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    關(guān)于平衡態(tài)下費(fèi)米氣體最小冷原子數(shù)目的討論

    2015-04-01 09:21:04劉艷萍
    晉中學(xué)院學(xué)報(bào) 2015年3期
    關(guān)鍵詞:熱容量費(fèi)米熱力學(xué)

    劉艷萍

    (山西職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣工程與自動(dòng)化系,山西太原030006)

    (編輯 郭繼榮)

    0 引言

    近年來,超冷量子氣體理論是人們關(guān)注的研究領(lǐng)域之一.然而,人們研究超冷、弱相互作用的玻色氣體的觀點(diǎn)比較多,相比較而言,對超冷費(fèi)米氣體的研究理論卻比較少[2].研究發(fā)現(xiàn),玻色氣體可以在極低溫度下發(fā)生玻色-愛因斯坦凝聚現(xiàn)象(BEC),而費(fèi)米氣體卻不能實(shí)現(xiàn).但是,簡并的費(fèi)米氣體系統(tǒng)可在極低溫度下利用合適的條件將費(fèi)米子形成庫柏對,顯現(xiàn)出一些宏觀的量子效應(yīng),例如超導(dǎo)、超流等現(xiàn)象[2],這一點(diǎn)與玻色系統(tǒng)極為相似.

    1 超冷費(fèi)米氣體的研究現(xiàn)狀

    20世紀(jì)90年代以來,人們對超冷原子氣體的特性進(jìn)行了大量的研究,主要從玻色氣體和費(fèi)米氣體兩方面認(rèn)識了相互作用的量子系統(tǒng).而組成這兩種量子氣體的粒子間所表現(xiàn)出的弱相互作用會(huì)極大地影響量子系統(tǒng)的性質(zhì).自從人們在實(shí)驗(yàn)上獲得堿金屬原子的玻色-愛因斯坦凝聚體以來[1],為了實(shí)現(xiàn)分子的BEC,科學(xué)家們針對超冷費(fèi)米氣體的性質(zhì)做了大量的研究,而且取得了很大的進(jìn)步.

    費(fèi)米子和玻色子的自旋差異使得它們有完全不同的特性,費(fèi)米子具有半整數(shù)的自旋,它是一種像電子的粒子;玻色子具有整數(shù)自旋[4]209~210,它是一種像光子的粒子.任何兩個(gè)費(fèi)米子都不可能有相同的量子態(tài),如像6Li或40K這樣的費(fèi)米子,即使在極低的溫度下也具有或多或少不同的特性.物理學(xué)家們?yōu)榱藢?shí)現(xiàn)分子的BEC現(xiàn)象,采用了以下的方法:假設(shè)有兩組費(fèi)米氣體,全都被束縛在光勢阱中,且外加均勻的磁場,則可以利用磁場Feshbach共振的思想[1]來改變不同內(nèi)部狀態(tài)的原子之間的相互作用.當(dāng)外加磁場的強(qiáng)度小于共振磁場的強(qiáng)度時(shí),原子間的相互作用主要表現(xiàn)為排斥作用,不同內(nèi)部態(tài)的原子會(huì)緊密結(jié)合在一起形成分子.在溫度低于某一臨界溫度的條件下就會(huì)發(fā)生分子的BEC現(xiàn)象.具體來講,就是物理學(xué)家將兩個(gè)費(fèi)米子轉(zhuǎn)變成一個(gè)玻色子,即兩個(gè)半整數(shù)的自旋結(jié)合組成一個(gè)整數(shù)自旋,成對的費(fèi)米子起到了玻色子的作用,能在極低的溫度下出現(xiàn)分子的BEC現(xiàn)象.利用這種方法,目前世界上已有多個(gè)實(shí)驗(yàn)小組成功地實(shí)現(xiàn)了分子的玻色-愛因斯坦凝聚現(xiàn)象.

    之后不久,人們又很快通過實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了原子庫柏對的凝聚體,并對它的性質(zhì)做了大量的研究[1].對于費(fèi)米冷原子系統(tǒng),在外加磁場的強(qiáng)度大于共振磁場強(qiáng)度時(shí),原子間的相互作用主要表現(xiàn)為弱吸引作用,并可配對形成弱束縛的費(fèi)米原子對.在低溫條件下,可形成費(fèi)米原子對的凝聚體.目前,超冷簡并費(fèi)米氣體正成為理想的研究強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的實(shí)驗(yàn)對象,對于超冷簡并費(fèi)米氣體的理論和實(shí)驗(yàn)研究正在進(jìn)行,并處于蓬勃發(fā)展時(shí)期.這些研究將進(jìn)一步深化原子物理、凝聚態(tài)物理等學(xué)科間的結(jié)合,同時(shí)會(huì)解決一些固態(tài)物理中尚存的問題.

