回歸教材，注重過程，展現(xiàn)套路
——一道中考題的特色賞析及教學啟示

☉浙江省嘉興市東北師范大學南湖實驗學校 鐘偉

☉浙江省嘉興市東北師范大學南湖實驗學校周立志

回歸教材，注重過程，展現(xiàn)套路
——一道中考題的特色賞析及教學啟示

☉浙江省嘉興市東北師范大學南湖實驗學校 鐘偉

☉浙江省嘉興市東北師范大學南湖實驗學校周立志

一、試題呈現(xiàn)

題目（2014年浙江省嘉興卷第23題）類比梯形的定義，我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．

（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，求∠C、∠D的度數(shù)．

（2）在探究“等對角四邊形”的性質(zhì)時，

①小紅畫了一個“等對角四邊形”ABCD（如圖2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時她發(fā)現(xiàn)CB=CD成立，請你證明此結論．

②由此小紅猜想：“對于任意‘等對角四邊形’，當一組鄰邊相等時，另一組鄰邊也相等”．你認為她的猜想正確嗎？若正確，請證明；若不正確，請舉出反例．

（3）已知：在“等對角四邊形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求對角線AC的長．

圖2

圖1

本題是一道“圖形新定義”試題，因其新穎獨特而受到眾多關注.如文1從試題考查知識、能力、思想方法及設問方式上細細咀嚼，讓人欣賞到了本題的諸多特色；文2呈現(xiàn)了本題編制的詳細過程，從中可以管窺命題者在本題上凝結的心血與智慧，更讓人感受到一道好題的來之不易．但一道好的中考試題除了在呈現(xiàn)方式上凸顯公平、有探究味、注重開放等形式之外，也應該注重對教學的導向與引領作用，發(fā)揮中考題的“方向標”功能．基于這樣的視角，筆者對本題進一步闡述其有特色之處，并由此思考本題給數(shù)學教學帶來的四點啟示．

二、三點特色

特色1：倡導了一種回歸教材的命題取向

文1提及，本題源自教材．試題通過命題者的智慧加工與改造，在問題煥然一新的同時，仍能讓學生因熟悉的圖形而產(chǎn)生親切感．這樣注重對教材內(nèi)容的深入鉆研與挖掘的命題方式，使得考題源于教材，又高于教材，是一種值得倡導的命題取向．倡導命題緊扣教材，回歸教材，既是對考生公平測試的有力保障，也是對數(shù)學教學應重視教材、中考復習應回歸教材的積極引導．特別是在網(wǎng)絡普及、信息便捷的當下，回歸教材的命題取向，更是對“拿來主義”命題現(xiàn)象的有力抵制．

特色2：突出了一條考查過程的評價主線

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）（以下簡稱“課標（2011版）”）強調(diào)數(shù)學過程，指出：“學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗……等活動過程”．［3］但過程是數(shù)學學習中的概括性描述，學生是否經(jīng)歷了上述過程，除了現(xiàn)場觀察統(tǒng)計，我們難以找到其他有效的方式來刻畫．如何通過紙筆測試來顯性考查學生經(jīng)歷知識的形成過程與應用過程，是一個值得命題者思考的問題，也是對“課標（2011版）”有效實施的有力保障．

本題以“等對角四邊形”這一圖形知識的發(fā)生、發(fā)展過程為載體，以“邊—角—對角線”的研究對象為主線，為學生的探究搭建平臺，引導學生不斷思考，變考試過程為學習、研究的過程．學生在解決這一系列問題的過程中，可以表現(xiàn)出自己的作圖、觀察、猜想、推理證明等數(shù)學活動方面的能力，鮮活地再現(xiàn)了學生數(shù)學學習的全過程，有效考查了學生的數(shù)學素養(yǎng)．

特色3：展現(xiàn)了一個研究圖形的“基本套路”

章建躍博士曾撰文指出，數(shù)學教學要教給學生一些“基本套路”．如幾何教學應讓學生懂得從“定義、相關概念、表示法、分類、性質(zhì)定理”等研究圖形這樣的“基本套路”［4］．本題從外部框架的構建來看，題干簡潔、精練地給出定義——等對角四邊形，需要學生解答的問題則按照“定義理解—探索性質(zhì)—運用性質(zhì)”這樣的線索設置，讓學生經(jīng)歷“觀察—猜想—論證—應用”的全過程，引導學生按照研究圖形的“基本套路”來思考問題.可以說，解決本題的過程，就是研究探索一個新圖形的過程，從而自然、貼切地考查了學生的能力.

