電橋電路的一組等效電阻公式的推導(dǎo)證明及與此相關(guān)的電路特點分析

袁 航

（蘇州高等職業(yè)技術(shù)學校，江蘇 蘇州 215009）

0 引言

本文所指的電橋電路如圖1所示。此類電橋電路的等效電阻公式可以用電阻的星三角變換方法來推導(dǎo)得出，也可以用假設(shè)電源配合復(fù)雜直流電路分析方法來推導(dǎo)得出，但所得等效電阻公式結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，規(guī)律不易見。通過具體化電路圖1中五個電阻的阻值，并進行等效阻值的計算，再記錄和分析計算過程中的一些特殊參數(shù)，不難推測電橋電路的等效阻值與圖2、圖3、圖4等電路的阻值間存在著一定的數(shù)學關(guān)系。下面主要就該數(shù)學關(guān)系進行推導(dǎo)證明，并對與此相關(guān)的若干電路特點進行闡述。

圖1 電橋電路

圖2 R短電路

圖3 R斷電路

圖4 R中電路

圖5 星三角變換

1 電橋電路的一組等效電阻公式的推導(dǎo)證明

1.1 設(shè)立特殊參數(shù)

（1）圖2為R0取短路情況時的電橋電路，此時電橋的等效阻值為橋臂阻值固定的所有情況中的最小值，設(shè)為R短，計算式為：

（2）圖3為R0取斷路情況時的電橋電路，此時電橋的等效阻值為橋臂阻值固定的所有情況中的最大值，設(shè)為R斷，計算式為：

（3）設(shè)如圖4電路的等效阻值為R中（該阻值參數(shù)的意義稍后敘述），計算式為：

1.2 公式推導(dǎo)

電橋電路等效電阻公式采用星三角變換的方法有多種，本文采用如圖5所示方法進行電路的等效變換。圖5為圖1電路中作三角形連接的三個電阻R0、R1、R3等效變換為星型連接后的電路，其中：

按圖5的電阻連接方式，等效電阻公式的推導(dǎo)過程如下：

整理后可變換為如下等效電阻計算式：

經(jīng)過公式變換，可得如下關(guān)系式：

2 電橋電路的若干有趣的特點

2.1 中間值特點

由公式（3）可知，當R0=R中時，電橋等效阻值R=（R短+R斷）/2，恰好為橋臂阻值固定的所有情況中最小等效阻值和最大等效阻值（即兩個極值）的中間值（因此命名為R中），此間關(guān)系如圖6所示（圖中帶陰影的電路僅表示此電路等效阻值，下同）。

圖6 電橋電路相關(guān)特點一

2.2 等效阻值的比例分割特點

由公式3可知，電橋的等效阻值R位于上述最小等效阻值R短至最大等效阻值R斷值域內(nèi)的某個特殊位置，該位置恰好將整個值域劃分為比例為R0：R中的兩份。此概念下的電橋等效電阻可視為R0與R中進行比例計算，從而在R短和R斷間按比例匹配位置的結(jié)果，此間關(guān)系如圖7所示。

圖7 電橋電路相關(guān)特點二

2.3 極值的比例對稱特點

設(shè)如圖8所示電路CD間的等效阻值為R短2，則計算式如下：

可得關(guān)系式R斷：R短=R中：R短2，可見四橋臂組成的四端電路，將端點劃分成兩組各兩端AB和CD，再分別取斷路和短路時的等效電阻之比完全相等，此間關(guān)系如圖9所示。

圖8 R短2電路

圖9 電橋電路相關(guān)特點三

3 總結(jié)

本文所得各規(guī)律公式是從電橋的平衡狀態(tài)入手進行計算分析及尋找規(guī)律，再逐漸過渡到對比較特殊的非平衡狀態(tài)的電橋電路的計算分析及尋找規(guī)律，最終在非特殊的非平衡狀態(tài)的電橋電路中推測出規(guī)律公式并通過數(shù)學方法予以證明。公式（1）（2）雖然未必精簡，但已經(jīng)具有了某種數(shù)學上的對稱性和規(guī)律性，甚至是趣味性，這在一定程度上方便了理解和記憶，對進一步探尋更精簡更本質(zhì)的電橋電路等效電阻公式也是有益的。

［1］姚東來，吳銀忠.無規(guī)電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻［J］.大學物理，2003（3）.

［2］譚志中，方靖淮，羅達峰.2×n階網(wǎng)絡(luò)對角等效電阻的另一種公式［J］.南通大學學報（自然科學版），2009（8）.