知識(shí)與能力并重方法與思想兼顧
——以“圓”為例談復(fù)習(xí)課的例題設(shè)計(jì)

☉江蘇省泰州市蘇陳中學(xué) 韓新正

知識(shí)與能力并重方法與思想兼顧
——以“圓”為例談復(fù)習(xí)課的例題設(shè)計(jì)

☉江蘇省泰州市蘇陳中學(xué) 韓新正

初三復(fù)習(xí)除了梳理概念、構(gòu)建知識(shí)框架等，還離不開(kāi)例題的選擇和教學(xué)，選擇什么樣的例題是每個(gè)初三老師都必須面對(duì)的問(wèn)題.本文以“圓”這一章為例，立足“知識(shí)與能力并重，方法與思想兼顧”的選題思路，談?wù)剰?fù)習(xí)課的例題選擇和設(shè)計(jì)，供參考.

一、設(shè)計(jì)理念

1.教學(xué)內(nèi)容分析

本文以蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》為復(fù)習(xí)用書，本書關(guān)于“圓”這一章內(nèi)容中的“垂徑定理”和“切線長(zhǎng)定理”標(biāo)注了“※”號(hào)（不作為考試內(nèi)容）；刪除了“弦心距”、“圓的兩條平行弦所夾的弧相等”、“圓與圓的位置關(guān)系”等內(nèi)容，這和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求是一致的.本章的復(fù)習(xí)重點(diǎn)是點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，圓的切線的性質(zhì)和判定定理；難點(diǎn)是借助于例題教學(xué)，歸納解題方法，形成數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生“通性通法”的解題能力，養(yǎng)成“回到概念”的解題習(xí)慣.

2.例題編排意圖

本章例題選擇的策略是放慢節(jié)奏，小坡度起步，教學(xué)目標(biāo)分階段達(dá)成.對(duì)每道例題，力求從知識(shí)、方法、能力、數(shù)學(xué)思想多個(gè)方面進(jìn)行挖掘，充分發(fā)揮例題的最大效益.例1盡量多地涵蓋“圓”中涉及的基本概念和知識(shí)，目的是借助于例題梳理本章知識(shí)結(jié)構(gòu)，同時(shí)關(guān)聯(lián)其他知識(shí)，如直角三角形、勾股定理、銳角三角函數(shù)、特殊四邊形的判定和性質(zhì)、二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)；例2突出“模型思想”教學(xué)，使學(xué)生會(huì)從生活背景中抽象出數(shù)學(xué)模型，初步感知解答圓的“通法”；例3側(cè)重解題方法歸納，通過(guò)列方程、運(yùn)用相似形、構(gòu)造勾股定理等方法解題，歸納解題方法，提煉解題思想，培養(yǎng)學(xué)生“通法”解題習(xí)慣；例4綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注中考重點(diǎn)和熱點(diǎn)，在傳統(tǒng)題中注入時(shí)尚元素，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)思考”的習(xí)慣.比如，通過(guò)巧妙編排，融合平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)等，培養(yǎng)學(xué)生綜合解決問(wèn)題的能力.

二、例題設(shè)計(jì)

例1如圖1，已知：P為⊙O的直徑BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PC與⊙O相切，切點(diǎn)為C，點(diǎn)D是圓上一點(diǎn)，連接PD，且圓的半徑r=4，PC=PD=BC．下列結(jié)論：①PD與⊙O相切；②四邊形PCBD是菱形；③PO=AB；④∠PDB=120°；⑤（的長(zhǎng)為正確的序號(hào)是____________________.

圖1

圖2

解析：①如圖2，連接CO，DO，由PC與⊙O相切，得∠PCO=90°，易證△PCO≌△PDO（SSS），得∠PCO=∠PDO=90°，所以D與⊙O相切.

②易證△CPB≌△DPB（SAS），由BC=BD，得PC= PD=BC=BD，所以四邊形PCBD是菱形.

③連接AC，易證△PCO≌△BCA（ASA），得AC=CO，所以AC=CO=AO，得∠COA=60°，所以∠CPO=30°，PO= AB.

④根據(jù)四邊形PCBD是菱形，∠CPO=30°，得DP=DB，所以∠DPB=∠DBP=30°，得∠PDB=120°.