三、給教學帶來的四點啟示

1.要發(fā)揮教材的引領作用

教材是學科專家反復打磨、精心編寫的，其內(nèi)容及結構體系是反復考量的，例題和習題大多蘊含著典型的數(shù)學思想與方法，具有很強的代表性.因此，教師在教學中，要正確研讀教材，合理利用教材，有效發(fā)揮教材對教學的引領作用.

教師利用教材時，首先應努力研讀教材內(nèi)容，力求領會教材編寫意圖，充分發(fā)揮教材的功能.例如，在浙教版八年級上冊“1.3證明（1）”［5］中安排了合作學習的內(nèi)容（見圖3），不少教師將這一內(nèi)容當成可有可無的“雞肋”處理，或者作為激趣素材簡單帶過.

圖3

事實上，學生從上一節(jié)的“定義與命題”轉(zhuǎn)向本節(jié)課學習時，有一些不可忽視的問題需要思考，如為什么要學習證明？怎樣邏輯連貫地從命題的學習轉(zhuǎn)向證明的學習？我們?nèi)糇屑氀凶x教材內(nèi)容，便不難發(fā)現(xiàn)，本節(jié)合作學學習的兩個問題旨在讓學生經(jīng)歷觀察、由特例作不完全歸納的猜想等方式都不能嚴謹判定一個命題是真命題的過程，于是就有必要尋找更合適的方法來判定命題的正確性，即本節(jié)課的學習.由此可見，此處的合作學習，發(fā)揮著承上啟下、揭示本節(jié)新課學習的緣由等重要作用，認識到這些作用，離不開教師對內(nèi)容的研讀與思考.

教師利用教材時，還需要重視對例題、習題價值的挖掘.教師要精心挑選出具有基礎性、典型性、示范性的題目進行分析講解，讓學生達到鞏固知識、發(fā)展能力、掌握思想方法的目的.事實上，教材中的典型題目也是命題專家命題時改造或重組的重要素材之一.文2再現(xiàn)了根據(jù)教材習題創(chuàng)編一道優(yōu)秀中考試題的全過程，給我們提供了一個很好的范例.所以講題時，教師不能僅僅只是就題論題，就題教題，還要學會將教材例題或習題拓展延伸，適當變式.比如，在幾何命題的證明中實施一題多證、一題多變的教學，教師注重引導學生從多角度、多渠道探索解題思路，不僅有助于鞏固所學知識，還可以加深學生對知識內(nèi)部關聯(lián)的認識，更能有效積累解題后的基本活動經(jīng)驗，充分發(fā)揮教材例題、習題的引領作用.

2.要注重教學的過程性

瑞士心理學家皮亞杰指出：“教師不應企圖將知識硬塞給學生，而應該找出能引起學生興趣、刺激學生的材料，然后讓學生自己去解決問題.”可見，教學中教師應引導學生改變單一、枯燥、被動接受的學習方式，讓學生“有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”［3］，注重教學的過程性.本文所展示的試題正是對過程考查的典型范例.題目通過3個問題再現(xiàn)對圖形性質(zhì)的猜想、質(zhì)疑、論證等探索過程，很有甄別效果地考查學生在這些過程中所表現(xiàn)出的作圖、猜想、質(zhì)疑、推理證明等能力差異，較好地指引教師平時應注重過程教學.

例如，教師在概念教學中，應努力改變簡單機械、重記憶輕理解、重枝節(jié)輕本質(zhì)、重內(nèi)容輕生成等現(xiàn)象，讓學生不僅知道概念本身，而且要關注它的實際背景與形成過程，充分經(jīng)歷概念的概括、抽象等形成過程.這樣有利于學生理解概念的來龍去脈，對概念引出的必要性、概念的本質(zhì)及其功能有更深刻的認識.對于定理、性質(zhì)或公式等知識的學習，應基于學生現(xiàn)有發(fā)展水平和經(jīng)驗，教師通過精心設計若干問題，讓學生經(jīng)歷結論的獲得過程.比如，教師在“二次根式的性教學中可以創(chuàng)設如下問題引導學生經(jīng)歷結論的獲得過程.

