研讀數(shù)學(xué)教材的四個(gè)維度

張衛(wèi)星

數(shù)學(xué)教材是教師教的依據(jù)，也是學(xué)生學(xué)的對(duì)象，它承載著數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想與方法、解題策略等人類文化的結(jié)晶。面對(duì)靜態(tài)的數(shù)學(xué)教材，教師需要深入其中，把握實(shí)質(zhì)，才能淺出，從而幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)?？梢哉f(shuō)，教師對(duì)數(shù)學(xué)教材的解讀深度、準(zhǔn)確度，制約著教學(xué)的有效性，決定著學(xué)生學(xué)習(xí)的成敗。筆者始終認(rèn)為，研讀數(shù)學(xué)教材要從四個(gè)維度入手。

一、研讀數(shù)學(xué)教材的縱向聯(lián)系

數(shù)學(xué)教材中的每一節(jié)內(nèi)容都不是單獨(dú)存在的，它與前面的內(nèi)容及后續(xù)的知識(shí)總是有著內(nèi)在的聯(lián)系，即縱向聯(lián)系。因此，筆者認(rèn)為研讀數(shù)學(xué)教材的第一步就是要理清教材的前后聯(lián)系。唯有如此，才能準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)教學(xué)的起點(diǎn)及所要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)，從而為后續(xù)教學(xué)做好鋪墊。

例如，“烙餅問(wèn)題”是滲透優(yōu)化思想的重要載體，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)會(huì)對(duì)優(yōu)化思想有更深的認(rèn)識(shí)。但優(yōu)化思想并不是憑空產(chǎn)生的，它在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中處處可見(jiàn)滲透的痕跡，如計(jì)算教學(xué)中的算法優(yōu)化、解決問(wèn)題教學(xué)中的策略優(yōu)化以及統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的統(tǒng)計(jì)方法優(yōu)化等。除此之外，教材還以單元“數(shù)學(xué)廣角”為呈現(xiàn)形式，較為集中地安排優(yōu)化思想的滲透，具體分布如表1。

由表1可知，優(yōu)化思想在四冊(cè)教材中重復(fù)體現(xiàn)，呈螺旋上升趨勢(shì)。在低年級(jí)，教材雖然沒(méi)有將優(yōu)化思想作為一節(jié)課的主要目標(biāo)，但已經(jīng)讓學(xué)生對(duì)優(yōu)化思想有了初步的體驗(yàn)。比如簡(jiǎn)單的排列，排列的方法有很多，但其中有序的排列可以做到不重復(fù)、不遺漏，學(xué)生初步體驗(yàn)到解決同一個(gè)問(wèn)題有很多種方法，但諸多方法中有優(yōu)劣之分，一個(gè)好的方法可以幫助我們更有效地解決問(wèn)題。到了中高年級(jí)開(kāi)始以優(yōu)化思想作為一節(jié)課的主要目標(biāo)展開(kāi)教學(xué)，如“烙餅問(wèn)題”和“找次品問(wèn)題”的教學(xué)，它們都讓學(xué)生經(jīng)歷了方法多樣化和優(yōu)化的過(guò)程，體驗(yàn)到了優(yōu)化思想在解決問(wèn)題中的應(yīng)用價(jià)值，從而真正幫助學(xué)生形成優(yōu)化思想。鑒于此，筆者認(rèn)為此課教學(xué)的主要目標(biāo)是讓學(xué)生通過(guò)操作、模擬的過(guò)程，初步體會(huì)運(yùn)籌思想在解決簡(jiǎn)單生活問(wèn)題中的應(yīng)用，從而形成尋找解決問(wèn)題最優(yōu)方案的意識(shí)。

由此可見(jiàn)，研讀數(shù)學(xué)教材的縱向聯(lián)系有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的連貫性和新舊知識(shí)的關(guān)聯(lián)，有利于學(xué)生準(zhǔn)確把握教學(xué)目標(biāo)，也有利于學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的縱向建構(gòu)，能引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步思考和探索。

二、研讀數(shù)學(xué)教材的橫向聯(lián)系

數(shù)學(xué)教材中的每一節(jié)內(nèi)容既有縱向聯(lián)系，又有橫向聯(lián)系。研讀數(shù)學(xué)教材的橫向聯(lián)系，即研讀新知識(shí)點(diǎn)與哪些知識(shí)是相似的，讓學(xué)生及時(shí)橫向溝通，領(lǐng)會(huì)新知識(shí)點(diǎn)更廣泛的應(yīng)用范圍，從而達(dá)到以點(diǎn)帶面的效果。筆者認(rèn)為，研讀數(shù)學(xué)教材是提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率的重中之重，不應(yīng)忽視。

例如，“烙餅問(wèn)題”并非為烙餅而烙餅，而是通過(guò)“烙餅問(wèn)題”的學(xué)習(xí)提煉出相應(yīng)的規(guī)律，從而去解決許多類似的問(wèn)題。教材就為“烙餅問(wèn)題”提供了三個(gè)相似的問(wèn)題，意在加強(qiáng)知識(shí)的橫向聯(lián)系。