⑤在Rt△PCO中，∠PCO=90°，∠CPO=30°，得∠POC=60°，所以∠DOC=120°，的長(zhǎng)

說(shuō)明：本例設(shè)計(jì)的目的，主要幫助學(xué)生系統(tǒng)整理本章基本知識(shí)，并進(jìn)一步關(guān)聯(lián)起和圓有密切聯(lián)系的相關(guān)知識(shí)，幫助學(xué)生建構(gòu)解決圓的問(wèn)題的知識(shí)體系，同時(shí)，對(duì)本章題目的解題方法、思想方法進(jìn)行滲透，兩次通過(guò)“全等三角形的判定”解決問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“全等三角形的判定”是解決這部分題目的“通法”，為解決綜合題準(zhǔn)備知識(shí)和方法.

例2如圖3是裝有三個(gè)小輪的手拉車在“爬”樓梯時(shí)的側(cè)面示意圖，定長(zhǎng)的輪架桿OA、OB、OC抽象為線段，有OA=OB=OC，且∠AOB=120°，折線NG—GH—HE—EF表示樓梯，GH、EF是水平線，NG、HE是鉛垂線，半徑相等的小輪子⊙A、⊙B與樓梯兩邊相切，且AO∥GH.

圖3

圖4

圖5

解析：（1）如圖4，設(shè)P為⊙B與HE的切點(diǎn)，連接BP并延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)O作OL⊥BP于點(diǎn)L，交GH于點(diǎn)M，所以∠BPH=∠GHE=90°，所以BL∥GH.因?yàn)锳O∥GH，所以BL∥ AO∥GH.因?yàn)椤螦OB=120°，所以∠OBL=60°.又因?yàn)镺L∥HE，所以∠BHP=30°.在Rt△BPH中

（2）如圖5，作HD⊥OB，設(shè)P為⊙B與HE的切點(diǎn)，連接BP，PH的延長(zhǎng)線交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)L，所以∠LDH=∠LPB=90°，所以△LDH∽△LPB，所以AO∥PB，∠AOD=120°，所以∠B=60°，所以∠BLP=30°，所以DL=■3DH，LH=2DH.因?yàn)橐驗(yàn)?≤DH≤3，所以解得

說(shuō)明：本例的設(shè)計(jì)基于兩點(diǎn)考慮，一是對(duì)課標(biāo)核心概念“模型思想”的建立，讓學(xué)生經(jīng)歷三個(gè)小輪的手拉車在“爬”樓梯的情境，從中抽象出幾何圖形，并利用相似三角形、解直角三角形、特殊角的三角函數(shù)等知識(shí)求解模型的過(guò)程；二是培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，設(shè)計(jì)具有實(shí)際背景的問(wèn)題，本例的手拉車是現(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)情景，從這一常見(jiàn)的背景中，引導(dǎo)學(xué)生思考并解決問(wèn)題.

例3如圖6，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A， OA=5，OA與⊙O相交于點(diǎn)P，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C.

（1）試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）若在⊙O上存在點(diǎn)Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍.

圖6

圖7

解析：（1）略.

（2）延長(zhǎng)AP交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，設(shè)圓的半徑為r，則由OA=5，OP=OB=r，在Rt△ABO中，AB2=OA2-OB2=52-AC，所以52-r2=-（5-r）2，解得r=3，所以AB=AC= 4.因?yàn)镻D是直徑，所以∠PBD=90°=∠PAC.因?yàn)椤螪PB=∠CPA，所以△DPB∽△CPA，所以所以⊙O的半徑是3，線段PB的長(zhǎng)

（3）如圖7，作線段AC的中垂線MN，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥ MN，所為⊙O與直線MN相交，所⊙O與直線l相離，所以r＜5，所

說(shuō)明：本例設(shè)計(jì)側(cè)重于基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的訓(xùn)練，使學(xué)生養(yǎng)成“回到概念”解題的良好習(xí)慣.本例具有代表性、典型性，有著一類題目共性的解法，能通過(guò)例題的講解，使學(xué)生獲得解一類題目的方法，并形成穩(wěn)定的思維模式.

（1）求證：直線FC是⊙A的切線；

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線FC的解析式；

（3）有一個(gè)半徑與⊙A的半徑相等，且圓心在x軸上運(yùn)動(dòng)的⊙P.若⊙P與直線FC相交于M、N兩點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PMN是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖9

解析：（1）略.

