo)意義.

對具有時滯狀態(tài)反饋控制的磁懸浮系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析，得到影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的時滯和速度反饋控制增益的變化關(guān)系.并在時滯固定的情況下，采用多尺度方法計算了周期解的近似表達式，得出控制參數(shù)取值在一定范圍內(nèi)系統(tǒng)保持穩(wěn)定，變化控制參數(shù)可以產(chǎn)生兩個極限環(huán)，并可能產(chǎn)生雙Hopf分支，從而導(dǎo)致磁浮列車的振動.

2問題的數(shù)學(xué)描述

將數(shù)學(xué)建模的思想與磁浮列車懸浮系統(tǒng)相結(jié)合，建立模型.剛性軌道條件下，磁浮列車單電磁鐵-軌道懸浮控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示：

圖1　磁浮列車懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

其中，Mg和F(i，z)表示電磁鐵的重量和電磁力，z(t)代表電磁鐵在垂直方向上的位移，變量i(t)和v(t)分別表示電磁鐵線圈的電流和電壓.系統(tǒng)的動力學(xué)和電磁力方程為

(1)

(2)

其中A1=N2μ0S0，μ0為磁導(dǎo)強度，N是線圈匝數(shù)，S0和r是電磁鐵的極面積和電阻，從方程(2)中，得到

并將其代入方程(1)可得

控制電壓

各個狀態(tài)在平衡點位置的取值分別為

(3)

方程(3)的線性系統(tǒng)的特征方程為

D(λ，τ)=λ3+aλ2+bλ2e-λτ+cλe-λτ+de-λτ+e=0，

(4)

接下來，將通過常微分方程定性理論對特征方程(4)的研究，分析控制參數(shù)kd和時滯參數(shù)τ對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響.

3穩(wěn)定性分析和多尺度計算

設(shè)±iβ為特征方程(4)的一組純虛根，β代表振動頻率.進行穩(wěn)定性分析，可以得到控制參數(shù)kd和時滯參數(shù)τ的臨界值分別為

(5)

(6)

選取系統(tǒng)參數(shù)

N=320，r=0.5Ω，M=500kg，μ0=4π×10-7，ze=0.008m，S0=0.047m2，

以及幾組不同的位置和加速度控制參數(shù)kp和ka， 可以得到在kd，τ參數(shù)平面上由方程(5)，(6)確定的穩(wěn)定區(qū)域的邊界曲線，它們的形狀都是類似的，如圖2所示：

(a) k a=8　　　　　　　　　　　　　　　　 (b) k p=2000 圖2　在k d，τ平面上的穩(wěn)定區(qū)域和分支曲線

通過驗證Hopf分支的穿越條件，得到除頂點n外，曲線上每個點都是Hopf分支點，在交點m，有可能發(fā)生雙Hopf分支.

根據(jù)常微分方程定性理論知識，接下來用多尺度的方法計算Hopf分支引起的周期解的近似表達式，并分析分支的類型.引入小參數(shù)ε和去諧參數(shù)δ來描述分支臨界值kd0附近的參數(shù)kd，即

kd=kd0+ε2δ.

可以得到方程的周期解近似表達式為

參考文獻其中χ1，χ2，χ3和χ4的表達式可以[1]，此處省略.

若χ1和χ3的符號相同，當(dāng)δ<0，也即kd

χ1<0，χ3<0(χ1>0，χ3>0)

時，極限環(huán)是穩(wěn)定的(不穩(wěn)定的)，且Hopf分支是超臨界的(亞臨界的).

圖3　分支曲線 (實線表示χ 3<0，虛線表明χ 3>0)

若χ1和χ3的符號不相同，當(dāng)δ>0，也即kd>kd0，極限環(huán)存在.當(dāng)

χ1>0，χ3<0(χ1<0，χ3>0)

時， 極限環(huán)是穩(wěn)定的(不穩(wěn)定的)，且Hopf分支是超臨界的(亞臨界的).

接下來，根據(jù)上面的結(jié)論對一組具體的控制參數(shù)來判定Hopf分支的性質(zhì).由圖2，對每一個固定時滯τ，系統(tǒng)有兩個不同的速度控制參數(shù)的臨界值，kd10.

由上述討論， Hopf分支的性質(zhì)和極限環(huán)的穩(wěn)定性由χ3的符號決定.選取kp=2000和ka=10，對相應(yīng)的Hopf分支曲線上每點的χ3符號進行計算，得到結(jié)果如圖3所示.

4數(shù)值仿真驗證

同樣地，選取控制參數(shù)kp=2000，ka=10.由圖2(b)，在交點m，(kd0，τ0)≈(78，0.049).

當(dāng)時滯τ>0.049s時，磁懸浮系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，因此只考慮時滯小于0.049s的情形.選取τ=0.047s作為例子，由圖3，可以得到兩個速度反饋增益臨界值

kd1=76.61，kd2=87.75，

即Hopf分支在kd1點是亞臨界的，在kd2點是超臨界的.接下來，將對上述理論結(jié)果與數(shù)值仿真進行比較.

