基于多元表征理論的習(xí)題課教學(xué)實(shí)踐
——以“乘法公式”習(xí)題課為例

☉江蘇省無錫市東林中學(xué) 楊峰☉江蘇省無錫市金星中學(xué) 朱宸材

基于多元表征理論的習(xí)題課教學(xué)實(shí)踐
——以“乘法公式”習(xí)題課為例

☉江蘇省無錫市東林中學(xué) 楊峰☉江蘇省無錫市金星中學(xué) 朱宸材

圍繞乘法公式的教學(xué)研討新授課居多，公開課、教研課中鮮見有相關(guān)習(xí)題課．然而乘法公式的習(xí)題豐富多樣，僅從各級(jí)涉及乘法公式的考試來看，作為簡(jiǎn)化運(yùn)算的價(jià)值只占了較少的份額，而有較多的試題都是乘法公式變形相關(guān)的求值題，但不少學(xué)生缺少這方面的變形適應(yīng)性，常常容易丟分．為此，筆者最近基于“多元表征理論”開發(fā)了一節(jié)乘法公式的習(xí)題課，本文給出該課的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)流程，供研討．

一、乘法公式習(xí)題課教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教材習(xí)題，運(yùn)用公式

活動(dòng)1：解兩道教材習(xí)題

教材習(xí)題1：解不等式（2x-5）2+（3x+1）2＞13（x2-10）.

講評(píng)預(yù)設(shè)：直接出示教材上的習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立思考，由獲得思路的學(xué)生匯報(bào)求解方法，并追問不等式、方程的類型以前有沒有見過，如果沒有見過，為什么可以求解？它們的本質(zhì)是什么類型的不等式或方程組呢？學(xué)生應(yīng)該能答出來，經(jīng)過化簡(jiǎn)、整理得到的是一元一次不等式、二元一次方程組．從而拓展學(xué)生對(duì)乘法公式的認(rèn)識(shí)，乘法公式不僅可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，在一些繁雜的不等式、方程化簡(jiǎn)變形上也可起到重要的作用．接下來在黑板上書寫乘法公式，為后續(xù)習(xí)題研究作準(zhǔn)備．

（二）多角度利用平方差公式，設(shè)計(jì)求值問題

活動(dòng)2：對(duì)平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2變換賦值條件，設(shè)計(jì)求值練習(xí)

比如：先在黑板上取一些簡(jiǎn)單的數(shù)值，學(xué)生可以口算出來，接著，把上述賦值求值問題，改成數(shù)學(xué)練習(xí)題，如下所示.

（1）已知a+b=2，a-b=3，求a2-b2的值；

（2）已知a2-b2=6，a-b=3，求a+b的值；

（3）已知a+b=2，a2-b2=6，求a-b的值．

還可以將上述改寫為以方程組呈現(xiàn)的習(xí)題，如下所示.

預(yù)設(shè)意圖：讓學(xué)生看到這類求值題的本質(zhì)，借助于平方差公式整體求解，特別是（4）～（6），不能看到方程組就想去解方程組，而應(yīng)該先看清問題中的代數(shù)式的特點(diǎn)，再靈活選擇解題途徑．在這組問題講評(píng)之后，安排兩道訓(xùn)練題，檢測(cè)一下學(xué)生理解的情況．

（三）多角度利用完全平方公式，設(shè)計(jì)求值問題

活動(dòng)3：對(duì)完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2變換賦值條件，設(shè)計(jì)求值練習(xí)

依照前面平方差公式的賦值求值問題，也將完全平方公式改寫，賦值，讓學(xué)生口算，在黑板上形成如下板書.

接著安排學(xué)生把上述賦值問題重新設(shè)計(jì)成一些題目，預(yù)設(shè)如下.

（1）已知a2+b2=10，ab=3，求a+b的值；

（2）已知a+b=4，a2+b2=10，求ab的值；

（3）已知a+b=4，ab=3，求a2+b2的值．

在這組習(xí)題由學(xué)生編制出來之后，可以安排學(xué)生再練習(xí)一道類似的習(xí)題，體現(xiàn)學(xué)生自己的思考．接著再安排變式思考．

（4）已知（a+b-4）2+|ab-3|=0，求a2+b2的值．

（5）已知a-b=4，ab=3，求a2+b2的值．

變式意圖：（4）是在（3）的基礎(chǔ)之上增加一個(gè)解題層次；（5）由完全平方公式的一種形式（a+b）2=a2+2ab+b2過渡到另一種形式：（a-b）2=a2-2ab+b2.