⒈教材105頁(yè)“做一做”中的第二題：一種電腦小游戲，玩一局要5分鐘，可以單人玩，也可以雙人玩。小東和爸爸、媽媽一起玩，每人玩兩局，至少需要多少分鐘？

⒉教材107頁(yè)的第二題：東東、晶晶和紅紅三位同學(xué)去量身高、驗(yàn)視力，每項(xiàng)檢查要3分鐘，他們至少要用多長(zhǎng)時(shí)間才能做完這些檢查？

⒊教材108頁(yè)的第四題：三個(gè)客人去飯店吃飯，他們每人點(diǎn)了兩個(gè)菜，假設(shè)兩個(gè)廚師做每個(gè)菜的時(shí)間都相等，應(yīng)該按怎樣的順序炒菜比較合理？

上述3個(gè)問(wèn)題分別是玩游戲、體檢和炒菜的實(shí)際問(wèn)題，其解決原理和烙餅一樣，學(xué)生只要掌握了烙餅實(shí)質(zhì)，這三個(gè)問(wèn)題就迎刃而解。而事實(shí)上與烙餅問(wèn)題更為接近的問(wèn)題有煎魚(yú)、煎餅等生活化問(wèn)題，為此，筆者在教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)了如下3個(gè)練習(xí)：

⒈媽媽用鍋煎魚(yú)，兩面都要煎，一次能煎兩條，煎一面要2分鐘，請(qǐng)問(wèn)媽媽煎完3條魚(yú)至少要幾分鐘？

⒉媽媽用鍋煎魚(yú)，兩面都要煎，一次能煎兩條，煎一條魚(yú)要4分鐘（煎一面要2分鐘），請(qǐng)問(wèn)媽媽煎完4條魚(yú)至少要幾分鐘？

⒊媽媽用鍋煎餅，兩面都要煎，一次能煎2張，煎一張餅要6分鐘（每面要3分鐘），請(qǐng)問(wèn)媽媽煎5張餅至少要幾分鐘？

當(dāng)然，解決這三個(gè)問(wèn)題的前提是學(xué)生領(lǐng)會(huì)了“烙餅時(shí)間=烙餅張數(shù)×烙一面餅的時(shí)間”這一規(guī)律。由此可見(jiàn)，研讀數(shù)學(xué)教材的橫向聯(lián)系有利于知識(shí)點(diǎn)的橫向比較，體現(xiàn)同類知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)，有利于學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的橫向建構(gòu)，能引領(lǐng)學(xué)生用類比的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行探究。

三、研讀數(shù)學(xué)教材的公開(kāi)信息

研讀數(shù)學(xué)教材的公開(kāi)信息，即研讀教材展示的每一個(gè)文字和每一個(gè)符號(hào)，領(lǐng)會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)字信息。只有研讀清楚教材的公開(kāi)信息，才能理清教學(xué)的基本內(nèi)容，才能為下一步的教學(xué)設(shè)計(jì)做好準(zhǔn)備，這也是一位數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具備的最基本的技能。比較好的做法是：先梳理出教材展示的各種信息，然后決定各種信息的價(jià)值權(quán)重。只有這樣，才能發(fā)揮教材的最大功能。

例如，“烙餅問(wèn)題”的教材版面只有半面多一點(diǎn)（如圖1），但其中蘊(yùn)含的公開(kāi)信息很豐富。筆者認(rèn)為，它至少蘊(yùn)含了如下5條公開(kāi)信息：

⒈烙餅的條件：烙3張餅;每次最多只能烙2張餅;兩面都要烙;每面要3分鐘;盡快（時(shí)間最少）。這些條件表明了“烙餅問(wèn)題”來(lái)源于生活。

⒉探索烙1張餅和2張餅的時(shí)間。探索時(shí)必須通過(guò)操作，讓學(xué)生清楚烙1張餅和2張餅的時(shí)間。探索后還要引導(dǎo)學(xué)生比較所用的時(shí)間，從而讓學(xué)生理解兩張餅同時(shí)烙，沒(méi)有讓鍋空著，充分利用了資源，比較省時(shí)間，而一張餅一張餅烙，浪費(fèi)了資源，花的時(shí)間就多，這其實(shí)就是優(yōu)化思想的核心所在。另外，先探索烙1張餅和2張餅的時(shí)間，其實(shí)是滲透了化歸思想，即化難為易。

⒊探索烙3張餅的最少時(shí)間?！澳姆N方法比較合理？”教材中的一個(gè)反問(wèn)表明烙3張餅的方法多樣，應(yīng)該組織學(xué)生探究。為了讓學(xué)生思路更清晰，教材用示意圖表示烙餅的過(guò)程。這就表明，在教學(xué)時(shí)理應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)畫(huà)示意圖。同時(shí)，教材通過(guò)示意圖展示出交替烙，讓學(xué)生領(lǐng)悟其內(nèi)涵，這比單純的講解效果要顯著得多。