（3）存在，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，若∠MPN=90°，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥MN于點(diǎn)H，易證△CPH∽△CAF，點(diǎn)P在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，記為P′，設(shè)∠M′P′N′=90°，過(guò)點(diǎn)P′作P′Q⊥M′N′于點(diǎn)Q，則P′Q=P′Q=PH，可知P′與P關(guān)于點(diǎn)C中心對(duì)稱，根據(jù)對(duì)故存在這樣的點(diǎn)P，使得△PMN為直角三角形，P點(diǎn)坐標(biāo)

說(shuō)明：本例一方面考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，另一方面讓學(xué)生感受到“通法”的力量，很多難題都是通過(guò)轉(zhuǎn)化為基本題目或基本方法（通法）來(lái)解決的.本例中第（3）問(wèn)難度較大，但解題思路正常，不強(qiáng)調(diào)技巧，在順利解答前面的問(wèn)題后，充分利用第（1）、（2）問(wèn)的結(jié)論和思路，第（3）問(wèn)的解決順理成章.

三、幾點(diǎn)思考

例題教學(xué)以“題目串”的形式展開(kāi)為好，讓不同的例題承載不同的作用，相互結(jié)合，共同發(fā)揮教育功效.例題設(shè)計(jì)既要注重知識(shí)關(guān)聯(lián)，又要注重能力發(fā)展；既要?dú)w納解題方法，更要提煉數(shù)學(xué)思想；既要突出教學(xué)重點(diǎn)，也要關(guān)注中考熱點(diǎn).

1.知識(shí)與能力并重

設(shè)計(jì)“題目串”要起點(diǎn)低，坡度小，圖形簡(jiǎn)單，但知識(shí)點(diǎn)的容量大，便于學(xué)生系統(tǒng)建構(gòu)知識(shí)體系，感悟解題方法，培養(yǎng)解題能力，做到知識(shí)與能力并重.例1的設(shè)計(jì)以知識(shí)梳理為主，為解答題目做相關(guān)知識(shí)準(zhǔn)備，例3的第（3）問(wèn)利用臨界位置（或特殊位置）求參數(shù)的取值范圍，這一設(shè)計(jì)不僅考查了等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、圓的知識(shí)，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力.這些題目的設(shè)計(jì)不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)在價(jià)值，更突出了對(duì)學(xué)生運(yùn)用這些知識(shí)的能力培養(yǎng).

2.思想與方法兼顧

利用典型例題教學(xué)，不僅能使學(xué)生獲得基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更能掌握解題“通法”，深化數(shù)學(xué)思維.例2創(chuàng)設(shè)的“三輪車上樓”這一生活背景，既體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)模型”思想，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又歸納出解答本章習(xí)題的“通法”，即構(gòu)造“相似三角形和勾股定理”.例3通過(guò)求參數(shù)的取值范圍提煉出運(yùn)動(dòng)模型，并借助特殊位置巧妙解題.例4通過(guò)分類討論，讓需要考慮的點(diǎn)（位置）不漏不重，并順勢(shì)提煉出分類思想.上述設(shè)計(jì)不僅使學(xué)生獲得了解題方法，更培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，收獲了數(shù)學(xué)思想，真正做到了思想和方法的兼顧.

3.重點(diǎn)與熱點(diǎn)并行

重點(diǎn)知識(shí)是一章的核心知識(shí)，它既是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是考試的重點(diǎn).圍繞核心知識(shí)，不僅要注重知識(shí)的建構(gòu)，更要加強(qiáng)相關(guān)題型的歸納.熱點(diǎn)題型就是結(jié)合生活背景，注入時(shí)尚元素，綜合各章知識(shí)的綜合題，旨在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活、關(guān)注社會(huì)、靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法去解決問(wèn)題，教師一定要關(guān)注重點(diǎn)和熱點(diǎn)題型，加強(qiáng)對(duì)這些題目的研究和總結(jié)，以適應(yīng)課標(biāo)和社會(huì)需要“.切線的性質(zhì)與判斷定理”是本章的重點(diǎn)知識(shí)，筆者在4個(gè)例題中均有體現(xiàn)，并漸次深化對(duì)該知識(shí)的認(rèn)識(shí)，不斷歸納切線的解題方法.同時(shí)，對(duì)生活中的“三輪車上樓”、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、參數(shù)變化范圍、函數(shù)與圓的結(jié)合、圓與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)等熱點(diǎn)題型均給予重視，所以，中考復(fù)習(xí)時(shí)，重點(diǎn)與熱點(diǎn)并行，兩者不可偏頗.

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.陳志勇．同步中考：二輪復(fù)習(xí)課的教學(xué)指向［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（1）.

3.高之風(fēng)．透視中考熱點(diǎn)——?jiǎng)討B(tài)問(wèn)題的求解策略［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（1）