淺談數(shù)學技能的教學
——以“一次函數(shù)的圖像（1）”的教學為例

☉廣東省深圳市龍華新區(qū)教育科學研究管理中心林日福

淺談數(shù)學技能的教學
——以“一次函數(shù)的圖像（1）”的教學為例

☉廣東省深圳市龍華新區(qū)教育科學研究管理中心林日福

在日常教學中，“簡單模仿、大量訓練”，仍是相當多教師進行技能教學時經(jīng)常采用的教學策略.在一次學科主題教研活動上，一位教師展示“一次函數(shù)的圖像（1）”的教學課例.該課是北師大版義務教育教科書數(shù)學八年級上冊第四章第三節(jié)第一課時的內(nèi)容.課后，筆者對該班學生進行隨機抽樣測試，并對部分參與測試的學生進行訪談，現(xiàn)整理成文，供大家深入研討.

一、課堂簡錄

圖1

環(huán)節(jié)一：定義學習

課堂引入后，教師組織學生朗讀函數(shù)圖像的定義.

環(huán)節(jié)二：畫函數(shù)圖像

例1畫出正比例函數(shù)y=2x的圖像.

（師生共同列表、描點，并用課件展示）

x……-2 -1 0 1 2……y=2x……-4 -2 0 2 4……

師：由這五個點你能猜想出這個函數(shù)圖像的形狀嗎？

生：是一條直線.

師：一定是一條直線嗎？如果是一條直線，那么滿足關系式的點一定要在圖像上.

（教師取點（3，6）、（4，8），課件展示這兩個點也在該直線上）

師：這樣，我們可以用一條直線把它們連接起來.也就是說，可通過“列表、描點、連線”三步來畫出正比例函數(shù)的圖像.

環(huán)節(jié)三：性質(zhì)探索

探索1：函數(shù)y=2x的圖像及性質(zhì)

師：該函數(shù)圖像經(jīng)過哪些象限？

生1：經(jīng)過一、三象限.

師：再觀察，從左向右看，這個圖像是下降的還是上升的？

生2：上升的.

師：當x的值增大時，y的值是如何變化的？為什么？

生3：看表格，當x=-2時，y=-4，當x=-1時，y=-2，當x= 1時，y=2，所以當x的值增大時，y的值也增大.也可以從圖像看出，圖像是斜向上的，故當x的值增大時，y的值增大.

生4：還可以由關系式看出，y是x的兩倍，故x的值增大時，y的值增大.

探索2：函數(shù)y=-3x圖像的性質(zhì)

在學生畫出正比例函數(shù)y=-3x的圖像后，討論并回答下述問題.

問題①：滿足y=-3x的x、y所對應的點（x，y）都在正比例函數(shù)y=-3x的圖像上嗎？

問題②：正比例函數(shù)y=-3x的圖像上的點（x，y）都滿足關系式y(tǒng)=-3x嗎？

問題③：正比例函數(shù)y=kx的圖像有什么特點？

探索3：函數(shù)y=kx（k≠0）的性質(zhì)

環(huán)節(jié)四：練習鞏固

A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．以上都有可能

題2：關于函數(shù)y=-2x，下列判斷正確的是（）.

A．圖像必過點（-1，-2）B．圖像經(jīng)過一、三象限

C．y隨x增大而減小D．不論x為何值，都有y＜0

二、測試結(jié)果及分析

隨機抽測學生21人，測試時間為10分鐘.測試試題如下所示.

請在圖2所示的直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y=-3x的圖像．

請回答如下問題.

（1）寫出該函數(shù)圖像具有的性質(zhì)（寫兩條即可）：

性質(zhì)1：_________________ _______________；

性質(zhì)2：_________________ _____.

（2）下列各點中，在該函數(shù)圖像上的點有________.（填序號）

圖2

①（1，3）；②（-1，3）；③（0.5，-1.5）；④（-3，1）

測試結(jié)果：

評價內(nèi)容寫步驟畫圖像（1）性質(zhì)1（1）性質(zhì)2（2）（3）比較（3）理由總分15 15 10 10 20 10 20平均分4.64 9．64 7.86 7.38 8.09 5.71 7.62 0分人數(shù)14 7 4 4 11 9 11

由表中數(shù)據(jù)可知：參與抽測的學生的平均分是50.94（滿分為100分）.