⒋探索烙4張餅、5張餅、6張餅……的最省時(shí)間。探索這么多時(shí)間，表明烙餅時(shí)要設(shè)計(jì)表格，只有這樣，才能讓學(xué)生的思維變得有序，也有利于后面的發(fā)現(xiàn)。

⒌“你發(fā)現(xiàn)了什么”表明教學(xué)時(shí)要提煉烙餅規(guī)律。

上述5條信息，教學(xué)時(shí)都要予以重視，但這5條信息中，筆者認(rèn)為最重要的是第三條和第五條，第三條可以展示探索過(guò)程，也可以體現(xiàn)烙餅的實(shí)質(zhì)，而第五條則可以簡(jiǎn)化烙餅規(guī)律，為知識(shí)的橫向聯(lián)系做好準(zhǔn)備?？梢?jiàn)，研讀數(shù)學(xué)教材的公開(kāi)信息，可以讓學(xué)生準(zhǔn)確把握教學(xué)的重點(diǎn)。

四、研讀數(shù)學(xué)教材背后的秘密

研讀數(shù)學(xué)教材背后的秘密，即研讀教材蘊(yùn)藏的知識(shí)點(diǎn)及思想方法。教材公開(kāi)的信息，只要花點(diǎn)時(shí)間就能捕捉到，但發(fā)現(xiàn)其背后的秘密需要一定的教育經(jīng)驗(yàn)與智慧。有經(jīng)驗(yàn)與智慧的教師能準(zhǔn)確捕捉到，沒(méi)經(jīng)驗(yàn)與智慧的教師就很難捕捉到。事實(shí)上，教材背后的秘密往往是決定一堂課能否成功的關(guān)鍵所在。因此，只有準(zhǔn)確把握教材背后的秘密，才算把教材研讀透了。

例如，“烙餅問(wèn)題”教材除了展示出上述五條公開(kāi)信息，它的背后還蘊(yùn)含如下兩條秘密：

⒈同時(shí)烙和交替烙的優(yōu)勢(shì)。同時(shí)烙，即同時(shí)烙兩張餅的正面，再同時(shí)烙兩張餅的反面。交替烙，即不一定同時(shí)烙兩張餅的正面或反面，可能同時(shí)烙一張餅的正面和另一張餅的反面，也可能烙了一張餅的正面后，等一下再烙反面。但同時(shí)烙和交替烙有一個(gè)共同的優(yōu)勢(shì)，那就是讓鍋不空著，充分利用資源，從而讓時(shí)間最省。事實(shí)上，偶數(shù)張餅適合同時(shí)烙，如2張、4張、6張等，奇數(shù)（除了1張餅和3張餅）張餅適合同時(shí)烙和交替烙同時(shí)使用，如5張餅，其中的2張適合同時(shí)烙，其余3張適合交替烙。因此，教師在教學(xué)時(shí)可以用表格展示出烙餅個(gè)數(shù)和烙餅時(shí)間，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。

⒉烙餅規(guī)律的實(shí)質(zhì)。教學(xué)時(shí)，學(xué)生借助表格可以快速提煉出烙餅規(guī)律：烙餅時(shí)間=烙餅張數(shù)×3分鐘，但教師還應(yīng)該知道這個(gè)規(guī)律的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)。如教材上所說(shuō)，烙3張餅的最省時(shí)間是9分鐘，其實(shí)質(zhì)是3張餅有6個(gè)面，每次烙2個(gè)面，需要烙3次（6÷2=3），每次3分鐘，一共是9分鐘（3×3=9）。當(dāng)然，這個(gè)實(shí)質(zhì)可以不告訴學(xué)生，因?yàn)楦嬖V學(xué)生反而會(huì)把烙餅問(wèn)題弄得更復(fù)雜，而且會(huì)沖淡先前的發(fā)現(xiàn)，但教師必須心中有底。從這個(gè)本質(zhì)出發(fā)，教師在引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)烙餅規(guī)律時(shí)，還可以再抽象一些，即3分鐘是烙一次的時(shí)間，或者說(shuō)是烙一面的時(shí)間，這樣就可以提煉出一個(gè)更具普適性的規(guī)律：烙餅時(shí)間=烙餅張數(shù)×烙一次的時(shí)間或烙餅時(shí)間=烙餅張數(shù)×烙一面的時(shí)間。

由此可見(jiàn)，準(zhǔn)確研讀數(shù)學(xué)教材背后的秘密，可以讓我們的數(shù)學(xué)課堂變得既有深度，又更簡(jiǎn)潔，這也許就是我們常說(shuō)的深入淺出吧！

綜上所述，當(dāng)我們對(duì)“烙餅問(wèn)題”的教材進(jìn)行四個(gè)維度的研讀后，對(duì)教材的定位就更準(zhǔn)確，對(duì)教材的理解就更深刻，對(duì)教材的處理就更有針對(duì)性?？梢?jiàn)準(zhǔn)確、深度地研讀數(shù)學(xué)教材，把握教材的意圖，使教材的價(jià)值最大化，是教師步入高效課堂的第一步。