預(yù)設(shè)意圖：學(xué)生先獨(dú)立思考，如果沒有進(jìn)展，則進(jìn)行提示引導(dǎo)，讓他們反復(fù)看“活動(dòng)3”中的求解經(jīng)驗(yàn)．如果學(xué)生發(fā)現(xiàn)少了條件，那么這個(gè)條件在這道問題中是否可以獲得？通過一系列的啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)思路，即本題中的

變式意圖：通過系列變式改編，使學(xué)生對(duì)這類互為倒數(shù)式子和的變形達(dá)到較為深刻的理解，并善于從正、反兩方向進(jìn)行靈活變形求解．特別是對(duì)于（2），學(xué)生可能會(huì)漏解，要注意引導(dǎo)學(xué)生參與糾錯(cuò)與究錯(cuò)．

（五）課堂小結(jié)，檢測(cè)反饋

問題：通過本課習(xí)題的學(xué)習(xí)，你對(duì)乘法公式有了哪些新的認(rèn)識(shí)？

檢測(cè)題：已知（m+n）2=25，（m-n）2=9．

（1）求mn的值；

（2）求m2+n2的值；

（3）求m2-n2的值；

（4）請(qǐng)?jiān)僭O(shè)計(jì)一道求值題．

附：教學(xué)流程圖

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.預(yù)設(shè)習(xí)題起點(diǎn)，多元表征習(xí)題設(shè)問方式

從上面的活動(dòng)設(shè)計(jì)來看，我們?cè)谶M(jìn)入題組訓(xùn)練之前都預(yù)設(shè)了一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單易做的數(shù)學(xué)問題，如已知兩數(shù)，求兩數(shù)之積，將其與平方差公式結(jié)合起來，并與后續(xù)題組對(duì)應(yīng)，而它們的本質(zhì)卻是一樣的．這里可以提及所謂的“多元表征理論”，即人們關(guān)于數(shù)學(xué)概念（或數(shù)學(xué)問題）的心理表征往往包含多個(gè)不同的方面或成分，而且這些成分對(duì)于概念的正確理解都具有重要的作用，我們應(yīng)高度重視這些成分之間的聯(lián)系．基于此，“活動(dòng)2”中，我們?cè)诔尸F(xiàn)了（1）～（3）后，又從另外的角度給出（4）～（6），它們是“一一對(duì)應(yīng)”的，目的是促進(jìn)學(xué)生對(duì)這類問題結(jié)構(gòu)的深刻認(rèn)識(shí)和理解．

2.重視題組訓(xùn)練，追求“做一題，會(huì)一類，通一片”

根據(jù)解題教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，一題一講，零散處理的方式遠(yuǎn)不及把同類問題集中在一起成為題組訓(xùn)練的效果來得好，如“活動(dòng)3”中，盡管題組之下也只是幾個(gè)小問，然而這幾個(gè)小問從不同角度訓(xùn)練了完全平方公式的求值問題，要比在作業(yè)講評(píng)時(shí)碰到一個(gè)講一次，碰到第二種類型講第二次效果要好．這樣安排的目的是基于變式教學(xué)理論，讓學(xué)生在變式中抓住問題的本質(zhì)、洞察問題的結(jié)構(gòu)，追求“做一題，會(huì)一類，通一片”．

1.王小林．優(yōu)選精練重變式，示拙讓學(xué)促生成——中考復(fù)習(xí)課中例習(xí)題教學(xué)設(shè)計(jì)的思考［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（8）.

2.鄭毓信.教師專業(yè)成長(zhǎng)的主要目標(biāo)與重要內(nèi)容（下）［J］．小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2013（12）.

3.劉東升．關(guān)聯(lián)性：一個(gè)值得重視的研究領(lǐng)域［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.

4.季衛(wèi)東．變式取向：從“標(biāo)準(zhǔn)模式”到“非標(biāo)準(zhǔn)模式”——以“軸對(duì)稱最值問題”解題教學(xué)為例［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（3）.Z