1．操作技能失分較多

畫函數(shù)y=-3x的圖像時，有7位學生（占比33.33%）沒能正確畫出圖像.與此同時，參與檢測的21人中有14人（占比66.7%）沒寫出畫函數(shù)圖像的三個基本步驟.在描述函數(shù)y=-3x的圖像的性質(zhì)時，學生的得分率也僅為76.2%.對學生進行訪談時，失分的學生反映，忘記畫函數(shù)圖像的方法、步驟了，印象中函數(shù)圖像是一條直線，因此就隨意畫一條直線；不知道函數(shù)圖像的性質(zhì)所指是什么，也不了解一次函數(shù)圖像的性質(zhì)都包含哪些方面的內(nèi)容.

2．心智技能得分不理想

在檢查學生運用數(shù)形結(jié)合法分析函數(shù)圖像及性質(zhì)等方面，得分也并不理想.如在解決（3）時，有9位學生（占比42.9%）在比較y1與y2的大小時出錯，有11位學生（占比52.4%）沒能對比較的結(jié)果給出合理的解釋.訪談中還發(fā)現(xiàn)，在能正確寫出y1與y2的大小關系的學生中，仍有部分學生是靠運氣的.

進一步分析課堂教學過程，在教學畫函數(shù)圖像時，教師的講解是清晰的，學生的練習是充分的（共練習畫五個函數(shù)的圖像）.在進行函數(shù)及圖像的性質(zhì)探索時，學生的回答是正確的，思維是活躍的.與此同時，測試題中的函數(shù)y=-3x也是學生課堂上所練習過的，但為什么測試的結(jié)果并不理想呢？

三、教學思考

對于本課的知識技能目標，《義務教育數(shù)學課程標準》指出：“能畫出一次函數(shù)的圖像，根據(jù)一次函數(shù)的圖像和表達式y(tǒng)=kx+b（k≠0）探索并理解k＞0和k＜0時，圖像的變化情況.”由此可知：讓學生在正確理解函數(shù)圖像的概念的基礎上，依照畫圖像的基本步驟正確畫出正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像，然后從數(shù)（表達式）與形（圖像）兩個方面，探索并理解k＞0和k＜0時，圖像的形狀、位置、變化情況等性質(zhì)，并在此過程中感悟研究函數(shù)圖像及其性質(zhì)的一般策略與方法（數(shù)形結(jié)合法），獲得研究函數(shù)圖像及其性質(zhì)的基本經(jīng)驗，應是本課的教學目標與教學重點，也是經(jīng)過本課教學后學生需掌握的數(shù)學技能.“在基本技能的教學中，不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學生理解程序和步驟的道理.”［1］教學數(shù)學技能時，需要在學生理解與技能相關的數(shù)學概念的基礎上，按照技能執(zhí)行的程序進行操作，并在操作的過程中進行數(shù)學思考，感悟蘊含的數(shù)學思想方法，進而促進技能的形成與自動化.

1．理解概念，促進技能的自然形成（1）充分理解概念的內(nèi)涵與外延．

“掌握概念、原理等知識是形成技能的必要前提.”［2］對于函數(shù)圖像的定義，教材在本節(jié)開章中便明確給出，“把一個函數(shù)自變量的每一個值與對應的函數(shù)值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在直角坐標系內(nèi)描出相應的點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖像.”由定義可知：因變量的值由自變量的值及它們之間的對應關系求得，點的坐標由自變量的值與因變量的值組成的數(shù)對來確定，其中自變量的值為點的橫坐標，因變量的值為點的縱坐標.也就是說，函數(shù)圖像上每一個點的坐標中，橫坐標的值與縱坐標的值符合特定的相依關系.同時，這個定義還給出了畫函數(shù)圖像的基本步驟及方法，即：第一步，根據(jù)自變量的取值范圍確定自變量的值，并由對應關系求出其對應的因變量的值；第二步，把自變量的值作為點的橫坐標，把對應的因變量的值作為點的縱坐標，組成有序數(shù)對；第三步，在平面直角坐標系內(nèi)描出相應的點.這些都是在教學這個概念后，學生所需要理解的.分析本課例，任課老師僅僅是組織學生朗讀一遍概念后便直接進入概念的應用教學，這樣，概念的理解是教師的而不是學生的，因而畫函數(shù)圖像的技能也就是教師的而不是學生的.