以上5個問題，相對于教材原有的設計，探索的內(nèi)容更豐富全面，經(jīng)歷的過程更完整.由特例體驗、孕育猜想到總結歸納、證明結論，徹底摒棄了讓學生記結論、用結論的簡單機械方式，引導學生在經(jīng)歷“從特殊到一般”的過程中猜想、質(zhì)疑、探究，感受和體驗數(shù)學結論的產(chǎn)生、發(fā)展過程，促進學生的學習方式由“重結論輕結果”向“過程與結論并重”的方向發(fā)展，使數(shù)學學習成為再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程．

3．要注重教學的整體性

“課標（2011版）”指出：“數(shù)學知識的教學，要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數(shù)學的整體性．”［3］.本文中的試題正是以“等對角四邊形”為探究的生長點，通過若干問題呈現(xiàn)了一條“邊—角—對角線”的研究主線，較好地讓學生整體感受到了研究“等對角四邊形”這一圖形的“整體觀”．

目前的初中數(shù)學教材，基本都以“點”為單位來編排教學內(nèi)容，其目的在于讓重要的數(shù)學概念與數(shù)學思想體現(xiàn)螺旋上升的原則．但完全按照教材編排內(nèi)容教學，也會產(chǎn)生“容易迷失在局部，見木不見林”的弊端．所以數(shù)學教學應根據(jù)教學內(nèi)容和學生具體情況凸顯整體性，在整體教學中讓學生學會一些“基本套路”．

例如，在四邊形和特殊平行四邊形的教學時，教師可以嘗試以平行四邊形為例，展示從定義、性質(zhì)、判定來研究的路徑，同時該圖形的性質(zhì)和判定又可以從邊、角、對角線等元素來展開思考．基于這樣的“整體觀”，給學生“構建一個研究圖形的整體框架”［7］，則在后續(xù)學習矩形、菱形、正方形等特殊平行四邊形時，學生就會很清楚地知道自己所學內(nèi)容在整體框架中所處的位置，知道下一步要學什么，并知道可以按照怎樣的方式來思考，真正“使學生在掌握數(shù)學知識的過程中學會思考”［7］．

4．要注重數(shù)學思想的感悟

文1提及本文試題以經(jīng)驗與思想作引擎，彰顯了思維之美，如“數(shù)形結合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、方程思想在問題的解答過程中有很明顯的體現(xiàn)”．事實上，幫助學生感悟數(shù)學思想是提升數(shù)學素養(yǎng)的重要途徑．英國數(shù)學家懷特海曾說：“真正有價值的教育是使學生透徹理解一些普遍的原理，這些原理適用于各種不同的具體事例．在隨后的實踐中，這些成人將會忘記你教他們的那些特殊的細節(jié)，但他們潛意識中的判斷力會使他們想起如何將這些原理應用于當時具體的情況．”［8］因此，作為授課教師，不應該只教給學生知識，更應當以數(shù)學知識作為教學的載體，讓學生在學習的過程中感悟數(shù)學思想．但數(shù)學思想是“無形”的、“默會”的知識，是“蘊含在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應用的過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括”［3］，所以數(shù)學思想的形成并不是靠簡單的一兩節(jié)課就能實現(xiàn)的，它的形成要經(jīng)過長期的積累，而且要經(jīng)歷一個由易到難、螺旋上升的過程．

綜上，我們透過一道對教學極具引領價值的中考題，折射出教師在平時的教學中應堅持以教材為本，讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識發(fā)生、形成、發(fā)展和應用的過程，注重整體教學，及時引導學生反思概括，感悟并提煉數(shù)學思想，并在后續(xù)教學中適時拓展運用，加深鞏固，更大程度地發(fā)揮數(shù)學教學的育人效果．

最后，嘉興市南湖區(qū)教育研訓中心顧建峰老師對本文試題的解讀提供了諸多建議，謹致謝意！

1.顧建鋒，張志堅．知識與能力齊驅(qū)經(jīng)驗和思想聯(lián)動［J］．中學數(shù)學教學參考（中），2014（9）．

2.陳世文，姜黃飛．一道中考“圖形新定義”試題的命制及其反思［J］．中學數(shù)學教學參考（中），2014（12）．

3.中華人民共和國教育部制定．義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2012．

4.章建躍．課堂教學要注重數(shù)學的整體性［J］．中小學數(shù)學（高中），2013（5）.

5.范良火，主編．義務教育教科書·數(shù)學（八年級上冊）［M］．杭州：浙江教育出版社，2013．

6.范良火，主編．義務教育教科書·數(shù)學（八年級下冊）［M］．杭州：浙江教育出版社，2013．

7.章建躍，陳向蘭．數(shù)學教育之取勢明道優(yōu)術［J］．數(shù)學通報，2014（10）．

8.懷特海，著.教育的目的［M］．徐汝舟，譯．北京：生活·讀書·新知三聯(lián)書店，2002．

9.酈興江．創(chuàng)新考查載體引領教學導向［J］．中學數(shù)學（下），2014（10）．Z