    2 平衡態(tài)下弱相互作用費(fèi)米氣體的最小冷原子數(shù)估算的思路及熱容量的導(dǎo)出

    要估算出低溫下弱相互作用費(fèi)米氣體的最小粒子數(shù)的量級,我們必須先知道此時(shí)氣體熱容量的表達(dá)式,即熱容量是非常關(guān)鍵的一個(gè)物理量,下面我們所做的工作就是利用熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理的知識求出這個(gè)定容熱容量的解析式,主要分無外磁場和諧振勢約束兩種情況來分別討論.

    2.1 無外磁場情況的弱相互作用費(fèi)米氣體的熱容量

    假設(shè)有一限定在體積V中的系統(tǒng),由N個(gè)自旋為1 2、弱相互作用的費(fèi)米子組成,其能譜為:

    上式中的p為量子態(tài)的動(dòng)量;m為單個(gè)粒子的質(zhì)量;?=h 2π,其中h為普朗克常量;N↑、N↓分別表示自旋為向上、向下的總粒子數(shù);np↑、np↓分別表示處于動(dòng)量為p的量子態(tài)上且自旋為向上、向下的粒子數(shù)目;ɑ為波散射的長度(存在于粒子之間的相互作用的),它滿足以下式子所表示的弱相互作用的條件:

    p

    根據(jù)式(1)可得到該系統(tǒng)的配分函數(shù)[2]為:

    對于弱相互作用的費(fèi)米系統(tǒng),總有kF0ɑ<π 2(其中kF0為對應(yīng)于費(fèi)米能級EF0的波數(shù)),且N↑=N 2時(shí)(4)式中的求和項(xiàng)最大,故(4)式可表示為:,再由(3)式得到費(fèi)米系統(tǒng)的自由能[2]為:

    再由以上的式子可求出系統(tǒng)的化學(xué)勢、內(nèi)能和定容熱容量[2],它們分別表示為:

    我們僅討論低溫時(shí)系統(tǒng)的這幾個(gè)熱力學(xué)量,經(jīng)計(jì)算得低溫極限下系統(tǒng)的化學(xué)勢、內(nèi)能和定容熱容量分別為:

    上式中的EF0= (?22m)(3π2n )23為理想費(fèi)米系統(tǒng)的費(fèi)米能[5]87~92,TF0=EF0kB為費(fèi)米溫度,λF0=

    2.2 諧振勢約束情況的弱相互作用費(fèi)米氣體的熱容量

    現(xiàn)討論一約束在諧振外勢中的弱相互作用的費(fèi)米氣體,設(shè)束縛在光勢阱中的費(fèi)米原子感受到的外勢可近似為如下的諧振勢:

    式中的x、y和z為費(fèi)米粒子在三個(gè)坐標(biāo)軸上的坐標(biāo),ωx、ωy和ωz為諧振勢沿三個(gè)坐標(biāo)軸的角頻率.處于外勢中的非均勻系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí),系統(tǒng)的化學(xué)勢可表示為:

    同理,非均勻系統(tǒng)空間r處的能量密度ε()

    r[2]可表示為:

    再通過數(shù)學(xué)運(yùn)算我們可求出外勢中弱相互作用費(fèi)米系統(tǒng)的粒子數(shù)密度n()r和能量密度ε()r的表達(dá)式分別如下:

    上式中的z為系統(tǒng)的無相互作用逸度,現(xiàn)將化學(xué)勢μ和內(nèi)能U分別表示為z的函數(shù)[2],結(jié)果是:

    接下來我們著重討論低溫時(shí)弱相互作用費(fèi)米氣體的這幾個(gè)熱力學(xué)量,將以上式子通過大量的運(yùn)算可得到超低溫下、弱相互作用的費(fèi)米氣體在諧振勢約束條件下的化學(xué)勢、內(nèi)能和熱容量的解析表達(dá)式[2]分別為:

    再由下式求解系統(tǒng)的熱容量:

    3 熱平衡狀態(tài)下弱相互作用費(fèi)米氣體的最小冷原子數(shù)的估算

    3.1 估算方法

    超低溫下,一個(gè)系統(tǒng)若能滿足熱力學(xué)第三定律,且溫度的漲落必須足夠小[3],這是一個(gè)系統(tǒng)能夠達(dá)到熱力學(xué)平衡狀態(tài)必備的條件.