另一方面，教材例題中，把畫正比例函數(shù)y=2x的圖像分成“列表、描點、連線”三步，其中“列表、描點”由定義都可以直觀得到，那么“連線”這一步呢？定義中并沒有明示，這就形成疑惑：怎么連線？是用尺子畫嗎？……對此，教材給出這樣的描述，“把這些點依次連接起來，得到y(tǒng)=2x的圖像，這是一條直線.”可以知道，教材指出的是把所有點依次“連接”起來，但為什么可以“連接”？用“直線”連接還是用“曲線”連接呢？也沒有明示.而事實上，函數(shù)圖像的定義中也給出了“連線”的方法，“在直角坐標系內(nèi)描出相應的點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖像.”也就是說，函數(shù)的圖像是由所有滿足函數(shù)關系的點組成的集合，如果這些點組成的集合是直線型的，才可用直線連接.

教材在給出圖像的定義后，還指出“如圖4-1（本章第一節(jié)的圖）就是摩天輪上一點的高度h（m）與旋轉(zhuǎn)時間t（min）之間函數(shù)關系的圖像.”這個例題告訴我們：函數(shù)的圖像也可能是曲線.但由于任課老師并不重視挖掘函數(shù)圖像概念的內(nèi)涵與外延，再加上其后在教學一次函數(shù)及其圖像時的不斷強化，這就讓學生形成經(jīng)驗：函數(shù)圖像應都是直線型的，或者應直接用直線把所描出的點連接起來.

（2）親身體驗技能的形成過程．

皮亞杰認為，學習是一種能動的建構(gòu)過程，是在同化或順應的過程中逐漸獲得知識.布魯納認為，學生不是被動的知識接受者，而是主動的信息加工者.在學習本課之前，學生已學習了數(shù)軸等知識，理解了實數(shù)與數(shù)軸上的點之間的轉(zhuǎn)換過程，學習了平面直角坐標系等知識，掌握了根據(jù)數(shù)對在平面直角坐標系內(nèi)描出對應的點的方法，學習了函數(shù)的概念及函數(shù)的三種表示法，知道了函數(shù)既可用關系式表示，還可用表格或圖像來表示等，這些都為畫函數(shù)圖像技能的形成提供了經(jīng)驗.

這樣，在學生對函數(shù)圖像的概念已有較好理解的基礎上，教學例1時，可以讓學生根據(jù)函數(shù)圖像的定義，親自動手嘗試畫出函數(shù)y=2x的圖像，教師再根據(jù)學生的操作情況，引導學生根據(jù)圖像的概念反思從數(shù)到形的思維與操作過程.于是，學生在嘗試根據(jù)定義對畫函數(shù)y=2x的圖像的操作步驟作出解釋的過程中，加深了對定義與操作程序的體驗性理解，從而幫助學生自主建立畫函數(shù)圖像操作過程的親身體驗，進而形成畫函數(shù)圖像的技能.

2．遵循程序，促進技能的強化

認知心理學認為，熟練基本技能的獲得需要經(jīng)過三個階段：認知階段、聯(lián)系階段、自動化階段.其中聯(lián)系階段是技能的運用與強化階段，在這一階段，需要學生按技能的操作程序依次完成每一個步驟.分析本課例，為了能讓學生掌握畫正比例函數(shù)圖像這個技能，在例題講解后，也組織學生多次練習.但課堂觀察發(fā)現(xiàn)，在學生練習畫函數(shù)圖像時，任課老師欠缺明確要求學生按畫函數(shù)圖像的基本步驟來進行每一步的操作，也沒組織學生之間互幫互學、相互檢查，不少學生就直接跳過“列表”這步，甚至有部分學生還跳過“描點”這一步，這對于初學畫函數(shù)圖像這個新技能來說，是非常不合適的.