如果kd=75≤kd1=76.61，平凡解是發(fā)散的，也即不穩(wěn)定的(圖4(a));

若kd=78>76.61和初始條件z0=0.001m，運動軌跡趨向于平凡解，表明它是漸近穩(wěn)定的(圖4(b)).但是，如果選取kd=78和一個較大的初始條件z0=0.022m，運動軌跡開始發(fā)散 (圖4.4(c))，表明當(dāng)kd>76.61時出現(xiàn)一個不穩(wěn)定的極限環(huán)， Hopf 分支是亞臨界的.

(a) k d=75，z 0=0.001m (b) k d=78，z 0=0.001m(c) k d=78，z 0=0.022m　　 圖4　不同的k d和初始條件下， 狀態(tài)z的運動軌跡

由圖5(a)，若kd=8587.75，平凡解是不穩(wěn)定的并出現(xiàn)一個穩(wěn)定的極限環(huán)，這表明Hopf分支是超臨界的;如果選取相同的控制參數(shù)kd=90，不同的初始條件z0=0.033m(大于圖5(b)中的初始條件)，得到的解迅速增大(圖5(d))，這表明當(dāng)kd>87.75時同時存在著不穩(wěn)定的極限環(huán).

(a) k d=85，z 0=0.001m　　　　　　　　　　 (b) k d=85，z 0=0.0328m

(c) k d=90，z 0=0.001m　　　　　　　　　　　　　(d) k d=90，z 0=0.033m 圖5　不同的k d和初始條件下， 狀態(tài)z的運動軌跡

因此，這些仿真結(jié)果與理論分析出的局部分支圖(圖3)非常吻合.同時表明在平衡點穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)域(kd1，kd2)內(nèi)，kd=kd1時發(fā)生的亞臨界分支所導(dǎo)致的不穩(wěn)定極限環(huán)將一直存在.

5結(jié)論

沒有科研的教學(xué)不是高水平的教學(xué).聯(lián)系教學(xué)實際搞科研，通過科研切實提高教學(xué)質(zhì)量.將科研成果和學(xué)術(shù)思想融入到教學(xué)環(huán)節(jié)中，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，不斷提高教學(xué)績效和教學(xué)質(zhì)量，是我們研究生數(shù)學(xué)課程建設(shè)的思想.

工科研究生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，對所學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識重視不夠、掌握不扎實，導(dǎo)致其缺乏運用數(shù)學(xué)思想和方法解決專業(yè)問題的能力，影響其從事深層次專業(yè)研究的創(chuàng)新能力.因此我們采用案例式教學(xué)，將工科中遇到的科研問題與數(shù)學(xué)知識結(jié)合起來，調(diào)動他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的興趣，培養(yǎng)他們研究式、自主式學(xué)習(xí)的能力.

本文結(jié)合數(shù)學(xué)建模和常微分方程定性理論的知識，討論了時滯狀態(tài)反饋的磁浮列車懸浮系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分支.首先描述了使系統(tǒng)保持穩(wěn)定的時滯和速度反饋增益的取值.接下來， 給出了速度控制增益與Hopf分支的關(guān)系.計算了周期解的近似表達式，并用數(shù)值仿真驗證了理論結(jié)果.這些理論分析和數(shù)值仿真可以應(yīng)用到樣車試驗中，從而為抑制車軌振動提供理論指導(dǎo)作用.在位置和加速度反饋增益確定的前提條件下，適當(dāng)控制反饋時滯和調(diào)節(jié)速度反饋增益，可以保證懸浮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時應(yīng)該避免過大的外部干擾，否則由于亞臨界Hopf分支的存在，將會使原本應(yīng)該穩(wěn)定懸浮的列車出現(xiàn)劇烈振動.

[參考文獻]

[1]張玲玲. 磁浮列車懸浮系統(tǒng)的Hopf分岔及滑?？刂蒲芯縖D].湖南大學(xué)博士學(xué)位論文， 2010.

[2]黃建華，李建平. 研究生數(shù)學(xué)課程體系優(yōu)化和教學(xué)模式創(chuàng)新的研究與實踐，軍隊院校數(shù)學(xué)課程創(chuàng)新教學(xué)研討會論文集(上冊)[M].北京：國防工業(yè)出版社，2011.

[3]李超，屈龍江，戴清平. 研究生數(shù)學(xué)公共課程體系建設(shè)[J].高等教育研究學(xué)報，2013，36(S1)：38-41.

Reflections on the Teaching Case Innovation and the Construction

of Mathematic Public Teaching for Postgraduates

ZHANGLing-ling1，2，HUANGJian-hua2，HUANGLi-hong1

(1. Department of Information and Technology， Hunan Women′s University， Changsha 410004， China;

2. College of Science， National University of Defense Technology， Changsha 410073， China)

Abstract:Through the study on the Hopf bifurcation of maglev system， the authors proposes a teaching reform pattern， some practical problems from scientific research were selected for this course. The teaching was conducted in four stages， i.e.， the problem finding， problem analysis and modeling， problem solving， the research process summarizing. Four steps are provided such as the problem background， the required mathematical knowledge， mathematical derivation and proof， numerical simulation and application to the original question. Some research results are selected to be the good teaching case to improve the ability of innovation of the postgraduates.

Key words: research of case; the ability of innovation; teaching case innovation