    由度的相對漲落公式[4]得到溫度的漲落公式:

    由于經(jīng)典粒子系統(tǒng)的熱容量Cx與粒子數(shù)N成正比,即Cx∝N k[4],故相對溫度漲落當(dāng)相對溫度漲落趨近于零時(shí),系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài),此時(shí)粒子數(shù)很大[3].

    表示每個(gè)粒子的平均熱容量,則有低溫下系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)時(shí)所具有的最小粒子數(shù)為:

    以下部分將按照這種討論方法分別求出兩種情況下弱相互作用下費(fèi)米系統(tǒng)最小粒子數(shù)的量級.

    3.2 具體估算過程

    3.2.1無外磁場的情況

    由式(12)和式(24)得到無外加磁場時(shí),超低溫的弱相互作用的費(fèi)米氣體單個(gè)粒子的平均熱容量為:

    將式(26)代入式(25)得

    由此式可知,低溫下、無外磁場情況下的弱相互作用費(fèi)米氣體,系統(tǒng)要處于熱力學(xué)平衡態(tài)時(shí)所需的最小粒子數(shù)目會(huì)隨溫度的降低而迅速增加,即低溫溫度越低,系統(tǒng)的粒子數(shù)目Nmin將越大.

    在此,近似給α取一個(gè)很小的定值,如α=0.001,π=3.14,經(jīng)查得得出Nmin≈2.03×107個(gè),因此,低溫下、無外磁場情況下的弱相互作用費(fèi)米氣體要達(dá)到熱力學(xué)平衡狀態(tài),至少需要數(shù)目量級為107的粒子數(shù)存在.,將這幾個(gè)數(shù)值代入式(27)

    3.2.2諧振勢約束的情況

    由式(23)和式(24)可得到有諧振勢約束時(shí)、超低溫的弱相互作用的費(fèi)米氣體單個(gè)粒子的平均熱容量為:

    將式(28)代入式(25)得:

    由此式可知,低溫下、受諧振勢約束的情況下的弱相互作用費(fèi)米氣體,系統(tǒng)要達(dá)到熱平衡態(tài)時(shí)所需的最小粒子數(shù)會(huì)隨溫度的降低而迅速增加,即低溫溫度越低,系統(tǒng)的粒子數(shù)目Nmin反而越大.

    4 結(jié)論

    文章主要研究了超低溫下、處于熱力學(xué)平衡態(tài)的費(fèi)米氣體可能具有的最小的粒子數(shù),并試著應(yīng)用統(tǒng)計(jì)物理等知識得到費(fèi)米氣體的定容熱容量Cr的解析表達(dá)式,再利用熱容量與平衡態(tài)下冷原子的最小數(shù)目Nmin之間的關(guān)系分析討論了弱相互作用費(fèi)米氣體在無外磁場和諧振勢約束兩種情況,給出了對這種系統(tǒng)的最小粒子數(shù)量級的估計(jì).由此可知,在低溫極限下,對于一個(gè)弱相互作用費(fèi)米氣體系統(tǒng),無外磁場情況下至少要有量級為107的粒子才能構(gòu)成一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng),而諧振勢約束情況下則至少需要量級為105的粒子.

    [1]熊宏偉,呂寶龍.超冷費(fèi)米氣體研究的新進(jìn)展[J].物理學(xué)進(jìn)展,2005,25(3):296~297.

    [2]蘇國珍,陳麗璇.弱相互作用費(fèi)米氣體的熱力學(xué)性質(zhì)[J].物理學(xué)報(bào),2004,53(4):985~987.

    [3]X.Wang,Q.H.Liu.Dependence of the existence of thermal equilibrium on the number of particles at low temperatures[J].American Association of Physics Teachers,2007,75(5):431~432.

    [4]馮玉廣,李士.熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)導(dǎo)論[M].北京:中國科學(xué)技術(shù)出版社,1993.

    [5]梁希俠.高等統(tǒng)計(jì)力學(xué)導(dǎo)論[M].呼和浩特:內(nèi)蒙古大學(xué)出版社,2000.

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