以一道高考題為例談求二面角大小的四種思路

求二面角的（平面角）大小是高考數(shù)學命題的熱點，本文以2014年浙江省高考數(shù)學理科試卷第20題（全卷共22題）的第（2）小題為例，從不同視角談求二面角大小的四種思路，供參考！

試題如圖1，在四棱錐A—BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=2.求二面角B—AD—E的大小.

草稿先在草稿紙上重新畫出題設示意圖，然后按題意標出五條棱的已知長度2、2、1、1、2和兩個直角記號（如圖1），接著按實際比例和角度獨立畫出底面直角梯形BCDE（如圖2）便于觀察，可以在上述兩圖中依次補充標出BD=2、BC=2，這時就明白了DB⊥BC，這就捕捉住了解題的起筆靈感.

解在四棱錐的底面直角梯形BCDE中，兩次用勾股定理算得BD=12+12=2、BC=（2-1）2+12=2，則BD2+BC2=4=CD2，則DB⊥BC（勾股定理的逆定理）.又因為平面ABC⊥平面BCDE，則BD⊥平面ABC（兩平面垂直的性質(zhì)定理），則BD⊥AC（線面垂直的定義）.又同理得BC⊥AC，則AC⊥平面BCDE（線面垂直的判定定理），進而可求出AD=6、AE=AC2+CD2+DE2=7，同理得AD⊥DE（以上表述是下面多種思路及解法的共同開頭環(huán)節(jié)）.

思路一運用定義法

解法1如圖3，先作BH⊥AD于H，再作HF⊥AD交AE于F，則∠BHF是二面角B—AD—E的平面角.

在Rt△ABD中，BH=2·26=23，AH=226=236=23AD.在△ADE中，已作HF⊥AD、已證DE⊥AD，則HF∥DE.又已求AHAD=23，則HF=23DE=23，AF=23AE=273.

在△ABE中，兩次用余弦定理列方程

AF2+AB2-BF22·AF·AB=cos∠BAF=cos∠BAE=AE2+AB2-BE22·AE·AB，代入解得BF=23.在等腰△BHF中，BF=HF，則 cos∠BHF=BH2·FH=32，則∠BHF=30°.所以二面角B—AD—E的大小為30°.

解法2提示：已證AD⊥DE，再作DF1⊥AD交直線AB于F1，則∠EDF1是二面角B—AD—E的平面角.…….

評注用定義法求二面角的大小，首先要過二面角的棱上某點分別在兩個半平面內(nèi)作出或找到垂直于棱的線段而構(gòu)成二面角的平面角，這牽引著后面的計算化歸；雖然用定義法求二面角大小的演算較繁瑣，但它卻是后續(xù)解法的概念依托和計算基礎.

思路二運用體積法

解法3設二面角B—AD—E的平面角為銳角θ，如圖1已證AD⊥DE，則點E到平面ABD的距離為DE·sin θ.

由于VE—ABD=VA—BED，AC⊥平面BCDE，則13·SRt△ABD·（DE·sin θ）=13·SRt△BED·AC，即13·2·（1·sin θ）=13·12·2，則sin θ=12（θ為銳角）， 則 θ=30°.所以二面角B—AD—E的平面角大小為30°.

解法4提示：設二面角B—AD—E的平面角為銳角θ，如圖3作BH⊥AD于H，則點B到平面ADE的距離為BH·sin θ，……

評注變換同一個三棱錐的相對底面與高，巧妙地運用方程思想，用體積法求二面角的大小，過程簡潔、省時實用.

思路三運用向量法

解法5提示：適當建立空間直角坐標系后，通過解方程組求出半平面ADB的法向量n1、半平面ADE的法向量n2，則二面角B—AD—E的平面角θ適合公式 cos θ=±cos〈n1，n2〉=±n1·n2n1n2（酌情取正號或負號）.……

解法6取直線DE、DC分別為x軸、y軸，建立如圖4所示空間直角坐標系D—xyz，則點D（0，0，0）、E（1，0，0）、B（1，1，0）、A（0，2，2），則DE=（1，0，0）.作BH⊥AD于 H，則二面角B—AD—E的平面角等于向量DE與HB所成的角.

同解法1得AH=2AD3，則 DH=DA3， 則 H（0，23，23），則 HB=（1，13，-23）， 則 HB=23.因為cos〈DE，HB〉=DE·HBDE·HB=32，所以〈DE，HB〉=30°.即二面角B—AD—E的大小等于30°.

評注解法5是教科書介紹、大家熟知的向量法，計算兩個（面）法向量的通法比較費時，最后確定二面角的大小還要鑒別是取〈n1，n2〉還是取180°-〈n1，n2〉，全程頗費周折；相比之下，解法6利用“線法向量”就易學易用，避繁就簡！

思路四運用垂直三折線公式圖5解法7將解法1的圖3提煉成圖5，其中BE=1、ED=1、DH=136、HB=23，且DH⊥DE、DH⊥HB，則運用教科書的例題結(jié)論求得，二面角B—HD—E即就是原二面角B—AD—E的平面角θ，cos θ=HB2+DE2+DH2-BE22·HB·DE=43+1+23-12×23×1=32， 則 θ=30°.所以二面角B—AD—E的大小為30°.

評注為了讀者們易記、活用，可將目前人教A版高中數(shù)學課標教科書選修2-1第32節(jié)的例2結(jié)論重新表述成——如果兩條異面直線H1P1與H2P2的公垂線段是H1H2，那么二面角P1-H1H2-P2的平面角θ適合余弦公式

cos θ=H1P21+H2P22+H1H22-P1P222·H1P1·H2P2.

最后指出，引導學生平時自主摸索或閱讀理解多種解題思路，養(yǎng)成探究、博覽、應用的習慣，更有利于開發(fā)學生的數(shù)學潛能！

作者簡介甘大旺，男，1959年生，湖北咸寧人，1997年被評為湖北省特級教師.研究方向是數(shù)學高考、數(shù)學省賽、數(shù)學史、數(shù)學研究評論.發(fā)表300多篇教研文章，出版專著2本.