在分析學生的答卷時也發(fā)現(xiàn)，不少學生在畫函數(shù)y=-3x的圖像時，并沒嚴格按畫函數(shù)圖像的步驟進行，部分學生甚至不列表、不描點而直接在坐標系內(nèi)隨意畫一條直線就當作該函數(shù)的圖像.其中也有部分學生無法根據(jù)函數(shù)關系式y(tǒng)=-3x進行列表，也就是說，這部分學生在“從關系式到數(shù)對”的轉(zhuǎn)化過程中是有困難的.這說明，課堂上雖然進行了大量的練習強化，但由于要求不明確、不具體，檢查落實不到位，或給學生的支持不夠，學生難免對技能的操作程序“偷工減料”.

另一方面，讓學生嚴格按照畫函數(shù)圖像的基本步驟來畫圖像，不僅可以強化畫函數(shù)圖像的技能，培養(yǎng)從數(shù)到形轉(zhuǎn)化的數(shù)學基本活動經(jīng)驗，在操作過程中還可進一步幫助學生感悟函數(shù)的性質(zhì)，感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，從而促進本節(jié)課技能的強化.

3．數(shù)學思考，促進技能的自動化

畫出函數(shù)的圖像，關鍵在于從數(shù)到形、化數(shù)為形的轉(zhuǎn)化過程.本節(jié)課是學生首度學習畫函數(shù)圖像的知識，怎樣從數(shù)到形，怎樣化數(shù)為形，這對于學生來說，都是非常困難的，都需要學生在思維上的積極參與.也就是說，教學中需要讓學生理解“關系式→數(shù)對→點的坐標→點→圖像”的思維過程，才能真正有助于本課技能的自動化.

（1）經(jīng)歷從關系式到數(shù)對的數(shù)學思考過程．

在從數(shù)到形、化數(shù)為形的思維過程中，由關系式到數(shù)對是其中第一個環(huán)節(jié)，也是學生經(jīng)驗較為缺乏的思維環(huán)節(jié)，但由于其操作難度小，此環(huán)節(jié)也往往最易被教師忽視.當然，單純從解題來說，取定自變量x的值，然后代入函數(shù)關系式求出對應的因變量y的值，得到一組數(shù)對，這是不難的.但不難求解不等于容易理解，檢測的結(jié)果也反映出仍有部分學生無法正確獲得數(shù)對.

認知心理學告訴我們，學習的難度不僅取決于學習材料的本身，也取決于學習者是否具有可供遷移的經(jīng)驗，取決于學習者對材料是否真正理解.怎樣從表達式到數(shù)對呢？“回到概念中去”，從函數(shù)關系式y(tǒng)=2x到數(shù)對（1，2）、（2，4）、…，其依據(jù)是函數(shù)的概念：“一般地，如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量.”概念不僅解釋了自變量與因變量之間的相依關系，而且給出了根據(jù)自變量的值及對應關系來確定因變量的值的方法，即先需確定自變量的取值范圍，然后在取值范圍內(nèi)給自變量賦一些值，再根據(jù)對應關系計算出因變量的值，進而獲得數(shù)對.在從表達式到數(shù)對的轉(zhuǎn)化時，不僅要讓學生知道其中的“術”，更要引導學生回到函數(shù)的概念中去，明白其中的“道”.

（2）經(jīng)歷從點到線的數(shù)學思考過程．

由函數(shù)圖像的定義可知：函數(shù)的圖像是指滿足特定關系的所有點的集合，從點到線，是從集合的角度來定義的.其中有兩個基本概念：“所有點”及“集合”.能描出所有的點嗎？顯然不能.那么，當我們描出一些點后，為什么用“直線”把這些點連接起來，就可以說它是函數(shù)y= 2x的圖像呢？而對于函數(shù)或y=x2，當描出一些點后，卻為什么不能用直線而只能用光滑的曲線把這些點連接起來呢？為讓學生明白這個道理，教材在讓學生完成“做一做：畫出正比例函數(shù)y=-3x的圖像”后，還安排了“想一想：（1）滿足關系式y(tǒng)=-3x的x、y所對應的點（x，y）都在正比例函數(shù)y=-3x的圖像上嗎？（2）正比例函數(shù)y= -3x的圖像上的點（x，y）都滿足關系式y(tǒng)=-3x嗎？……”，可見，教材編寫者的意圖是通過“任意”來解釋“所有”這個概念，我們在教學時應該讓學生理解這種思維方法，而不是僅僅簡單地作出判斷“是”或“不是”.

另一方面，在之前的學習中，學生已具有了“點動成線”的經(jīng)驗，那么，函數(shù)的圖像是不是“點動成線”所形成的呢？顯然不是，它是由滿足相同的對應關系的點組成的集合，而不是某一個點的運動軌跡，因此，有些老師運用幾何畫板工具，通過“追蹤點的運動軌跡”來解釋函數(shù)y=2x的圖像的形成過程，筆者認為這是不妥當?shù)?

實際教學時，我們應讓學生在平面直角坐標系內(nèi)描出盡可能多的點，這些點不僅包括整數(shù)點，還應有分數(shù)點.我們也可以借用繪圖工具，在坐標系內(nèi)描出盡量多的點，以幫助學生在觀察這些“密密麻麻”的點的過程中，逐漸獲得函數(shù)圖像的直觀形象，進而形成“點集合”成“圖像”的思維經(jīng)驗，培養(yǎng)從直觀到抽象的思維能力.

（3）經(jīng)歷獲得性質(zhì)的數(shù)學思考過程．

“函數(shù)是研究運動變化的重要數(shù)學模型，函數(shù)概念的實質(zhì)就是運動變化.”［3］在初中階段，函數(shù)是研究變化過程中兩個變量之間的一種相依關系，這種由常量數(shù)學到變量數(shù)學學習的轉(zhuǎn)變，欠缺經(jīng)驗支撐.因而在研究當k＞0和k＜0時，函數(shù)值的變化情況時，一方面需要引導學生運用研究常量數(shù)學的經(jīng)驗來探索變量之間的關系，另一方面，更需要引導學生從變量數(shù)學的角度來感悟變量之間的關系，這是幫助學生建立新的認知結(jié)構(gòu)所必不可少的.具體來說，正如本課例中任課老師的教學那樣，在組織學生思考討論函數(shù)y=2x的增減性性質(zhì)時，既要從關系式的倍數(shù)關系直觀感受變量的變化關系，或從表格中具體數(shù)據(jù)的變化情況進行猜想推理，更要從函數(shù)圖像的特點，遷移以往的經(jīng)驗，去直觀觀察、感受、分析，進而獲得結(jié)論.

（4）建構(gòu)研究函數(shù)及其圖像的性質(zhì)的認知結(jié)構(gòu)．

我們知道，從圖像中獲取兩個變量的關系，在經(jīng)過七年級的學習后，學生已經(jīng)具備了相關的知識經(jīng)驗.因此，在研究具體函數(shù)的圖像及其性質(zhì)時，除了順應、遷移這些經(jīng)驗來獲取新知，還應該引導學生建構(gòu)起研究函數(shù)及其圖像的性質(zhì)的認知圖式，讓學生了解應從圖像的形狀、位置、增減性、對稱性等諸多方面來研究函數(shù)及其圖像的性質(zhì).為此，教材在議一議中編排了如下問題，“正比例函數(shù)y=kx的圖像有何特點？你是怎樣理解的？”但本課例僅是讓學生答出結(jié)果，卻沒能在討論的基礎上對結(jié)果進行歸納、分類、概括，形成認知圖式.測試與訪談中，在讓學生寫出函數(shù)y=-3x的兩條性質(zhì)時，不少學生不知道問題所指，甚至回答“兩點確定一條直線”“k＜0”“函數(shù)關系式的點與函數(shù)圖像上的點一一對應”等.

數(shù)學技能的教學，既可通過講授模仿來讓學生獲得技能，也可通過探究發(fā)現(xiàn)讓學生在嘗試過程中形成技能.但基于“數(shù)學技能是學生的而不是老師的”這個基本觀點，筆者認為，數(shù)學課堂教學，我們既要幫助學生獲得數(shù)學基本技能，更要引導學生在技能學習過程中，體會技能獲得的方法，感悟蘊含的數(shù)學思想，形成基本數(shù)學活動經(jīng)驗，提升數(shù)學素養(yǎng).

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2012．

2.曹才翰，章建躍．數(shù)學教育心理學［M］．北京：北京師范大學出版社，2007．

3.崔恒劉．借幾何畫板突破教學“一次函數(shù)圖像”的難點［J］．中學數(shù)學（下），2013（1）．Z